2023年北师大版初中数学九年级下册知识讲解,巩固练习教学最全面精品最全面精品资料,补习最全面精品最全面精品资料第19讲《圆》全章复习与巩固提高.pdf

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1、 圆全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1圆的定义 (1)线段 OA绕着它的一个端点 O旋转一周，另一个端

2、点 A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；圆是一条封闭曲线.2圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并

3、且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的

4、圆周角所对的弧相等.90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1判定一个点 P是否在O上 设O的半径为，OP=，则有 点 P在O 外；点 P在O 上；点 P在O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2判定几个点12nAAAL、在

5、同一个圆上的方法 当时，在O 上.3直线和圆的位置关系 设O 半径为 R，点 O到直线 的距离为.(1)直线 和O没有公共点直线和圆相离.(2)直线 和O有唯一公共点直线 和O相切.(3)直线 和O有两个公共点直线 和O相交.4切线的判定、性质 (1)切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点

6、画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交

7、点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O表示.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心

8、)三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；(3)内心在三角形内部.2圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算 1圆中有关计算 圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R的弧长.圆心角为，半径为 R，弧长为 的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探

9、索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质 1.如图，已知O是以数轴的原点 O

10、为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45,点在数轴上运动，若过点 P且与 OA平行（或重合）的直线与O有公共点,设 OP=x，则的取值范围是（）.A11 B C0 D 【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时 OP的值【答案】C；【解析】如图，平移过 P点的直线到 P，使其与O相切，设切点为 Q，连接 OQ，Pxx2x2x2x2半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一

11、不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 由切线的性质，得OQP=90，OA PQ，OPQ=AOB=45，OQP为等腰直角三角形，在 RtOQP中，OQ=1，OP=2，当过点 P且与 OB平行的直线与O有公共点时，0OP，当点 P在 x 轴负半轴即点 P向左侧移动时，结果相同 故答案为：0OP2【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题 举一反三：【变式】如图，已知O是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45，点 P在数轴上运动，若过点 P且与 OB平行的直线于O有公共点，设 P（x，0），则 x 的取值范围是（）.A-1x0 或 0 x1 B0 x1 C-2x0 或

12、 0 x2 Dx1 【答案】O是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45，过点 P且与OB平行的直线与O相切时，假设切点为 D，OD=DP=1，OP=2，0OP2，同理可得，当 OP与 x 轴负半轴相交时，-2OP 0，半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 -2OP 0，或 0OP2 故选 C 类型二、弧、弦、圆心角、

13、圆周角的关系及垂径定理 2如图所示，已知在O中，AB是O的直径，弦 CG AB于 D，F 是O上的点，且，BF交 CG于点 E，求证：CE BE 【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明【答案与解析】证法一：如图(1)，连接 BC，AB 是O的直径，弦 CG AB，CCBE CE BE 证法二：如图(2)，作 ON BF，垂足为 N，连接 OE AB 是O的直径，且 AB CG，BF CG，ON OD CFCBCBGBCFBCCFGBCBBGCBCFCFBCBG半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要

14、点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 ONE ODE 90，OE OE，ON OD，ONE ODE，NE DE ，BN CD，BN-ENCD-ED，BE CE 证法三：如图(3)，连接 OC交 BF于点 N ，OC BF AB 是O的直径，CG AB，OC OB，OC-ONOB-OD，即 CN BD 又CNE BDE 90，CEN BED，CNE BDE，CE BE 【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而

15、且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法 举一反三：【变式】如图所示，在O内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,A=B=60,则 BC的长为（）A19 B 16 C18 D20 【答案】如图，延长 AO交 BC于点 D,过 O作 OE BC于 E.则三角形 ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4 在 RtODE中，ODE=60，DOE=30,则 DE=OD=2，BE=BD-DE=10 OE垂直平分 BC，BC=2BE=20.故选 D 类型三、与圆有关的位置关系 12BNBF12CDCGCFBCBGBCCFBGBCBFCGONOD12半径之间的位置关系能

16、判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 3一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为 0.75cm，长约为 8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结

17、果精确到，取）0.1cm3173.【答案与解析】（1）如图（2），作 O1EO2O3 3 333 332844ABcm 四边形 ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 【总结升华】四边形 ABCD 中，AD长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB长，只要计算出如图（2）中的

18、O1E长即可.类型四、圆中有关的计算 4（2019 丹东）如图，AB 是 O 的直径，=，连接 ED、BD，延长 AE 交 BD 的延长线于点M，过点 D 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 C（1）若 OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM 【答案与解析】解：如图，连接 OD，CD 是 O 切线，OD CD，OA=CD=2，OA=OD，OD=CD=2，OCD 为等腰直角三角形，DOC=C=45，S阴影=S OCDS扇OBD=4；（2）证明：如图，连接 AD，AB 是 O 直径，ADB=ADM=90 ，又=，ED=BD，MAD=BAD，在 AMD 和 ABD 中，AMD A

