2023年勾股定理的逆定理习题训练含标准超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、勾股定理的逆定理-习题训练(含答案)2 作者：日期：状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education intelligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-3-勾股定理的逆定理 一、基础 巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 123 B.三

2、边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824 图 1825 图 1826 3.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则AB 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=41AD，试判断EFC 的形状.5.一个零件的形状如图 182

3、7，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827 6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC 是直角三角形.状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education int

4、elligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-4-二、综合 应用 7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD BD.求证：ABC 是直角三角形.图 1828 9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829 10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2

5、c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC 是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.11.已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状.状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为

6、求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education intelligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-5-12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210 状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定

7、未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education intelligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-6-参考答案 一、基础 巩固 1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选 D.答案：D 2.解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120

8、，CDE=30.又在直角三角形中，30 所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022 cm.AB=3551022 cm.3.思路分析：因为ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB2,所以AB=32123S.答案：32 4.思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2

9、,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形.5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB 和DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为直角三角形，A=90.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平

10、面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education intelligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-7-所以BDC 是直角三角形，CDB=90.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k2+1k21,k2+12k=(k1)20,即 k2+12k，k2+1 是最长边.(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形.二、综合 应用 7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三

11、角形还是直角三角形（例2 已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC 是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.解：OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角

12、三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形；ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的

13、长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你 启 智 教 育 Education intelligently 快 乐 学 习 健 康 成 长 细 节 决 定 未 来-8-(a5)20,(b 12)20,(c 13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作 DEAB，连结 B

14、D，则可以证明ABDEDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形.它们的面积分别为 SBDA=21 3 4=6;SDBC=21 6 4=12.S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.状为直角梯形的零件斜腰的长为则该零件另一腰的长是结果不取近似值图图图如图以的三边为边向外作正方形其面积件中与都应为直角工人师傅量得零件各边尺寸这个零件符合要求吗图已知的三边分别为求证是直角三角形细节决定未中是边上的高且求证是直角三角形图如图所示在平面直角坐标系中点的坐标分别为是直角三角形吗借助于网格证明你