2023年人教版高中数学《直线和圆的方程》精品讲义全套.pdf

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1、人教版高中数学直线和圆的方程教案全套直线的倾斜角和斜率一、教学目标(一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式(二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力(三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想二、教材分析1重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和

2、斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫2难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了3疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习四、教学过程(一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点 A(1，2)和点 B(2，1)是否在函数图象上初中我们是这样解答的：A(1，2)的坐标满足函数式，点A在函数图象上B(2，1)的坐标不满足函数式，点B不在函数图象上现在我们问：这样解答的理论依据是

3、什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点 B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系(二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a 连函数都不是一次函数y=kx+b，x=a 都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，

4、这条直线上的点的坐标都是这个方程的解这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念(三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b 中 k 的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究(四)直线的倾斜角一条直线l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最

5、小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图 1-21 中的特别地，当直线l 和 x 轴平行时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的取值范围是0180直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以 x 轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系(五)直线的斜率倾斜角不是90的直线它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用k 表示，即直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率(六)过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线 P1P2就

6、是确定的当 x1x2时，直线的倾角不等于90时，这条直线的斜率也是确定的怎样用 P2和 P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2，再作 P1QP2M，垂足分别是 M1、M2、Q那么：=QP1P2(图 1-22 甲)或=-2P1Q(图 1-22乙)综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当 x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上

7、两点的坐标先求斜率得到(七)例题例1如图 1-23，直线 l1的倾斜角 1=30，直线 l2l1，求 l1、l2的斜率l2的倾斜角 2=90+30=120，本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板例2求经过 A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角tg=-10180，=135因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是 135讲此例题时，要进一步强调k 与 P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得(八)课后小结(1)直线的方程的倾斜角的概念(2)直线的倾斜角和斜率的概念(3)直线的斜率公式五、布置作业1(1.3练习第

8、 1 题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可2(1.4练习第 2 题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；解：(1)k=2=arctg2(3)k=1，=453(1.4 练习第 3 题)已知：a、b、c 是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)解：(1)=0；(2)=90；(3

9、)=454已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值A、B、C三点在一条直线上，kAB=kAC六、板书设计直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力(三)学科渗透点通过

10、直线方程的几种形式培养学生的美学意识二、教材分析1重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上2难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点 P1的坐标满足方程三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合四、教学过程(一)点斜式已知直线l 的斜率是 k，并且经过点 P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线 l 的方程(图 1-24)？设点P(x，y)是直线

11、 l 上不同于 P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点 P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点 P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线 l 的方程重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P1、斜率为 k 的直线l 的方程这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式当直线的斜率为0时(图 1-25)，k=0，直线的方程是 y=y1当直线的斜率为90时(图 1-26)，直线的斜率不存

12、在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1(二)斜截式已知直线l 在 y 轴上的截距为 b，斜率为 b，求直线的方程这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率 k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的当k0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距(三)两点式已知直线l 上的两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1

13、x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程当y1y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或 y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用 x 代换得到，足码的规律完全一样(四)截距式例1已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是a 和 b(a 0，b0)，求直线 l 的方程此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成解：因为

14、直线l 过 A(a，0)和 B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示(五)例题例2三角形的顶点是 A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图 1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程本例题要在引导学生灵活选用

15、方程形式、简化运算上多下功夫解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0 这就是直线BC的方程由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0 这就是直线AC的方程(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用(3)要注意四种形式方程的不适用范围五、布置作业1(1.5练习第 1 题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点 A(2，5)，斜率是 4；(4)经

16、过点 D(0，3)，倾斜角是 0；(5)经过点 E(4，-2)，倾斜角是 120解：2(1.5练习第 2 题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，=45；(3)(1，-3)，k=-1，=135；3(1.5 练习第 3 题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是 135，y 轴上的截距是 34(1.5练习第 4 题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)解：(图略)六、板书设计直

17、线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识二、教材分析1重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的

18、斜截式方程和两点式方程上2难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点 P1的坐标满足方程三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合四、教学过程(一)点斜式已知直线l 的斜率是 k，并且经过点 P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线 l 的方程(图 1-24)？设点P(x，y)是直线 l 上不同于 P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点 P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点 P1

19、不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线 l 的方程重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P1、斜率为 k 的直线l 的方程这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式当直线的斜率为0时(图 1-25)，k=0，直线的方程是 y=y1当直线的斜率为90时(图 1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1(二)斜截式已知直线l 在 y 轴上的截距为 b，斜率为 b，求

20、直线的方程这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率 k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的当k0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距(三)两点式已知直线l 上的两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程当y1y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方