19、BD，DM=BD，DE=DM 【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法 举一反三：【变式】（2019 贵阳）如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是 O 的直径，FO AB，垂足为点 O，连接 AF并延

20、长交 O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E，B=30，FO=2（1）求 AC 的长度；（2）求图中阴影部分的面积（计算结果保留根号）【答案】解：（1）OF AB，BOF=90，B=30，FO=2，OB=6，AB=2OB=12，又 AB 为 O 的直径，ACB=90 ，AC=AB=6；（2）由（1）可知，AB=12，AO=6，即 AC=AO，在 Rt ACF 和 Rt AOF 中，Rt ACF Rt AOF，FAO=FAC=30，DOB=60 ，过点 D 作 DG AB 于点 G，OD=6，DG=3，S ACF+S OFD=S AOD=6 3=9，即阴影部分的面积是 9 类型五、圆与其他

21、知识的综合运用 5ABCDBCDBDCDA如图，是等边三角形，是上任一点，求证：.半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 【思路点拨】由已知条件，等边ABC可得 60角，根据圆的性质，可得ADB 60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC.【答案与解析】延长 DB至点 E，使 BE DC

22、，连结 AE ABC是等边三角形 ACB ABC 60，AB AC ADB ACB 60 四边形 ABDC 是圆内接四边形 ABE ACD 在AEB和ADC中，AEB ADC AE AD ADB 60 AED是等边三角形 AD DE DB BE BE DC DB DC DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长 DC至 F，使 CFBD，连结 AF，再证ACF ABD，得出 AD DF，从而 DB CD DA.（2）在 DA上截取 DG DC，连结 CG，再证BDC AGC，得出 BD AG，从而 DB CD DA.6如图，直径AB为 6 的半圆，绕A点逆时针旋转 60，此时点

23、B到了点 B，则图中阴影部分的面积是（）.A.3 B.6 C.5 D.4 半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以 AB为直径的半圆的面积+扇形 ABB的面积-以 AB为直径的半圆的面积=扇形 ABB的面积 则阴影部分的面积是：=6 故选 B【总结升华】根据阴影部分的面积=以 AB为直径的半圆

24、的面积+扇形 ABB的面积-以 AB为直径的半圆的面积=扇形 ABB的面积即可求解 举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为().A.B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选 C.圆全章复习与巩固巩固练习（提高）半径之间的

25、位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 【巩固练习】一、选择题 1如图所示，AB、AC为O的切线，B和 C是切点，延长 OB到 D，使 BD OB，连接 AD 如果DAC 78，那么ADO 等于()A70 B64 C62 D51 2.已知O半径为 3，M为直线 AB上一点，若 MO=3，则直线 AB与O的位置关系为（）A相切 B相交 C相切

26、或相离 D相切或相交 3设计一个商标图案，如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=8cm，以 A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A.(4+8)cm2 B.(4+16)cm2 C.(3+8)cm2 D.(3+16)cm2 4.如图，四边形 ABCD 是O的内接四边形，若B=110，则ADE 的度数为（）A55 B70 C90 D110 5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦 AB CD于 E，CE=1寸，

27、AB=10寸，则直径 CD的长为()A12.5 寸 B13 寸 C 25 寸 D26 寸 6在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 A.1条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 7（2019贵港）

28、如图，已知 P是O外一点，Q是O上的动点，线段 PQ的中点为 M，连接 OP，OM 若O的半径为 2，OP=4，则线段 OM的最小值是（）A0 B1 C2 D3 8如图所示，AB、AC与O分别相切于 B、C两点，A50，点 P是圆上异于 B、C的一动点，则BPC的度数是()A65 B115 C65或 115 D130或 50 二、填空题 9.如图，在O中，半径 OA垂直弦于点 D若ACB=33，则OBC 的大小为 度 10如图所示，EB、EC 是O是两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，DCF=32，那么A的度数是_.11.在 RtABC中，BAC=30，斜边AB=2，动点

29、P在 AB边上，动点 Q在 AC边上，且CPQ=90，则线段 CQ长的最小值=半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 12（2019巴彦淖尔）如图，AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点 D，AC交O于点 E，BAC=45，给出以下五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧是劣弧的 2 倍；AE=BC，其中正确的

