2023年初中数学知识点归纳总结小结全.pdf

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1、1初中数学知识点总结一、基本知 识（一）、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：整数：正整数、0、负整数；分数：正分数、负分数；数轴：画一条水平直线，在直 线上取一点表示 0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数 轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。如果两个数只有符号不同，那么我 们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数。在数 轴上，表示互 为相反数的两个点，位于原点的两 侧，并且与原点距离相等。数轴上两个点表示的数，右 边的总比左边的大。正数大于0，负数小于 0，正数大于 负数。绝对值：在数轴上，一个数所 对应的点与原点的距

2、离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0 的绝对值是 0。两个 负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：同号相加，取相同的符号，把 绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取 绝对值较大的数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与 0 相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：两数相乘，同号得正，异号得 负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘得 0。2 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。0 不能作除数。乘方：求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a 叫底数，n

3、 叫次数。nana混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。2、实数 无理数：无限不循 环小数叫无理数平方根：如果一个正数的平方等于，那么 这个正数就叫做的算术平方根。xaxa 如果一个数的平方等于，那么 这个数就叫做的平方根。xaxa 一个正数有 2 个平方根，0 的平方根为 0，负数没有平方根。求一个数的平方根运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。aa立方根：如果一个数的立方等于，那么 这个数就叫做的立方根。xaxa 正数的立方根是正数、0 的立方根是 0、负数的立方根是负数。求一个数的立方根的运算叫开立方，其中 叫做被开方数。aa实数：实数分有理数和无理数。在实数范围

4、内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。3、代数式：代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的 项，叫做同 类项。把同类项合并成一项就叫做合并同类项。在合并同类项时，我 们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不 变。4、整式与分式3整式：数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个 单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做 这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的 项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算 时，如果遇到括号

5、先去括号，再合并同 类项。幂的运算：；nnnnnnnmnmnmnmbababaabaaaaaa)()(整式的乘法：单项式与单项式相乘，把他 们的系数，相同字母的 幂分别相乘，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用 单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的 积相加。公式两条：平方差公式：；完全平方公式：)(22bababa2222)(bababa整式的除法：单项式相除，把系数，同底数 幂分别相除后，作 为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因

6、式。多项式除以单项式，先把 这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。分解因式：把一个多 项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式：整式 A 除以整式 B，如果除式B 中含有分母，那么 这个就是分式，对于任何一个分式，分母不能为 0。4 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的 值不变。分式的运算：乘法：把分子相乘的 积作为积的分子，把分母相乘的 积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以 这个分式的倒数。加减法：同分母分式相加减，分母不 变，把分子相加减。异分母的分式先通分，化 为同

7、分母的分式，再加减。分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。使方程的分母为 0 的解称为原方程的增根。B、方程与不等式1、方程与方程 组一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不 为 0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同 类项，将未知数系数化 为 1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做 这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组：两个二元一次方程 组成的方程组叫做二元

8、一次方程组。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做 这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法。一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为 2 的方程1）一元二次方程的二次函数的关系二次函数（如抛物 线），一元二次方程的解可在二次函数图象中表示，一元二次方cbxaxy2程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y 为 0 的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与 x 轴的交点就是该方程的解。52）一元二次方程的解法：二次函数图像有顶点：，利用他可以求出所有的一元二)44,2(2abacab次方程的解(1

9、）配方法：利用配方，使方程变为完全平方公式，再开平方法去求解。(2)分解因式法：提取公因式，利用公式法、十字相乘法。把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法：这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根为：3）解一元二次方程的步 骤：（1）配方法的步 骤：先把常数 项移到方程的右边，再把二次 项的系数化为 1，再同 时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右 边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法：就把一元二次方程的各系数分 别代入，二次 项的系数

10、为 a，一次 项的系数为 b，常数 项的系数为 c4）韦达定理：韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和，二根之 积：abxx21acxx21利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在 题目中很常用5）一元一次方程根的情况：根的判别式：，I 当 0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；II 当=0 时，一元二次方程有2 个相同的实数根；III 当”，或“”，号 连接的式子叫不等式。0)24)(24(222aacbbxaacbbxcbxax;24,242221aacbbxaacbbx6 不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不 变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向