21、程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或 y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用 x 代换得到，足码的规律完全一样(四)截距式例1已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是a 和 b(a 0，b0)，求直线 l 的方程此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成解：因为直线l 过 A(a，0)和 B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式引导学生给方程命名：这个方

22、程是由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示(五)例题例2三角形的顶点是 A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图 1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，

23、我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0 这就是直线BC的方程由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0 这就是直线AC的方程(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用(3)要注意四种形式方程的不适用范围五、布置作业1(1.5练习第 1 题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点 A(2，5)，斜率是 4；(4)经过点 D(0，3)，倾斜角是 0；(5)经过点 E(4，-2)，倾斜角是 120解：2(1.5练习第 2 题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直

24、线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，=45；(3)(1，-3)，k=-1，=135；3(1.5 练习第 3 题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是 135，y 轴上的截距是 34(1.5 练习第 4 题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)解：(图略)六、板书设计直线方程的一般形式一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应

25、关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点二、教材分析1重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系2难点：与重点相同3疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x 轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平

26、行的直线，又不能表示过原点的直线与x 轴垂直的直线可表示成 x=x0，与 x 轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 当 90时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当=90时，它的方程可以写成x=x0的形式由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y 的一次方程反过来，对于x、y 的一次方程的一般形式Ax+

27、By+C=0(1)其中A、B不同时为零(1)当 B0 时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b 表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云(2)当 B=0时，由于 A、B不同时为零，必有A0，方程(1)可化为它表示一条与y 轴平行的直线这样，我们又有：关于x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中 A、B不全为零)叫做直线方程的一般式引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0把常数次移到

28、等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留例2把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线l 的斜率和在 x 轴与 y 轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以

29、 2 得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线例3证明：三点 A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上证法一直线 AB的方程是：化简得 y=x+2 将点C的坐标代入上面的方程，等式成立A、B、C三点共线A、B、C三点共线|AB|+|BC|=|AC|，A、C、C三点共线讲解本例题可开拓学生思路，培

30、养学生灵活运用知识解决问题的能力例4直线 x+2y-10=0 与过 A(1，3)、B(5，2)的直线相交于 C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点 C 分 AB所成的定比，计算量大了一些如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点 C 在直线 AB上)，然后代入已知的直线方程求，则计算量要小得多代入x+2y-10=0 有：解之得=-3(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点(2)例 4 一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得五、布置作

31、业1(1 6 练习第 1 题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点 B(4，2)，平行于 x 轴；(5)经过两点 P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是 45解：(1)x+2y-4=0；(2)y-2=0；(3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0；(5)x+y-1=0；(6)x-y+7=03(习题二第 8 题)一条直线和 y 轴相交于点 P(0，2)，它的倾斜角4(习题二第十三题)求过点 P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程5(习题二第 16 题)设点 P(x0，y0)在直线 As+By+C=0 上，求证：这条直线的方程可以写成 A(

32、x-x0)+B(y-y0)=0 证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有 C=-Ax0-By0，将 C代入 Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0 6过 A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线 l：Ax+By+C=0于 C，六、板书设计两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识

33、，激发学生学习的兴趣二、教材分析1重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用2难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题3疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题三、活动设计提问、讨论、解答四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0

34、，两直线互相垂直(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和 l2的斜率为 k1和 k2，它们的方程分别是l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形如果 l1l2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相等：1=2tg 1=tg 2即 k1=k2反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么 tg 1=tg 2由于01180，0 180，1=2两直线不重合，l1l2两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，

35、那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x()要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立现在研究两条直线垂直的情形如果l1l2，这时12，否则两直线平行设 21(图 1-30)，甲图的特征是 l1与 l2的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 l1与 l2的交点在 x 轴下方；丙图的特征是 l1与 l2的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有1=90+2因为l1、l2的斜率是 k1、k2，即190，所以20可以推出1=90+2l1l2两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它

36、们互相垂直，即eq x()(三)例题例1已知两条直线l1：2x-4y+7=0，L2：x-2y+5=0 求证：l1l2证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合证明：把l1、l2的方程写成斜截式：两直线不相交两直线不重合，l1l2例2 求过点 A(1，-4)，且与直线 2x+3y+5=0 平等的直线方程即 2x+3y+10=0解法2因所求直线与 2x+3y+5=0 平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将 A(1，-4)代入有 m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0例3已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：2x+y-5=0 求证：l1l2l1l2

