2023年第十八章平行四边形.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平行四边形 知识要求：1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判定；2、结合图形性质进行相关的角度和线段的计算。3、结合几何图形证明。知识重点：四边形性质的运用和判定是本章的重点。知识难点：四边形性质的运用和判定是本章的难点。考点：结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定是考试的重点对象。知识点：一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 符号：“”2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分 边：对边相等、平行 角：对角相等、邻角互补 对角线：平分 周长：邻边之和*2 面积：底*高 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 例题

2、1已知平行四边形 ABCD 中，B=5A，则D=例题 2 如图，在ABCD中，已知 AD8cm，AB6cm，DE 平分ADC 交 BC 边于点 E，则 BE 等于（）A2cm B4cm C6cm D8cm 例题 3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论不正确的是（）ADCAB BOA=OC CAD=BC DDB 平分ADC 学习必备 欢迎下载 E B A F C D 3、判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：两条对角线互相

3、平分的四边形是平行四边形 例题 4.在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，给出下列四组条件：ABCD，ADBC；ABCD，ADBC；AOCO，BODO；ABCD，ADBC其中，一定能判定四边形 ABCD是平行四边形的条件共有 ()A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 例题 5如图，在等边三角形 ABC中，BC=6cm,射线 AGBC，点 E从点 A出发沿射线 AG以1cm/s 的速度运动，点 F从点 B出发沿射线 BC以 2cm/s 的速度运动.如果点 E、F同时出发，设运动时间为 t(s)当 t=s时，以 A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.例题 6.如图，在四边形 A

4、BCD 中，E 是 BC 边的中点，连结 DE 并延长，交 AB 的延长线于 F 点，ABBF添加一个条件，使四边形 ABCD 是平行四边形你认为下面四个条件中可选择的是（）AADBC BCDBF CAC DFCDE 例题 7 如图，EF，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCEDFBEDFBE，求证：（1）AFDCEB（2）四边形ABCD是平行四边形 4、三角形的中位线：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半 （与中线区别）例题 8 如图，在ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，A50，ADE60，则C的度数为 ()A B D E F C 定是本章的难点考点结合图形性质进

5、行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 A50 B60 C70 D80 例题 9 一个周长为 12cm 的三角形，三条中位线围成的三角形周长是 cm 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且平分对角 边：四边相等、对边平行 角：对角相等、邻角互补 对角线：垂直平分、平分对角 周长：边长*4 面积：对角线乘积的一半(底*高)菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。对称轴是两条

6、对角线 例题 10 如果菱形的边长是 a，一个内角是 60，那么菱形较短的对角线长等于（）A12a B32a Ca D3a 例题 11 菱形的周长是 20，一条对角线的长为 6，则它的面积为 例题 12如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC8，BD6过点 O 作OHAB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离是_ 3.判定：边：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边都相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例题 13 如图所示，正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，A B D C E F 1 2 定是本章的难点考点结合图形性质

7、进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 连接 BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形 BEDF 是菱形（）A、1=2 B、BE=DF C、EDF=60 D、AB=AF 例题 14 已知：如图，ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，CDAB与 D，EHAB 于 H，CD 交 BE 于 F 求证：四边形 CEHF 为菱形 三、矩形 1 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形 2 性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分且

8、相等 边：对边相等、平行 角：四个角都是直角 对角线：平分且相等 周长：邻边之和*2 面积：长*宽 矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。对称轴是通过每组对边中点的直线。例题 15 如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若EFB65，则AED 等于（）A.70 B.65 C.50 D.25 例题 16、如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把ACD 沿 CA 方向平移得到AC D（1）证明AADCC B；（2）若30ACB，试问当点C在线段 AC 上的什么位置时，四边形ABC D是菱形，并请说明理由 例题 17.如图，

9、点 O 是矩形 ABCD 的对角线交点，E 是 AB 上的点，沿 CE 折 E D B C F C D A G C B A D AC D 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为（）A.2 B.C.D.6 3.判定：角：有一个角是直角的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线：两条对角线相等的平行四边形是矩形 例题 18 已知：如图（1），ABCD

10、的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H求证：四边形 EFGH 是矩形 例题 19 如图，已知 AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE 求证：四边形 BCED 为矩形 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例题 20 如图，在 RtABC 中，ACB90，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，若CD5 cm，则 EF_ cm.四、正方形 1 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻

