2023年概率论与数理统计复习笔记.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验 E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间 S:E 的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件):样本空间 S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算 1.AB(事件 B 包含事件 A)事件 A 发生必然导致事件 B 发生.2.AB(和事件)事件 A 与 B 至少有一个发

2、生.3.AB=AB(积事件)事件 A 与 B 同时发生.4.A-B(差事件)事件 A 发生而 B 不发生.5.AB=(A 与 B 互不相容或互斥)事件 A 与 B 不能同时发生.6.AB=且 AB=S(A 与 B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 BABA BABA 三.概率的定义与性质 1.定义 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P(A),称为事件 A 的概率.(1)非负性 P(A)0;(2)归一性或规范性 P(S)=1;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件 A1,A2,(A

3、iAj=,ij,i,j=1,2,),P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+2.性质 学习必备 欢迎下载(1)P()=0,注意:A 为不可能事件 P(A)=0.(2)有限可加性 对于 n 个两两互不相容的事件 A1,A2,A n,P(A1A2A n)=P(A1)+P(A2)+P(A n)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若 AB,则 P(A)P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).(4)对于任一事件 A,P(A)1,P(A)=1-P(A).(5)广义加法定理 对于任意二事件 A,B,P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB).对于任意 n 个事件 A1,A2,A n nkjik

4、jinjijiniinAAAPAAPAPAAAP11121+(-1)n-1P(A1A2A n)四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验 E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2,e n;(2)每一个基本事件的概率相等,即 P(e1)=P(e2)=P(e n).则称试验 E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k/n 其中 k 是 A 中包含的基本事件数,n 是 S 中包含的基本事件总数.五.条件概率 1.定义 事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)0).2.乘法定理 P(AB)=P(A)P(B

5、|A)(P(A)0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0).P(A1A2A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A n|A1A2A n-1)(n2,P(A1A2A n-1)0)3.B1,B2,B n是样本空间 S 的一个划分(BiBj=,ij,i,j=1,2,n,B1B2B n=S),则 当 P(B i)0 时,有全概率公式 P(A)=iniiBAPBP 1 当 P(A)0,P(B i)0 时,有贝叶斯公式 P(Bi|A)=niiiiiiBAPBPBAPBPAPABP1.六.事件的独立性 出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和

6、事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 1.两个事件 A,B,满足 P(AB)=P(A)P(B)时,称 A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件 A,B 相互独立 P(B)=P(B|A).(2)若 A 与 B,A 与B,A与 B,A与B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立.若再满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称 A,B,C 三事件相互独立

7、.3.n 个事件 A1,A2,A n,如果对任意 k(1kn),任意 1i1i2i kn.有 kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121,则称这 n 个事件 A1,A2,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布 一.随机变量及其分布函数 1.在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数 X=X(e)称为随机变量.2.随机变量 X 的分布函数 F(x)=PX x,x 是任意实数.其性质为:(1)0F(x)1,F(-)=0,F()=1.(2)F(x)单调不减,即若 x1x2,则 F(x1)F(x 2).(3)F(x)右连续,即 F(x+0)=F(x).(4)Px1Xx2=F(x2

8、)-F(x1).二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 PX=x k=p k(k=1,2,)也可以列表表示.其性质为:(1)非负性 0Pk1 ;(2)归一性 11kkp .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=xXkkP为阶梯函数,它在 x=x k(k=1,2,)处具有跳跃点,其跳跃值为 p k=PX=x k.3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布 PX=1=p,PX=0=1 p (0p1).(2)Xb(n,p)参数为 n,p 的二项分布 PX=k=knkppkn1(k=0,1,2,n)(0p0)三.连续型随机变量 出现样本

9、空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 1.定义 如果随机变量 X 的分布函数 F(x)可以表示成某一非负函数 f(x)的积分F(x)=dttfx,-x,则称 X 为连续型随机变量,其中 f(x)称为 X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)0;(2)归一性 dxxf)(=1;(3)Px 10).(3)XN(,2)参数为,的正态分布 222)(21)(xexf-x0.特别,=0,2=1 时,称 X 服从标准正态分布

10、,记为 XN(0,1),其概率密度 2221)(xex,标准正态分布函数 xtdtex2221)(,(-x)=1-(x).若 XN(,2),则 Z=XN(0,1),Px1z=PZz /2=,则点z,-z,z /2分别称为标准正态分布的上,下,双侧 分位点.注意：(z)=1-,z 1-=-z.四.随机变量 X 的函数 Y=g(X)的分布 1.离散型随机变量的函数 X x 1 x2 x k p k p 1 p2 p k Y=g(X)g(x1)g(x2)g(x k)出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三

11、概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 若 g(x k)(k=1,2,)的值全不相等,则由上表立得 Y=g(X)的分布律.若 g(x k)(k=1,2,)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到 Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数 若 X 的概率密度为 fX(x),则求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法 先求 Y 的分布函数 FY(y)=PY y=Pg(X)y=dxxfkyXk 其中k(y)是与 g(X)y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间(可能不只一个),然后对 y 求导即得fY(y)=FY/(y).