37、例4求过点 A(2，1)，且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线方程解法1已知直线的斜率 k1=-2所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是 x-2y=0 解法2因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得 m=0，所求直线的方程是x-2y=0(四)课后小结(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法五、布置作业1(1 7 练习第 1 题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和 2x-6y+1=0；(2)y=x

38、与 3x 十 3y-10=0；(3)3x+4y=5与 6x-8y=7；解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直2(1 7 练习第 2 题)求过点 A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线 2x+5-5=0；(2)垂直于直线 x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0 3(1 7 练习第 3 题)已知两条直线 l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直分别写出逆命题并判断逆命题是否成立解：(1)另一条也没有斜率逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立(2

39、)另一条斜率为零逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立4(习题三第 3 题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程也就是 2x+7y-21=0 同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0六、板书设计两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题(二)能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公

40、式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯二、教材分析1重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请 l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用2，难点：公式的记忆与应用3疑点：推导 l1、l2的角公式时的构图的分类依据三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题(二)l1到 l2

41、的角正切两条直线l1和 l2相交构成四个角，它们是两对对顶角 为了区别这些角，我们把直线 l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到 l2的角图 1-27 中，直线l1到 l2的角是 1，l2到 l1的角是2(1+2=180)l1到 l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线 l1到 l2的角，设已知直线的方程分别是l1y=k1x+b1 l2y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么=90，下面研究1+k1k20 的情形由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究 与l1和 l2的倾角的关系入手考虑问题设l1、l2的倾斜角分别是 1和2

42、(图 1-32)，甲图的特征是 l1到 l2的角是 l1、l2和 x 轴围成的三角形的内角；乙图的特征是 l1到 l2的角是 l1、l2与 x 轴围成的三角形的外角tg1=k1，tg 2=k2=2-1(图 1-32)，或=-(1-2)=+(2-1)，tg=tg(2-1)或tg=tg(2-1)=tg(2-1)可得即eq x()上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2，k2=1=ar

43、ctg37134本例题用来熟悉夹角公式例2已知直线 l1：A1x+B1y+C1=0 和 l2：A2x+B2y+C2=0(B10、B20、A1A2+B1B20)，l1到 l2的角是，求证：证明：设两条直线l1、l2 的斜率分别为 k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到 l2的角例3 等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是 x-2y-2=0，底边所在的直线 l2的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关设l1、l2、l3的斜率分别是 k1、k2、k3，l1到

44、 l2的角是1，l2到 l3的角是2，则因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以1=2tg2=tg 1=-3解得 k3=2因为l3经过点(-2，0)，斜率为 2，写出点斜式为y=2x-(-2)，即 2x-y+4=0 这就是直线l3的方程讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角(五)课后小结(1)l1到 l2的角的概念及 l1与 l2夹角的概念；(2)l1到 l2的角的正切公式；(3)l1与 l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角五、布置作业1(教

45、材第 32 页，18 练习第 1 题)求下列直线 l1到 l2的角与 l2到 l1的角：1=45l2到 l1的角2=-1=arctg32(教材第 32 页，18 练习第 2 题)求下列直线的夹角：k1k2=-1，l1与 l2的夹角是 90(2)k1=1，k2=0两直线的夹角为45l1与 l2的夹角是 903(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2，1)，且和直线 5x+2y+3=0 的夹角为 45o，求直线 l 的方程即3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0 4等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是 2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在

46、另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程解：这是本课例3 将 l1与 l3互换的变形题，解法与例3 相同，所求方程为：x-2y-2=0六、板书设计两条直线的交点一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x 后直接分析出 y 的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力(三)学科渗透点

47、通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想二、教材分析1重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论2难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论3疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1：A1x+B1y+c1=0，l2：A2x+B2y+C2=0如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只

48、有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和 l2的交点因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系下面设A1、A2、B1、B2全不为零解这个方程组：(1)B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0(4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用 B1、B2代入即可得上面得到y 可把方程组写成即将x

49、用 y 换，A1、A2分别与 B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组综上所述，方程组有唯一解：这时l1与 l2相交，上面 x 和 y 的值就是交点的坐标(2)当 A1B2-A2B1=0 时：当B1C2-B2C10 时，这时 C1、C2不能全为零(为什么？)设 C2如果B1C2-B2C1=0，这时 C1、C2或全为零或全不为零(当 C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究(四)例题例

50、1求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0 解：解方程组l1与 l2的交点是 M(-2，2)例2已知两条直线：l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0 当m为何值时，l1与 l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或 m=3(2)当 m=-1时，方程组为方程无解，l1与 l2平行(3)当 m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与 l2重合(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法五