2023年0910数学分析1期末试卷参考超详细解析超详细解析超详细解析答案及评分标准格式B.pdf

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1、 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 中国计量学院 2009 2010 学年第一学期 数学分析（1）课程 试卷（）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：09 信算 1、2，数学 1，教师：韩亚洲 一、计算题（前题每题 5 分，最后一题分，共 4分）1.2211lim1xxxxx 解：22112lim41xxxx 原式（5 分）2.1111lim1 44 77 103134nnn 解：111111111lim1344771031343nnn 原式（5 分）3.222111lim121nnnn 解：22222211112112111nnnnnnn 2原

2、式（5 分）4.011lim1xxxe 解：2000111limlimlim222xxxxxxexeexx原式（5 分）5.1lnlimarctan2xxx 解：222lnarctan121limlimlim1ln1arctan2xxxxxxxxxx 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 1e原式（5 分）6.设 2sin1,yx求dydx 解：22cos11xxdydxx（分）7.设0,xyxx求微分dy 解：ln1xdyxxdx（5 分）8.设cossinttxetyet，求22,dy d ydx dx 解：cossincossindyttdxtt（2 分）2

3、322cossintd ydxett（5 分）9.设112,2,1,2,nnaaan求limnna 解：显然na单调递增下证有界（分）注意到122,2 22,aa设2,2,kak则12 22,ka由归纳法知na有界（分）由单调有界定理知na收敛，不妨设limnnaa，则有 2,aa 解之得2a 或0a（舍去），从而lim2nna（分）二、（10 分）讨论函数函数 222 1xyx的性态（定义域、单调区间、极值点、凸性区间、拐点、渐近线），并作图 解：定义域,11,（分）341 2,11xxyyxx（分）x,1 1 1,0 0 10,2 12 1,2 y 不存在 0 数学分析（1）课程试卷（）参

4、考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 y 不存在 0 y 增凸 不存在 减凸 极小值 0 增凸 拐点11,2 18 增凹 渐近线11,2xy（分）作图如右：（分）三、（7 分）试确定ab、使得 3sin2,09arctan21,0 xxaexfxxb xx在0 x 可导 解：由题意知 0000ff，从而 022fab（分）又 96001 2bffa，故1ab （分）四、（7 分）证不等式1,0 xex x 解：令()1,xf xex（分）则在0 x 内 10 xfxe （分）从而 0f xf，即证（分）五、（7 分）利用 Jensen 不等式证明 123312312331113xxxx x

5、xxxx，其中123,x xx均为正数 解：取 ln,f xx则 f x为0,内凹函数（分）由 Jensen 不等式知 123123123123lnlnlnln,33111111lnlnlnln,33xxxxxxxxxxxx（分）结合对数函数性质变换后即证（7 分）六、（7 分）设 f x在0,1上连续，在0,1内可导，且 1010,1,2fff 试证 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 在0,1内方程 1fx至少有一个实根 证法一：取 ,F xf xx则其在0,1上连续，在0,1内可导，且 1100,11,22FFF 由 介 值 定 理 知 存 在1,12使

6、得 0.F（分）应 用 罗 尔 中 值 定 理 知 存 在 0,0,1使得 0F，即证（分）解法二：由 Lagrange 中值定理知存在110,122使得 2,2ff（分）由导函数介值性定理知存在 ,0,1 使得 1f（分）七、（10 分）设,0f xx x 1 任取12,1,x x 试证存在常数0M 使得 1212f xf xM xx 2 试证 f x在0,上一致连续 证：任取1x，有 12fx，由 Lagrange 中值定理得证（分）注意到 F x在0,1上一致连续，利用的结论知在1,上一致连续，从而可证结论成立（分）八、（分）根据致密性定理证明：单调递增有上界M的数列na必收敛 证：由致密性定理知存在子列kna收敛，不妨设limknkaa，则其为na的上界（分）否则存在0K 使,KnKaaa从而在,Ka aa内至多含kna的有限项，与极限定义矛盾，从而a为na的上界（分）下证limnnaa事实上，任取na，必有某个kn满足1kknnnaaa，从而 00knnaaaan 即证（分）