11、不 变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两 边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就 组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做 这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式 组。一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那 样，等号是不 变的，

12、他是随着你加或乘的运算改 变。在不等式中，如果加上同一个数，不等式符号不改向；例如：。则若cbcaba,在不等式中，如果减去同一个数，不等式符号不改向；例如：。则若cbcaba,在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：。则若)0(,ccbcaba在不等式中，如果乘以同一个 负数，不等号反向；例如：。则若)0(,ccbcaba如果不等式乘以 0，那么不等号改 为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看 题中是否出现一元一次不等式，如果出 现了，那么不等式乘以的数就不等为 0，否 则不等式不成立；3、函数：变量：因 变量，自 变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数

13、 轴 x 上的点表示自变量，用 竖直方向的数7轴 y 上的点表示因变量。一次函数：若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成：（b 为常数，k 不等于 0）的形式，则称 ybkxy是 x 的一次函数。当 b=0 时，即：称 y 是 x 的正比例函数。)0(kkxy一次函数的图象：把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐 标系内描出它的对应点，所有 这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数的图象是经过原点的一条直线。)0(kkxy 在一次函数中，当k0，b0，b0 时，则经 1、2、4 象限；当k0，b0，b0 时，则经 1、2、3 象限。当 k0

14、时，Y 的值随 x 值的增大而增大，当k0 时，y 的值随 x 值的增大而减少。(二)空间与图形A、图形的认识1、点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面 动成体。展开与折叠：在棱柱中，任何相 邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有 侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N 棱柱就是底面图形有 N 条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个 图形，截出的面叫做截面。视图：主 视图，左 视图，俯 视图。多边形：他 们是由一些不在同一条直线上的线段 依次首尾相连组成的封闭图形。8弧、扇形：由一条弧和经

15、过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。2、角线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射 线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直 线没有端点。经过两点有且只有一条直线。比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做 这两点之间的距离。角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射 线的公共端点是这个角的顶点。一度的是一分，一分的是一秒。1=60；1=60；601601角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当 终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始 边继续旋

16、转，当他又和始 边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把 这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。平行：同一平面内，不相交的两条直 线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直 线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线互相平行。9垂直：如果两条直线相交成直角，那么 这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直平分线：垂直和平分一条 线段的直线叫垂直平分线。垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射 线或直线，这根射线和直线可以无限延长有关，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分

17、线的时候，确定了两点后，一定要把 线段穿出两点。角平分线：把一个角平分的射 线叫该角的角平分线。定义中有几个要点要注意，角的角平分线是一条射线，不是 线段也不是直线，在 题目中会出现1直线，这是角平分线作为对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角的角平分线就2是到角两边距离相等的点的轨迹。正方形：一 组邻边相等的矩形是正方形性质：正方形具有平行四 边形、菱形、矩形的一切性 质判定：1、对角线相等的菱形 2、邻边相等的矩形二、基本定理1、过两点有且只有一条直线 2、两点之 间线段最短3、同角或等角的 补角相等 4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直 线外一

18、点与直线上各点连接的所有线段中，垂 线段最短7、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直 线与这条直线平行8、如果两条直 线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直 线平行1010、内 错角相等，两直 线平行11、同旁内角互 补，两直 线平行12、两直 线平行，同位角相等13、两直 线平行，内 错角相等14、两直 线平行，同旁内角互 补15、定理：三角形两边的和大于第三边16、推 论：三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 18018、推 论 1：直角三角形的两个锐角互余19、推 论 2：三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和20、推

19、 论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角21、全等三角形的 对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角 边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推 论(AAS)：有两角和其中一角的 对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS)：有三 边对应相等的两个三角形全等26、斜 边、直角 边公理(HL)：有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1：在角的平分 线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2：到一个角的两 边的距离相同的点，在 这个角的平分线上29、角的平分 线是到角的

20、两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性 质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推 论 1：等腰三角形 顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的 顶角平分线、底 边上的中线和底边上的高互相重合33、推 论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 601134、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推 论 1：三个角都相等的三角形是等 边三角形36、推 论 2：有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个 锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三

21、角形斜 边上的中线等于斜边的一半39、定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1：关于某条直 线对称的两个图形是全等形43、定理2：如果两个 图形关于某直线对称，那么 对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3：两个 图形关于某直线对称，如果它 们的对应线段或延长线相交，那么交点在 对称轴上45、逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么 这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜

