2023年[推荐学习]全国高考数学一轮复习第章三角函数解三角形第讲三角函数的图象和性质学案.pdf

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1、生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 第 3 讲 三角函数的图象和性质 板块一 知识梳理自主学习 必备知识 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 必会结论 1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T2|，函数y生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 tan(x)的最小正周期为T|.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的

2、形式，而偶函数一般可化为yAcosxb的形式 考点自测 1判断以下结论的正误(正确的打“，错误的打“)(1)ycosx在第一、二象限内是减函数()(2)函数ysin2x32是偶函数，最小正周期为.()(3)函数ysinx的对称轴方程为x2k2(kZ)()(4)函数ytanx在整个定义域上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2 课本改编 假设函数f(x)cos2x，那么f(x)的一个递增区间为()A.4，0 B.0，2 C.2，34 D.34，答案 B 解析 由f(x)cos2x知递增区间为k，k2，kZ，故只有 B项满足 32021福建模拟 函数f(x)sinx4的图象的一条对称轴是()A

3、x4 Bx2 Cx4 Dx2 答案 C 解析 由x42k，得xk34，当k1 时，x4.42021厦门模拟 函数y2sin2x41 的图象的一个对称中心的坐标是()A.38，0 B.38，1 C.8，1 D.8，1 答案 B 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解析 对称中心的横坐标满足 2x4k，解得x8k2，kZ.当k1 时，x38，y1.应选 B.5 课本改编 函数ytan4x的定义域是()Axx4 Bxx4 Cxxk4，kZ Dxxk34，kZ 答案 D 解析 ytan4xtanx4，由x42k，kZ，得xk34，kZ.应选 D.6函数y32cosx4的最大值为_，此

4、时x_.答案 5 342k(kZ)解析 函数y32cosx4的最大值为 325，此时x42k(kZ)，即x342k(kZ)板块二 典例探究考向突破 考向 三角函数的定义域、值域 例 1(1)2021烟台模拟 函数ycosx32的定义域为()A.6，6 B.k6，k6(kZ)C.2k6，2k6(kZ)DR 答案 C 解析 cosx320，得 cosx32，2k6x2k6，kZ.(2)函数y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为 _ 答案 2 3 解析 0 x9，36x376，生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 32sin6x31，故 32sin632.即函数y2sin

5、6x3(0 x9)的最大值为 2，最小值为 3.所以最大值与最小值的和为 2 3.本例(2)中的函数换为“y3sinx2cos2x，x6，76，如何解答？解 x6，76，sinx12，1.又y3sinx2cos2x3sinx2(1 sin2x)2sinx14278，当 sinx14时，ymin78；当 sinx12或 sinx1 时，ymax2.故函数的最大值与最小值的和为 278238.本例(2)中的函数换为“ysinxcosxsinxcosx，x0，又该如何解答？解 令tsinxcosx，又x0，t 2sinx4，t 1，2 由tsinxcosx，得t212sinxcosx，即 sinxc

6、osx1t22.原函数变为yt1t22，t 1，2 即y12t2t12.当t1 时，ymax121121；当t1 时，ymin121121.故函数的最大值与最小值的和为 110.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 触类旁通 三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令tsinx，或tsinxcosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)换元法的应用：把 sinx或 cosx看作一个

7、整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题此时注意所换元的取值范围【变式训练 1】(1)函数y 2sinx1的定义域为()A.6，56 B.2k6，2k56(kZ)C.2k6，2k56(kZ)D.k6，k56(kZ)答案 B 解析 由 2sinx10，得 sinx12，所以 2k6x2k56(kZ)(2)函数ycosx6，x0，2的值域是_ 答案 12，32 解析 x0，2，x66，23，y12，32.考向 三角函数的单调性 例 2 函数f(x)2sin2x4(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性 解(1)因为f(x)2sin2x4的最小正周期为

8、，且0.从而有22，故1.(2)因为f(x)2sin2x4.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 假设 0 x2，那么42x454.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；当22x454，即8x2时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减 触类旁通 三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间 0，23上单调递减，那么有23T2，即T43，所以T243，解得32.所以的值可以是12.应选 A.(2)函数ysin32x的递

9、增区间是_ 答案 k512，k1112(kZ)解析 ysin2x3，2k22x32k32 k512xk1112(kZ)考向 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 命题角度 1 三角函数的周期性与奇偶性 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 例 3 2021长沙模拟 设函数f(x)2sinx40，|2的最小正周期为，且是偶函数，那么()Af(x)在0，2内单调递减 Bf(x)在4，34内单调递减 Cf(x)在0，2内单调递增 Df(x)在4，34内单调递增 答案 A 解析 由条件，知2.因为f(x)是偶函数，且|0,0，直线x4和x54是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴

10、，那么等于()A.4 B.3 C.2 D.34 答案 A 解析 由题意得22544，1，f(x)sin(x)，42k(kZ)，4k(kZ)又00)的形式 2.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysint的性质 总分值策略 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域根底上分析单调性，含参数的最值问题，生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 要讨论参数对最值的影响 2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情

