2023年勾股定理的逆定理达标训练含超详细解析答案.pdf

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1、1/8 18.2 勾股定理的逆定理达标训练 一、基础巩固 1 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1:2:3B.三边长的平方之比为 1:2:3 C.三边长之比为 3:4:5D.三内角之比为 3:4:5 2 如图 18-2 4 所示，有一个形状为直角梯形的零件 ABCD,AD/BC,斜腰 DC 的长为 10 cm，/D=120 则该零件另一腰 AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）图 18 2 4 图 18 2 5 图 18 2 6 3 如图 18 2 5，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3,且 S1=4,S2=8，贝 U AB

2、 的长为 _.4 如图 18 2 6,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 1 AF=AD，试判断 EFC 的形状 4 5 个零件的形状如图 18 2 7,按规定这个零件中/A 与/BDC 都应为直角，工人师傅 量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 18 2 7 6 已知 ABC 的三边分别为 k2 1,2k,k2+i(k 1),求证：ABC 是直角三角形 2/8 二、综合应用 7 已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长，AiBiCi的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 AiBiC

3、i是直角三角形吗？为什么？8 已知：如图 i8 2 8，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC 是直角三角形 图 i8 2 8 9 如图 i8 2 9 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A(3,i),B(2,4),OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 图 i8 2 9 10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c为 ABC 的三边，且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断 ABC 的形状.解：T a2c2 b2c2=a4 b4,(A)c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 (C)ABC 是直角三角形.问：上述解题.过程是从

4、哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 _;错误的原因是 _;本题的正确结论是 _.11.已知：在 ABC 中，/A、/B、/C 的对边分别是 a、b、c,满足 3/8 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.12 已知：如图 18-2-10,四边形 ABCD,AD/BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形 ABCD 的面积 图 18-2 104/8 参考答案 一、基础巩固 1 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1:2:3B.三边长的平方之比为 1:2:3 C.三边长之比为 3:4:5D.三内角之比为 3:4:5

5、思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐 角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半 由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案：D 2 如图 18-2 4 所示，有一个形状为直角梯形的零件 ABCD,AD/BC,斜腰 DC 的长为 10 cm，/D=120 则该零件另一腰 AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）A I）图 18 2 4 解：过 D 点作 DE/AB 交 BC 于 E,则厶 DEC 是直角三角形 四边形 ABED 是矩形，AB=DE./D=120，/CDE=30.又在直角三角形中，30所对

6、的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=JQ2 52 5 3 cm.AB=寸1Q2 52 5方 cm.3 如图 18 2 5，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3,且 S1=4,S2=8，贝 U AB 的长为 5/8 思路分析：因为 ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB 2,即 S 什 S2=S3，所以 S3=12，因为图 18 2 5 图 18 2 6 6/8 S3=AB2,所以 AB=S3.12 2 3.答案：2.3 4 如图 18-2 6,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一

7、点，且 1 AF=_AD，试判断 EFC 的形状 4 思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可 解：E 为 AB 中点，BE=2.二 CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF2=DF2+CD 2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC 是以/CEF 为直角的直角三角形 5 个零件的形状如图 18 2 7,按规定这个零件中/A 与/BDC 都应为直角，工人师傅 量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 18 2 7 思路分析：要检验这个

8、零件是否符合要求，只要判断 ADB 和厶 DBC 是否为直角三 角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 解：在 ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD 2,所以 ABD 为直角三角形，/A=90 在厶 BDC 中,BD2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC2 所以 BDC 是直角三角形，/CDB=90 因此这个零件符合要求 6 已知 ABC 的三边分别为 k2 1,2k,k2+1(k 1),求证：ABC 是直角三角形 思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 证明：k2+1k2 1,k2+1 2k=(k 1)20,

9、即 k2+12k,k2+1 是最长边 (k2 1)2+(2k)2=k4 2k2+1+4k2=k4+2k2+仁(k2+1)2,ABC 是直角三角形 、综合应用 7/8 7 已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长，AiBiCi的三边长分别是 2a、2b、2c,那么 AiBiCi是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还 是直角三角形(例 2 已证)解：略 8 已知：如图 i8-2-8，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC 是直角三角形 图 i8-2-8 思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定

10、理的逆定理即可 证明：AC 2=AD 2+CD2,BC2=CD2+BD2,AC2+BC2=AD 2+2CD2+BD2=AD 2+2AD-BD+BD 2=(AD+BD)2=AB 2.ABC 是直角三角形 9 如图 i8-2 9 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A(3,i),B(2,4),OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 0A、AB、OB 的长度，再利用勾股 定理的逆定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 解：OA2=OAi2+AiA2=32+i2=iO,OB2=OB i2+BiB2=22+42=20,AB2=AC 2

11、+BC2=i2+32=i0,OA2+AB 2=O B2 OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 8/8 10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c为 ABC 的三边，且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断 ABC 的形状.解:T a2c2 b2c2=a4 b4,(A)/c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2),(B)/.c2=a2+b2,(C)ABC 是直角三角形.问：上述解题.过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 _;错误的原因是 _;本题的正确结论是 _.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错 在忽视了 a 有可能等于 b 这

12、一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时厶 ABC 是等腰三角形：厶 ABC 是 等腰三角形或直角三角形 11.已知：在 ABC 中，/A、/B、/C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0,则都为 0;(3)已 知 a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形 解：由已知可得 a2 10a+25+b2 24b+144+c2 26c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b 12)2+(c 13)2=0.

13、(a 5)20,(12)2 0,(&13)2 0.a 5=0,b 12=0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12 已知：如图 18 2 10,四边形 ABCD,AD/BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.思路分析：(1)作 DE/AB，连结 BD，则可以证明 ABD EDB(ASA);(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;(3)在厶 DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为 9/8 直角三角形，DE 丄 BC;(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解 解：作 DE/AB，连结 BD，则可以证明 ABD EDB(ASA)DE=AB=4,BE=AD=3./BC=6,EC=EB=3.T DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又 EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在厶 BDA 中 AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,BDA 是直角三角形.1 1 它们的面积分别为 BDA=X3 4=6。SA DBC=6 4=12.2 2 S 四边形 ABCD=SABDA+S ADBC=6+12=18.