2023年[推荐学习]全国高考数学一轮复习第章三角函数解三角形第讲正弦定理和余弦定理学案.pdf

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1、生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 第 6 讲 正弦定理和余弦定理 板块一 知识梳理自主学习 必备知识 考点 1 正弦定理 asinAbsinBcsinC2R，其中 2R为ABC外接圆的直径 变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.abcsinAsinBsinC.考点 2 余弦定理 a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.变式：cosAb2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosCa2b2c22ab.sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.考点 3 在ABC中，a，b和A时，三角形解的情况

2、A为锐角 A为钝角或直角 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 图形 关系式 absinA bsinAab ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点 4 三角形中常用的面积公式 1S12ah(h表示边a上的高)2S12bcsinA12acsinB12absinC.3S12r(abc)(r为三角形的内切圆半径)必会结论 在ABC中，常有以下结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sinAB2cosC2；cosAB2sinC2.

3、(5)tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(6)ABabsinAsinBcosAcosB.考点自测 1判断以下结论的正误(正确的打“，错误的打“)(1)在ABC中，AB必有 sinAsinB.()(2)在ABC中，假设b2c2a2，那么ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，asinAabcsinAsinBsinC.()(4)在ABC中，假设acosBbcosA，那么ABC是等腰三角形()答案(1)(2)(3)(4)2 课本改编 在ABC中，假设sinAacosBb，那么B的值为()A30 B45 C60 D90 答案 B 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解

4、析 由正弦定理知：sinAsinAcosBsinB，sinBcosB，B45.32021长春质检 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设a2b2c2bc，bc4，那么ABC的面积为()A.12 B 1 C.3 D 2 答案 C 解析 a2b2c2bc，cosA12，A3，又bc4，ABC的面积为12bcsinA 3.4 课本改编 在ABC中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大内角的大小为_ 答案 120 解析 由 sinAsinBsinC357 知，三角形的三边之比abc357，最大的角为C.由余弦定理得 cosC12，C120.52021全国卷 ABC的内角A

5、，B，C的对边分别为a，b，c.C60，b 6，c3，那么A_.答案 75 解析 如图，由正弦定理，得 3sin606sinB，sinB22.又cb，B45，A180604575.62021重庆高考 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC14，3sinA2sinB，那么c_.答案 4 解析 由 3sinA2sinB及正弦定理，得 3a2b，所以b32a3.由余弦定理的推论得生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 cosCa2b2c22ab，得142232c2223，解得c4.板块二 典例探究考向突破 考向 利用正、余弦定理解三角形 例 1(1)2021浙

6、江模拟 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设bc2a,3sinA5sinB，那么角C_.答案 23 解析 由 3sinA5sinB，得 3a5b，a53b，又bc2a，所以c73b.根据余弦定理的推论 cosCa2b2c22ab，把a53b，c73b代入，化简得 cosC12，所以C23.(2)2021全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设 2bcosBacosCccosA，那么B_.答案 3 解析 解法一：由 2bcosBacosCccosA及正弦定理，得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，A

7、CB.2sinBcosBsin(B)sinB.又 sinB0，cosB12.B3.解法二：在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为 2bcosBb，cosB12.又 0B0，sinA1，A2，故ABC为直角三角形 本例条件变为假设abcosBcosA，判断ABC的形状 解 由abcosBcosA，得sinAsinBcosBcosA，sinAcosAcosBsinB，sin2Asin2B.A、B为ABC的内角，2A2B或 2A2B，AB或AB2，ABC为等腰三角形或直角三角形 本例条件变为假设a2bcosC，判断ABC的形状 解 解法一：因为a2bcosC，所以由余弦定理得，a2ba2b

8、2c22ab，整理得b2c2，那么此三角形一定是等腰三角形 解法二：sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC，sin(BC)0，BC，BC0，BC，那么此三角形定是等腰三角形 本例条件变为假设cbcosA，判断ABC的形状 解 依题意得sinCsinBcosA，sinCsinBcosA，所以 sin(AB)sinBcosA.即 sinBcosAcosBsinAsinBcosA0.所以 cosBsinA0，于是有 cosB0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形 触类旁通 判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行

