2023年北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》精品讲义设计.pdf

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1、1课 题：第三章 第 2 节圆的对称性（1）课 型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践大胆猜测-综合证明-灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入 明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题 1)通过上节课车轮为什么是圆形的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形

2、纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.师：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：师：（问题 2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?生 1：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.师：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？生 2：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.师：同学们，这位同学回答的对吗？生 3：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，

3、对称轴是直径所在的直线，2或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性.二、自主学习 合作探究：探究活动一：圆的基本概念（让学生注意观察动画课件）学案(问题 3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，

4、如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论.教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问.生 1：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分MOOOABCDEF3叫做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的

5、弧称为劣弧.生 2：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“符号.生 3：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.师 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.生 4：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.生 5：直径是圆中最大的弦.学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理（问题 4）（

6、1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明 AM=BM，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.M优弧AB AMB半圆CD劣弧AB ABOOOABCDEF4 学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕 CD,在 CD上取一点 M，作 CD的垂线AB,然后再将圆沿 CD对折，观察，得出结论.生 1：垂直关系；相等的量有，AM=BM,因为圆沿直线CD 对折后，点 A与

7、B 重合.生 2：若只证明 AM=BM，还可以用等腰三角形“三线合一”.证明：连接 OA,OB 则 OA=OB又 CDABAM=BM,CD 是线段 AB的垂直平分线点 A和点 B 关于直线 CD 对称教师活动:引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧如图，在O中，即 CD 是直径 AM=BM，CDAB于 M 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论议一议：(问题 5)同学们，如果把“垂

8、径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当 AB与 CD 是O的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦 AB不是直径时，结论才会成立.生 1：成立.AC=BC,AD=BDMODCABAC=BC,AD=BDMOABCDMOABCD AD=BD AC=BC5OA=OB,AM=BM,CDAB(三线合一)生 2：不一定成立，如图，当 AB是直径时，CD 平分 AB，但不垂直 AB.只有 AB不是

9、直径时，才成立.师：同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题 6）如果我们继续交换条件是否能够、？学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.（问题

10、 7）例题分析例 1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600m，E 为弧 CD 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90 m求这段弯路的半径学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答.生：解：连接 OC，设弯路的半径是 R，则OF=(R-90)mAC=BC,AD=BDMOABCD6OECDCF=CD/2=300m（垂径定理）由勾股定理得OC2=CF2+OF2即 R2=3002

11、+(R-90)2解得 R=545所以，弯路的半径是 545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径 R、弦 CD 的长、弦心距 OF 长、弓形高 EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.三、归纳总结，拓展提高 师：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.生：老师，如图，OCAB，可不可以使用垂径

12、定理.师：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图:用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯.课堂检测:1.已知O 的半径为 5，弦 AB的长为 6，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_.考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题.答案提示：解：过 O 点作 AB的垂线，垂足是 D，且与弧 AB交于点 C,连接 OA,OCABD 是 AB的中点，C 是弧 AB的中点，O

13、D=52-32=4DC=5-4=1MOABCDOCAB7所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为 12.两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D，若 AB=4，CD=2，圆心到 AB的距离为 l，则大圆的与小圆的半径之比为_.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题.答案提示：解：51222OA21122OC则大圆的与小圆的半径之比为210253.储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答.

14、答案提示：由垂径定理知，mmoc12530032522油最大深度=325-125=200（mm）4已知：如图，O 中，AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC 交 AB 于 D，AB=6cm，CD=1cm.求O 的半径 OA.考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合.答案提示：解：设O的半径为 r在直角三角形AOD中，222OAODAD所以，222)1(3rrr=5cmOA=5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运

15、用勾股定理解决问题.设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问DOABCDCOABEDOABC8题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：3.2 圆的对称性（1）一、圆的对称性 二、垂径定理 三、垂径定理的推论及应用圆是轴对称图形，垂直于弦的直径平分这条弦 例题解答 对称轴是任意一条过 并且平分弦所对的（两条）弧圆心的直线，教学反思：圆的对称性是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维.让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.