11、边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 2 性质：对边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且平分对角 边：四边相等、对边平行 角：四个角都相等 对角线：垂直平分、平分对角 周长：边长*4 面积：对角线乘积的一半/边长*边长 正方形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。对称轴有 4 条。例题 21 如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP=BC，则ACP度数是 例题 22 如图，正方形 ABCD 和正方形 AOBC是全等图形，则当正方形 AOBC绕正方形 ABCD 的中

12、心 O 顺时针旋转的过程中（1）证明：CF=BE；（2）若正方形 ABCD 的面积是 4，求四边形 OECF 的面积 3.判定：矩形：有一组邻边相等 对角线垂直 菱形：有一个角相等 对角线相等 例题 23 已知如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作12，作 BM2于 M，DN1于 N，直线 MB、DN 分别交2于 Q、P 点 求证：四边形 PQMN 是正方形 B C D A P 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢

13、迎下载 例题 24 已知：如图，ABC 中，C=90，CD 平分ACB，DEBC 于 E，DFAC 于 F求证：四边形 CFDE 是正方形 4 重心：线段的重心：线段中点 三角形重心：三条中线交点 平行四边形重心：对角线交点 例题 25 三角形的是三条（）的交点 A高线 B角平分线 C中线 D以上都不对 例题 26 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是如果 AG=6，那么线段 DG的长为（）A 2 B 3 C6 D12 解析：答案：B 三角形的重心到顶点的距离是其到对边距离的两倍。DG=1/2AG=3 五、平行四边形综合运用 综合运用四边形相关知识解题。例题 27.如图所示，在AB

14、C 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD，等边ACE，等边BCF。求证：（1）四边形 DAEF 平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）当A=时，四边形 DAEF 是矩形；当ABC 满足 条件时，四边形 DAEF 是菱形；定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 例题 28 如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=12cm，AC=6cm，点 E 在线段 B

15、O 上从点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 F 在线段 OD 上从点 O 以 2cm/s 的速度运动.（1）若点 E、F 同时运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，四边形 AECF是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当 AB 为何值时，四边形 AECF 是菱形；四边形 AECF 可以是矩形吗？为什么？例题 29 已知四边形 ABCD，AD/BC，连接 BD.小明说：“若添加条件 BD2=BC2+CD2，则四边形 ABCD 是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.例题 30如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边

16、 AD 的 EDCBA定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 点上,BG=10.(1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求EFG 的面积.(2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.练习 一、选择题 1，一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（）A.三角形的三条角平分线的交点 B.三角形的三条高线的交点 C.三角形的三条中线的交点 D.三角形的三条

17、边的垂直平分线的交点 2，如图 1，如果ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，那么图中的全等三角形共有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4 对 3，平行四边形的一边长是 10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.4cm 和 6cm B.6cm 和 8cm C.8cm 和 10cm D.10cm 和 12cm 4，在四边形 ABCD中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A.ACBD，ABCD，ABCD B.AD/BC，AC C.AOBOCODO，ACBD D.AOCO，BODO，ABBC 5，如图 2，过矩形 ABCD的四个顶点作对角线 AC、BD的

18、平行线，分别相交于 E、F、G、H四点，则四边形 EFGH为（）A.平行四边形 B、矩形 C、菱形 D.正方形 6，如图 3，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S2，那么 S1、S2的大小关系是（）A.S1 S2 B.S1=S2 C.S1S2 D.S1、S2 的大小关系不确定 7，矩形一个角的平分线分矩形一边为 1cm 和 3cm 两部分，则这个矩形的面积为（）A.3cm2 B.4cm2 C.12cm2 D.4cm2或 12cm2 8.在ABCD中，A：B:C:D的值可以是（）A.1：2：2：1 B.2：3：4：5 C.2：3：4：5 D.1：1：2：3 9，如图 5，

19、将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD折叠，使 C点与 A点重合，则折痕 EF的长是()HABCDEFGABCDEFG图（1）图（2）ABCDEFGH(A)(B)FEDCBA图 3 ADCBHEFG图 2 OABDC图 1 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 E D A O A3 B2 3 C5 D2 5 10.菱形的周长为 8cm，高为 1cm,则菱形两邻角度数比为（）A.3：1 B.4：1 C.5：1 D.6：1