9、判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响 【变式训练 2】在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，假设asinAbsinBcsinC，那么ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 答案 C 解析 根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理的推论得 cosCa2b2c22ab0，故C是钝角 考向 与三角形面积有关的问题 例 3 20

10、21全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.ABC的面积为a23sinA.(1)求 sinBsinC；(2)假设 6cosBcosC1，a3，求ABC的周长 解(1)由题设得12acsinBa23sinA，即12csinBa3sinA.由正弦定理得12sinCsinBsinA3sinA.故 sinBsinC23.(2)由题设及(1)得 cosBcosCsinBsinC12，即 cos(BC)12.所以BC23，故A3.由题意得12bcsinAa23sinA，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc 33.故ABC的周长为 3 33.触类

11、旁通 三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 【变式训练 3】2021全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sinA 3cosA0，a2 7，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 解(1)由可得 tanA 3，所以A23.在ABC中，由余弦定理得 284c24ccos23，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.(2)由题设可得CAD2

12、，所以BADBACCAD6.故ABD面积与ACD面积的比值为 12ABADsi n612ACAD1.又ABC的面积为1242sinBAC2 3，所以ABD的面积为 3.核心规律 1.在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解 2.在ABC中，a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角来取舍 总分值策略 1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象 2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提

13、取公因式，以免漏解.板块三 启智培优破译高考 题型技法系列 6利用均值不等式破解三角函数最值问题 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 2021山东高考 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.2(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA.(1)证明：ab2c；(2)求 cosC的最小值 解题视点(1)首先把切函数转化为弦函数，将分式化为整式，然后根据和角公式及三角形内角和定理化简，最后根据正弦定理即可证明；(2)首先根据(1)中的结论和余弦定理表示出 cosC，然后利用根本不等式求解最值 解(1)证明：由题意知 2sinAcosAsinBcosBsinAco

14、sAcosBsinBcosAcosB，化简得 2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即 2sin(AB)sinAsinB.因为ABC，所以 sin(AB)sin(C)sinC，从而 sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知cab2，所以 cosCa2b2c22aba2b2ab222ab 38abba14341412，当且仅当ab时，等号成立 故 cosC的最小值为12.答题启示 对于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一个的范围时，可利用根本不等式转化为以该量为变量的不等式求解.跟踪训练 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC

15、3(acosBbcosA)(1)求角C；(2)假设c2 3，求ABC面积的最大值 解(1)ctanC 3(acosBbcosA)，sinCtanC 3(sinAcosBsinBcosA)，sinCtanC 3sin(AB)3sinC，0C，sinC0，tanC 3，C3.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持(2)c2 3，C3，由余弦定理c2a2b22abcosC，得 12a2b2ab2abab，ab12，SABC12absinC3 3，当且仅当ab2 3时，ABC的面积取得最大值 3 3.板块四 模拟演练提能增分 A级 根底达标 12021北京西城期末 ABC中，a1，b 2

16、，B45，那么A等于()A150 B90 C60 D30 答案 D 解析 由正弦定理，得1sinA2sin45，得 sinA12.又ab，AB45.A30.应选 D.2在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边假设bsinA3csinB，a3，cosB23，那么b()A14 B 6 C.14 D.6 答案 D 解析 bsinA3csinBab3bca3cc1，b2a2c22accosB91231236，b 6.应选 D.32021甘肃张掖月考 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设c2a，bsinBasinA12asinC，那么 sinB为()A.74 B.34 C.73

17、 D.13 答案 A 解析 由bsinBasinA12asinC，且c2a，得b2a，cosBa2c2b22aca24a22a24a234，sinB134274.4设A是ABC的一个内角，且 sinAcosA23，那么这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 答案 B 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解析 将 sinAcosA23两边平方得 sin2A2sinAcosAcos2A49，又 sin2Acos2A1，故 sinAcosA518.因为 0A0，那么 cosA0，即A是钝角 5在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且