22、边 c 的平方，即：222cba47、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 有关系，那么 这个三角形是直角222cba三角形48、定理：四边形的内角和等于 36049、四 边形的外角和等于 36050、多 边形内角和定理：n 边形的内角的和等于（n-2）18051、推 论：任意多 边的外角和等于 36052、平行四 边形性质定理 1：平行四 边形的对角相等53、平行四 边形性质定理 2：平行四 边形的对边相等54、推 论：夹在两条平行线间的平行线段相等1255、平行四 边形性质定理 3：平行四 边形的对角线互相平分56、平行四 边形判定定理 1：两 组对角分别相等的四边形是平行四边

23、形57、平行四 边形判定定理 2：两 组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四 边形判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四 边形判定定理 4：一 组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性 质定理 1：矩形的四个角都是直角61、矩形性 质定理 2：矩形的 对角线相等62、矩形判定定理1：有三个角是直角的四 边形是矩形63、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性 质定理 1：菱形的四条 边都相等65、菱形性 质定理 2：菱形的 对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角66、菱形面 积等于对角线乘积的一半，即：abS2167、菱形判定定理1：

24、四 边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性 质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性 质定理 2：正方形的两条 对角线相等，并且互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角71、定理1：关于中心 对称的两个图形是全等的72、定理2：关于中心 对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被 对称中心平分73、逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被 这一点平分，那么 这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性 质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条 对角线相等76、等腰梯形判定定理：在同一底上的两

25、个角相等的梯 形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形1378、平行 线等分线段定理：如果一 组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直 线上截得的线段也相等79、推 论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推 论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三 边81、三角形中位 线定理：三角形的中位 线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位 线定理：梯形的中位 线平行于两底，并且等于两底和的一半 hlhbaSbal)(21)(2183、(1)比例的基本性质：。，那么：；如果：，那么如果：dcbabcadbcaddcba 84、(2)合比性质：dd

26、cbbadcba，那么：如果：85、(3)等比性质：dcbandbmcanmdcbaLLL，那么：如果：86、平行 线分线段成比例定理：三条平行 线截两条直线，所得的 对应线段成比例 87、推 论：平行于三角形一 边的直线截其他两边（或两 边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理：如果一条直线截三角形的两边（或两 边的延长线）所得的 对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一 边，并且和其他两 边相交的直线，所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例90、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三

27、角形判定定理1：两角 对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜 边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2：两 边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3：三 边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对14应成比例，那么 这两个直角三角形相似96、性 质定理 1：相似三角形 对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性 质定理 2：相似三角形周 长的比等于相似比98、性 质定理 3：相似三角形面 积的比等于相似比的平方99、任意 锐角的正弦值等于它的

28、余角的余弦值，任意 锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意 锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意 锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是到定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合104、同 圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定 长的点的轨迹，是以定点 为圆心，定 长为半径的圆106、和已知 线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是 这条线段的垂直平分线107、到已知角的两 边距离相等的点的轨迹，是 这个角的平分线108、到两条平行 线距离相等的点的轨迹，是和 这两条平行线平行且

29、距离相等的一条直线109、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。110、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推 论 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧112、推 论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 对的弦相等，所 对的弦的弦心距相15等115、推 论：在同 圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一 组量相等，

30、那么它们所对应的其余各组量都相等116、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推 论 1：同弧或等弧所 对的圆周角相等；同 圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧也相等118、推 论 2：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径119、推 论 3：如果三角形一 边上的中线等于这边的一半，那么 这个三角形是直角三角形120、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内 对角121、直线 L 和O 相交：dr 直线 L 和O 相切：d=r 直线 L 和O 相离：dr122、切 线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123

31、、切 线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径124、推 论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推 论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切 线长定理：从 圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推 论：如果两个弦切角所 夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等130、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条 线段长的积相等131、推 论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割 线定理

32、：从 圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推 论：从 圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、如果两个 圆相切，那么切点一定在 连心线上16135、两 圆的位置关系（假 设：）：两圆外离：两圆外切：Rr rRdrRd两圆相交 两圆内切 两圆内含。，rRdrR，rRd，rRd136、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理：把圆分成 n 等分(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线，以相 邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138、定理：任