11、况 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.板块三 启智培优破译高考 数学思想系列 4三角函数中的分类讨论思想 2021龙岩模拟 函数f(x)2asin2x6ab的定义域是0，2，值域是 5,1，求a，b的值 解题视点 先求出 2x6的范围，再求出 sin2x6的值域；系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a0，a0 或a0 时，b5，3ab1，解得 a2，b5.当a0 或a0 的分类讨论，导致漏解.跟踪训练 a是实数，那么函数f(x)1asinax的图象不可能是()生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 D 解析 当

12、a0 时，f(x)1，即图象 C；当 0a1 时，三角函数的最大值为 1a2，即图象 A；当a1 时，三角函数的最大值为a1 2，且最小正周期为T2a0)的图象的相邻两支截直线y1 所得的线段长为4，那么f12的值是()A0 B.33 C1 D.3 答案 D 解析 由条件可知，f(x)的周期是4.由4，得4，所以f12tan412tan3 3.5函数y2sin62x(x0，)的增区间是()A.0，3 B.12，712 C.3，56 D.56，答案 C 解析 y2sin62x2sin2x6，由22k2x6322k，kZ，解得3kx56k，kZ，即函数的增区间为3k，56k，kZ，当k0 时，增区

13、间为3，56.62021深圳模拟 函数ylog 12 cosx的一个单调减区间是()A(，0)B(0，)C.0，2 D.2，0 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 D 解析 首先应保证 cosx0；函数ylog 12 cosx的单调减区间，即函数cosx的单调增区间.易知只有选项 D符合.7 2021郑州模拟 如果函数y3sin(2x)的图象关于直线x6对称，那么|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案 A 解析 由题意，得 sin261.所以32k，即6k(kZ)，故|min6.8函数y2sin2x31，x0，3的值域为_，并且取最大值时x的值为_ 答案

14、1,1 12 解析 x0，3，2x33，sin2x30,1，y 1,1 当 2x32时，即x12时y取得最大值 1.92021江苏模拟 函数ylg sin2x 9x2的定义域为_ 答案 3，20，2 解析 由 sin2x0，9x20，得 kxk2，kZ，3x3.3x2或 0 x2.函数ylg sin2x 9x2的定义域为3，20，2.10如果函数y3cos(2x)的图象关于点43，0 成中心对称，那么|的最小值为_ 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 6 解析 依题意得 3cos830，83k2，k136(kZ)，所以|的最小值是6.B级 知能提升 12021全国卷 设

15、函数f(x)cosx3，那么以下结论错误的选项是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x83对称 Cf(x)的一个零点为x6 Df(x)在2，单调递减 答案 D 解析 A项，因为f(x)cosx3的周期为 2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cosx3图象的对称轴为直线xk3(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x83对称，B项正确 C项，f(x)cosx43.令x43k2(kZ)，得xk56，当k1 时，x6，所以f(x)的一个零点为x6，C项正确D项，因为f(x)cosx3的递减区间为2k3，2k23(kZ)，递增区间为2k23，2k53(

16、kZ)，所以2，23是减区间，23，是增区间，D项错误 应选 D.22021宁夏模拟 0，函数f(x)sinx4在2，上单调递减，那么的取值范围是()A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0,2)答案 A 解析 由2x，0 得，24x44，又ysinx在2，32生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 上递减，所以 242，432，解得 1254.应选 A.3函数f(x)cos3x3，其中x6，mmR且m6，假设f(x)的值域是1，32，那么m的最大值是_ 答案 518 解析 由x6，m，可知563x33m3，f6cos5632，且f29cos 1，要使f(x)的值域是

17、1，32，需要 3m376，解得29m518，即m的最大值是518.42021广东模拟 设函数f(x)tanx23.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式1f(x)3的解集 解(1)由x232k(kZ)，得x532k(kZ)，所以函数f(x)的定义域是 x xR，且x532k，kZ.因为12，所以周期T2.由2kx232k(kZ)，得32kx532k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是32k，532k (kZ)(2)由1tanx23 3，得4kx233k(kZ)生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解得62kx432k(kZ)所以不等式1f(x)3的解

18、集是 x 62kx432k，kZ.5函数f(x)sin(x)(01,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点M34，0 对称(1)求，的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x34，2，求f(x)的最大值与最小值 解(1)因为f(x)sin(x)是 R 上的偶函数，所以2k，kZ，且0，那么2，即f(x)cosx.因为图象关于点M34，0 对称，所以342k，kZ，且 01，所以23.(2)由(1)得f(x)cos23x，由2k23x2k 且kZ得，3k32x3k，kZ，所以函数f(x)的递增区间是3k32，3k，kZ.(3)因为x34，2，所以23x2，3，当23x0 时，即x0，函数f(x)的最大值为 1，当23x2时，即x34，函数f(x)的最小值为 0.