12、(2)公式法 若 g(x)处处可导,且恒有 g/(x)0(或 g/(x)0),则 Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为 0yhyhfyfXY 其它y 其中h(y)是 g(x)的反函数,=min(g(-),g()=max(g(-),g().如果 f(x)在有限区间a,b以外等于零,则 =min(g(a),g(b)=max(g(a),g(b).第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PX x,Yy 称为

13、(X,Y)的(X 和 Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于 x 和 y 单调不减.(2)0F(x,y)1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数 x 1x 2,y 1y 2 Px 1Xx 2,y 1Yy 2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律 1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j)(i,j=1,2,

14、)称(X,Y)为二出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 维离散型随机变量.并称 PX=x i,Y=y j=p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0p i j1.(2)归一性 ijijp1.3.(X,Y)的(X 和 Y 的联合)分布函数 F(x,y)=xxyyijijp 三.二维连续型随机变量及其联合概率密度 1.定义 如果存在非负的函数 f(x,y),使对任意的 x 和 y,有 F(x,y)=y

15、xdudvvuf),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称 f(x,y)为(X,Y)的(X 和 Y 的联合)概率密度.2.性质(1)非负性 f(x,y)0.(2)归一性 1),(d x d yyxf.(3)若 f(x,y)在点(x,y)连续,则yxyxFyxf),(),(2(4)若 G 为 xoy 平面上一个区域,则GdxdyyxfGyxP),(),(.四.边缘分布 1.(X,Y)关于 X 的边缘分布函数 FX(x)=PX x,Y=F(x,).(X,Y)关于 Y 的边缘分布函数 FY(y)=PX0,则称 PX=x i|Y=yj 为在 Y=yj条件下随机变量 X 的条件分布律.同样,对于固定的

16、 i,若 PX=xi0,则称 PY=yj|X=x i 为在 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征 一.数学期望和方差的定义 随机变量 X 离散型随机变量 连续型随机变量 分布律 PX=x i=pi(i=1,2,)概率密度 f(x)数学期望(均值)E(X)1iiipx(级数绝对收敛)dxxxf)(积分绝对收敛)方差 D(X)=EX-E(X)2 12)(iiipXEx dxxfXEx)()(2 =E(X2)-E(X)2 (级数绝对收敛)(积分绝对收敛)函数数学期望 E(Y)=Eg(X)iiipxg 1)(级数绝对收敛)dxxfxg)()(积分绝对收敛)标准差(X)=

17、D(X).二.数学期望与方差的性质 1.c 为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c 2 D(X).2.X,Y 为任意随机变量时,E(XY)=E(X)E(Y).,jjijjippyYPyYxXP,ijiijippxXPyYxXP出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 3.X 与 Y 相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0 PX=C=1,C

18、 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X)D(X)1.X(0-1)分布 PX=1=p(0p1)p p(1-p)2.X b(n,p)(0p1)n p n p(1-p)3.X ()4.X U(a,b)(a+b)/2 (b-a)2/12 5.X 服从参数为 的指数分布 2 6.X N(,2)2 四.矩的概念 随机变量 X 的 k 阶(原点)矩 E(X k)k=1,2,随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-E(X)k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 E(X kY l)l=1,2,随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-E(X)k Y-E(Y)l 第六章 样本和抽样分

19、布 一.基本概念 总体 X 即随机变量 X;样本 X1,X2,X n是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1,x2,x n为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值niiXnX11 样本方差niiXXnS12211 样本标准差 S 样本 k 阶矩nikikXnA11(k=1,2,)样本 k 阶中心矩nikikXXnB1)(1(k=1,2,)二.抽样分布 即统计量的分布 1.X的分布 不论总体 X 服从什么分布,E(X)=E(X),D(X)=D(X)/n.出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发