18、 cos2B3cos(AC)20，b 3，那么csinC等于()A31 B.31 C.21 D 21 答案 D 解析 由 cos2B3cos(AC)20，得 2cos2B3cosB10，解得 cosB1(舍去)或 cosB12，所以 sinB32，所以csinCbsinB21.62021浙江高考 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术可以估算圆周率，理论上能把 的值计算到任意精度 祖冲之继承并开展了“割圆术，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年“割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.答案 3 32 解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，那么OAOBAB1.S66SO

19、AB6121323 32.7在ABC中，AB3，A120，且ABC的面积为15 34，那么BC_.答案 7 解析 由SABC15 34得123ACsin12015 34，所以AC5，因此BC2AB2AC22ABACcos120 9252351249，解得BC7.82021渭南模拟 在ABC中，假设a2b2 3bc且sin ABsinB2 3，那么A_.答案 6 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解析 因为sin ABsinB23，故sinCsinB23，即c2 3b，那么 cosAb2c2a22bc12b2 3bc4 3b26b24 3b232，所以A6.9在ABC中，A，

20、B，C的对边分别为a，b，c，假设 tanAtanC 3(tanAtanC1)(1)求角B；(2)如果b2，求ABC面积的最大值 解(1)tanAtanC 3(tanAtanC1)，tanAtanCtanAtanC1 3，即tanAtanC1tanAtanC 3，即 tan(AC)3.又ABC，tanBtan(AC)3，B3.(2)由余弦定理的推论得 cosBa2c2b22ac12，即 4a2c2ac2acac，ac4，当且仅当ac2 时，等号成立 SABC12acsinB12432 3.故ABC的面积的最大值为 3.102021长沙模拟 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设a1

21、,2cosCc2b.(1)求A；(2)假设b12，求 sinC.解(1)因为a1,2cosCc2b，由余弦定理得 212b2c22bc2b，即b2c21bc.所以 cosAb2c2122bcbc2bc12.因为 0A180，所以A60.(2)解法一：由b12及b2c21bc，得122c2112c，即 4c22c30，解得c1 134或c1 134(舍去)由正弦定理得csinCasinA，生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 得 sinC1 134sin603 398.解法二：由a1，b12及正弦定理bsinBasinA，得 sinB12sin6034.由于ba，那么 0B0，b

22、5.22021全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c 2，那么C()A.12 B.6 C.4 D.3 答案 B 解析 因为a2，c 2，所以由正弦定理可知，2sinA2sinC，故 sinA 2sinC.又B(AC)，故 sinBsinA(sinCcosC)生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 sin(AC)sinAsinCsinAcosC sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC(sinAcosA)sinC 0.又C为ABC的内角，故 sinC0，那么 sinAcosA0，即 tanA1.

23、又A(0，)，所以A34.从而 sinC12sinA222212.由A34知C为锐角，故C6.应选 B.32021浙江高考 ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，那么BDC的面积是_，cos BDC_.答案 152 104 解析 依题意作出图形，如下图，那么 sin DBCsin ABC.由题意知ABAC4，BCBD2，那么 sin ABC154，cos ABC14.所以SBDC12BCBDsinDBC 1222154152.因为 cos DBCcos ABC14BD2BC2CD22BDBC 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 8CD28，所以

24、CD 10.由余弦定理，得 cos BDC410422 10104.4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)假设c 7，ABC的面积为3 32，求ABC的周长 解(1)由及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC.故 2sinCcosCsinC.可得 cosC12，所以C3.(2)由，得12absinC3 32.又C3，所以ab6.由及余弦定理得，a2b22abcosC7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为 5 7.5 2021天津高考 在ABC中，内

25、角A，B，C所对的边分别为a，b，c.asinA4bsinB，ac 5(a2b2c2)(1)求 cosA的值；(2)求 sin(2BA)的值 解(1)由asinA4bsinB，及asinAbsinB，得a2b.由ac 5(a2b2c2)及余弦定理，得 cosAb2c2a22bc55acac55.(2)由(1)，可得 sinA2 55，代入asinA4bsinB，得 sinBasinA4b55.由(1)知，A为钝角，所以 cosB 1sin2B2 55.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 于是 sin2B2sinBcosB45，cos2B12sin2B35，故 sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA4555352 552 55.