33、何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139、正n 边形的每个内角都等于：o1802nn140、定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141、正n 边形的面积：其中：。nnnrpS21为弦心距边形的周长，为正nnrnp142、边长为 a 的正三角形面积：243aS 143、弧 长计算公式：其中 n 为角度数。Rnl180144、扇形面 积公式：RlRnS213602扇形145.圆锥侧面积公式：S=146.圆锥侧面侧面展开图圆心角的度数：三、常用数学公式公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 )(22bababa 一元二次方程的解为：02cbx

34、axaacbbxaacbbx24242221；一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：acxxabxx2121；17一元二次方程根的判别式：acb42：方程有两个相等的 实根 0：方程有两个不等的 实根 0：方程没有 实根，有共 轭复数根 0某些数列前 n 项和；3)2)(1()1(7665544332214)1(65.43216)12)(1(87654321)1()2(1412108642)12(151311975312)1(6543212233333332222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnLLLLLL四、基本方法1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等 变形的

35、方法，把其中的某些 项配成一个或几个多项式 n 次幂的形式。通 过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等 变形的方法，它的 应用十分非常广泛，在因式分解、化 简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极 值和解析式等方面都经常用到。2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等 变形的基础，它作 为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有 许多，除中学 课本上介绍的提取公因式法、公式法、分 组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待

36、定系数等等。3、换元法：换元法，是数学中一个非常重要而且 应用十分广泛的解题方法。我 们通常把未知数或变数称为元，所 谓换元法，就是在一个比 较复杂的数学式子中，用新的 变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它 简化，使 问题易于解决。4、判 别式法与韦达定理：一元二次方程：（a、b、c 属于实数，且a0）根的判 别，02cbxax，不 仅用来判定根的性质，而且作acb4218为一种解题方法，在代数式 变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求 这两个数等简单应用外，还可以求根的对称

37、函数，计论二次方程根的符号，解 对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的 应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的 结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出 这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学 问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法：在解题时，我 们常常会采用这样的方法，通 过对条件和结论的分析，构造 辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座 连接条件和结论的桥梁，从而使 问题得以解决，这种解题的数学方

38、法，我 们称为构造法。运用构造法解 题，可以使代数、三角、几何等各种数学知 识互相渗透，有利于 问题的解决。7、反 证法：反 证法是一种间接证法，它是先提出一个与命 题的结论相反的假设，然后，从 这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假 设，达到肯定原命 题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反 证法证明一个命题的步骤，大体上分 为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设，是反 证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互 为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不

39、垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n 个、至多有(n 一 1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。归谬，是反 证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必 须从反设出发，否 则推导将成为无源之水，无本之木。推理必 须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定 义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面 积法：平面几何中 讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不 仅可19用于计算面积，而且用它来 证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面 积关系来证明或计算平面几何题的方法，

40、称 为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困 难在添置辅助线。面 积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通 过运算达到求证的结果。所以用面 积法来解几何题，几何元素之 间关系变成数量之间的关系，只需要 计算，有 时可以不添置补助线，即使需要添置 辅助线，也很容易考 虑到。9、几何 变换法：在数学 问题的研究中，常常运用 变换法，把复 杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所 谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很 难甚至于无法下手的习题，可以借助几何 变换法，化繁 为简，化 难为易

41、。将 图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于 对图形本质的认识。几何 变换包括：（1）平移；（2）旋 转；（3）对称。10、客 观性题的解题方法选择题：是 给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一 类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比 较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了 试卷的容量和知识覆盖面。填空题：是 标准化考试的重要题型之一，它同 选择题一样具有考查目标明确，知 识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考 查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空 题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解 选择题、填空 题，除了具有

42、准确的 计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通 过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由 题设找出合适的验证条件，再通 过验证，找出正确答案，亦可将供 选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称 为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此20法。（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入 题设条件或结论中去，从而 获得解答。这种方法叫特殊元素法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知 识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的 结论再经筛选，从而作出正确的 结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：也叫数形 结合法，借助于符合 题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作 详尽的分析、归纳和判断，从而 选出正确的结果，称 为分析法。张健 2012-5-22 总结