20、 二、填空题 11.如图 6，过矩形 ABCD的对角线 BD上一点 K分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ，那么图中矩形 AMKP的面积 S1与矩形 QCNK的面积 S2的大小关系是 S1 S2（填“”或“”或“”）.12.如图 7，四边形 ABCD是正方形，P在 CD上，ADP旋转后能够与ABP 重合，若 AB3，DP1，则 PP.13.已知菱形有一个锐角为 60，一条对角线长为 6cm，则其面积为cm2.14.如图 8，在梯形 ABCD中,已知 ABCD,点 E为 BC的中点,设DEA的面积为 S1,梯形 ABCD的面积为 S2,则 S1与 S2的关系为.15，如图 11，四边形 ABC

21、D的两条对角线 AC、BD互相垂直，A1B1C1D1四边形 ABCD的中点四边形.如果 AC8，BD10，那么四边形 A1B1C1D1的面积为.三、解答题 16.如图 9，在正方形 ABCD中，E为 CD上一点，F为 BC延长线上一点，CE=CF.（1)求证：BCE DCF。（2）若BEC=60，求EFD.17，如图 10，已知四边形 ABCD是平行四边形，BCD的平分线 CF交边 AB于 F，ADC的平分线 DG交边 AB于 G.（1）线段 AF与 GB相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.18.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线A

22、CBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形 图 8 A1 B1 C1 D1 D A B C 图 10 图 7 图 6 KNMQPDCBA定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形 19 如图，在四边形 ABCD中，AB=BC，对角线 BD平分ABC,P试 BD上一点，过点 P 作 PMAD,PNCD，垂足分别为 M,N.（1）求证：

23、ADB=CDB（2）若ADC=90，求证四边形 MPND 是正方形。20以四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH (1)如图 1，当四边形 ABCD为正方形时，我们发现四边形 EFGH是正方形；如图 2，当四边形 ABCD为矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状（不要求证明）；(2)如图 3，当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设ADC=(090)，求证：HE=HG；四边形 EFGH是什么四边形？并说明理由 图 1 图 2 图 3 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的

24、计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 参考答案：一、1-5CDDCC 6-10ADADC 二、11,=12,13，14，15，20 三、16，（1）略 （2）15 17，（1）证明：四边形 ABCD为平行四边形，ABCD，ADBC，AD=BC AGD=CDG，DCF=BFC DG、CF分别平分ADC和BCD，CDG=ADG，DCF=BCF ADG=AGD，BFC=BCF AD=AG，BF=BC AF=BG；（2）ADBC，ADC+BCD=180，DG、CF分别平分ADC和BCD，

25、EDC+ECD=90 DEC=90 FEG=90 因此我们只要保证添加的条件使得 EF=EG就可以了我们可以添加GFE=FGD，四边形 ABCD为矩形，DG=CF等等 18，（1）四边形为平行四边形 OA=OC 三角形是等边三角形 即 BD 四边形为菱形（2）三角形是等边三角形且 OA=OC 为AEC的角平分线 AED=AEC/2=30 又 =15 又三角形是等边三角形 AC=45同理:BAC=45 ，AB=90 因此四边形是正方形 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的

26、四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 19（1）对角线 BD平分ABC，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB；（2）PMAD，PNCD，ADB=CDB，PMD=PND=90，PM=PN，ADC=90，四边形 MPND 是矩形，PM=PN，四边形 MPND 是正方形 20、（1）解：四边形 EFGH的形状是正方形（2）解：HAE=90+，在平行四边形 ABCD中 ABCD，BAD=180-ADC=180-，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360-HAD-EAB-BAD=360-45-45-（180-a）=90+，答：用含的

27、代数式表示HAE是 90+证明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在平行四边形 ABCD中，AB=CD，AE=DG，AHD和DGC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45，HDG=HDA+ADC+CDG=90+=HAE，AHD是等腰直角三角形，HA=HD，HAE HDG，HE=HG 答：四边形 EFGH是正方形，理由是：由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四边形 EFGH是菱形，定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对学习必备 欢迎下载 HAE HDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90，四边形 EFGH是正方形 定是本章的难点考点结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定角互补对角线平分周长邻边之和面积底高平行四边形是中心对称图形两习必备欢迎下载判定边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对