20、生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 特别,若 X N(,2),则 X N(,2/n).2.2分布 (1)定义 若 XN(0,1),则 Y=niiX12 2(n)自由度为 n 的2分布.(2)性质 若 Y 2(n),则 E(Y)=n,D(Y)=2n.若 Y1 2(n1)Y2 2(n2),则 Y1+Y2 2(n1+n2).若 X N(,2),则22)1(Sn 2(n-1),且X与 S2相互独立.(3)分位点 若 Y 2(n),0 1,则满足)()()()(22/122/212nYnYPnYPnYP 的点)()(),(),(22

21、/122/212nnnn和分别称为2分布的上、下、双侧 分位点.3.t 分布(1)定义 若 XN(0,1),Y 2(n),且 X,Y 相互独立,则 t=nYXt(n)自由度为 n 的 t 分布.(2)性质n时,t 分布的极限为标准正态分布.XN(,2)时,nSX t(n-1).两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差 X N(1,12)且12=22=2 X1,X2,X n1 X S12 Y N(2,22)Y1,Y2,Y n2 Y S22 则 212111)()(nnSYXw t(n1+n2-2),其中 2)1()1(212222112nnSnSnSw(3)分位点 若 t t(n),0

22、1,则满足)()()(2/nttPnttPnttP 的点)(),(),(2/ntntnt分别称 t 分布的上、下、双侧 分位点.注意:t 1-(n)=-t (n).出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 4.F 分布 (1)定义 若 U2(n1),V 2(n2),且 U,V 相互独立,则 F=21nVnUF(n1,n 2)自由度为(n1,n2)的 F 分布.(2)性质(条件同 3.(2)22212221SSF(n1-1,n2-1)

23、(3)分位点 若 F F(n1,n2),0 1,则满足),(),(21121nnFFPnnFFP),(),(212/1212/nnFFnnFFP 的点),(),(),(),(212/1212/21121nnFnnFnnFnnF和分别称为 F 分布的上、下、双侧分位点.注意:.).(1),(12211nnFnnF 第七章 参数估计 一.点估计 总体 X 的分布中有 k 个待估参数1,2,k.X1,X2,X n是 X 的一个样本,x1,x2,x n是样本值.1.矩估计法 先求总体矩),(),(),(2121222111kkkkk解此方程组,得到),(),(),(2121222111kkkkk,以样

24、本矩 Al取代总体矩 l(l=1,2,k)得到矩估计量),(),(),(2121222111kkkkkAAAAAAAAA,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法 若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为 p(x,1,2,k),称样本 X1,X2,X n的联出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 合分布nikikxpL12121),(),(为似然函数.取使似然函数达到最大值的k,21,称为参数1,2,k的最大似然估计值,代

25、入样本得到最大似然估计量.若 L(1,2,k)关于1,2,k可微,则一般可由 似然方程组 0iL 或 对数似然方程组 0lniL(i=1,2,k)求出最大似然估计.3.估计量的标准(1)无偏性 若 E()=,则估计量称为参数 的无偏估计量.不论总体 X 服从什么分布,E(X)=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值X,样本方差 S2,样本 k 阶矩 Ak分别是总体均值 E(X),方差 D(X),总体 k 阶矩k的无偏估计,(2)有效性 若 E(1)=E(2)=,而 D(1)D(2),则称估计量1比2有效.(3)一致性(相合性)若 n时,P,则称估计量是参数 的相

26、合估计量.二.区间估计 1.求参数 的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数 W=W(X1,X2,X n,),其中只有一个待估参数 未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧 分位点找出 W 的区间(a,b),使 PaW b=1-.(3)由不等式 aWb 解出则区间(,)为所求.2.单个正态总体 待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间 2已知 nXN(0,1)(2/znX)2未知 nSX t(n-1)1(2/ntnSX 2 未知 22)1(Sn 2(n-1)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn 出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致

27、事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 3.两个正态总体 (1)均值差 1-2 其它参数 W 及其分布 置信区间 已知2221,22212121)(nnYX N(0,1)(2221212nnzYX 未知22221 212111)(nnSYXwt(n1+n2-2)11)2(21212nnSnntYXw 其中 Sw等符号的意义见第六章二.3(2).(2)1,2未知,W=22212221SS F(n1-1,n2-1),方差比12/22的置信区间为 )1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221nnFSSnnFSS 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2 改为,另外的下(上)限取为-()即可.出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称学习必备 欢迎下载 出现样本空间的所有可能结果组成的集合样本点基本事件的每个结果随导致事件发生和事件事件与至少有一个发生积事件事件与同时发生差事律德摩根律三概率的定义与性质定义对于的每一事件赋予一个数记为称