30、序号是 13.两个圆内切，其中一个圆的半径为 5，两圆的圆心距为 2，则另一个圆的半径是_ _.14.已知正方形 ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形 EFGHIJLK 的边长为_ _，面积为_ _ 15如图(1)(2)(m)是边长均大于 2 的三角形、四边形、凸 n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以 l 为半径画弧与两邻边相交，得到 3 条弧，4 条弧，(1)图(1)中 3 条弧的弧长的和为_ _，图(2)中 4 条弧的弧长的和为_ _；(2)求图(m)中 n 条弧的弧长的和为_ _(用 n 表示)16.如图，O的半径是 2，直线 l 与O相交于 A、B两点，M

31、、N是O上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是 三、解答题 17.如图，O是ABC的外接圆，FH是O 的切线，切点为 F，FH BC，连结 AF交 BC于 E，ABC的平分线 BD交 AF于 D，连结 BF（1）证明：AF平分BAC；（2）证明：BFFD.2a半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆

32、是旋转对称图形 18.（2019南京）如图，四边形 ABCD 是O的内接四边形，BC的延长线与 AD的延长线交于点 E，且 DC=DE （1）求证：A=AEB；（2）连接 OE，交 CD于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形 19如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图(1)，在正ABC中，M、N分别是 AC、AB上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON 60，则 BM CN；如图(2)，在正方形 ABCD 中，M、N分别是 CD、A

33、D上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON 90，则 BM CN 然后运用类似的思想提出了如下命题：如图(3)，在正五边形 ABCDE 中，M、N分别是 CD、DE上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON 108，则 BM CN 半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 任务要求：(1)请你从三个命题中选择一个进行证明；(2)请

34、你继续完成下面的探索；在正 n(n 3)边形 ABCDEF 中，M、N分别是 CD、DE上的点，BM与 CN相交于点 O，试问当BON等于多少度时，结论 BM CN成立(不要求证明)；如图(4)，在正五边形 ABCDE 中，M、N分别是 DE、AE上的点，BM与 CN相交于点 O，BON 108时，试问结论 BM CN是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 【答案与解析】一、选择题 1【答案】B；【解析】由 AB为O的切线，则 AB OD 又 BD OB，则 AB垂直平分 OD，AO AD，DAB BAO 由 AB、AC为O的切线，则CAO BAO DAB 所以，DAB 13DAC

35、26 ADO 90-2664 本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等 2.【答案】D；3【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.矩形 ABCD 中，AB=2BC，AB=8cm，AD=BC=4cm，DAF=90，又 AF=AD=4cm，.半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不

36、变性圆是旋转对称图形 4.【答案】D；【解析】四边形 ABCD 是O的内接四边形，ADC+B=180，ADC+ADE=180，ADE=BB=110，ADE=110 5【答案】D；【解析】因为直径 CD垂直于弦 AB，所以可通过连接 OA(或 OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在 RtAOE中，即，解得 OA=13，进而求得 CD=26(寸).6【答案】C.【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在 RtAOB中，OA=4，OB=3，所以 AB=5，而两圆半

37、径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，共有 3 条公切线.7【答案】B.【解析】设 OP与O交于点 N，连结 MN，OQ，如图，OP=4，ON=2，N是 OP的中点，M为 PQ的中点，MN为POQ的中位线，MN=OQ=2=1，点 M在以 N为圆心，1 为半径的圆上，当点 M在 ON上时，OM最小，最小值为 1，线段 OM的最小值为 1故选 B 8【答案】C；【解析】连接 OC、OB，则BOC 360-90-90-50130点 P在优弧上时，BPC BOC 65；点 P在劣弧上时，BPC 180-65115 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理 二、填空

38、题 9.【答案】24.10【答案】99；【解析】由 EB=EC，E=46知，ECB=67，从而BCD=180-67-32=81，在O中，BCD与A互补，所以A=180-81=99.11.【答案】83.12半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 【解析】以 CQ为直径作O，当O与 AB边相切动点 P时，CQ最短，OPAB，B=90，

39、A=30，POA=60，OP=OQ，POQ为等边三角形，POQ=60，APQ=30，设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=ABsin 30=2 332=4，CQ=83，CQ的最小值为83 12.【答案】；【解析】连接 AD，AB是直径，则 ADBC，又ABC是等腰三角形，故点 D是 BC的中点，即 BD=CD，故正确；AD是BAC的平分线，由圆周角定理知，EBC=DAC=BAC=22.5，故正确；ABE=90EBCBAD=45=2CAD，故正确；EBC=22.5，2ECBE，AE=BE，AE2CE，不正确；AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故错误 综上所述，正确的结论是：13

40、.【答案】7 或 3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为 5，而 d=2，所以有，解得 r=7 或 r=3，即另一圆半径为 7 或 3.14.【答案】；【解析】正方形 ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为 a如图所示，设正八边形的边长为x 在RtAEL中，LEx，AE AL，即正八边形的边长为 (21)a2(222)a22x222xxa(21)xa(21)a222224(21)(2 22)AELSSSaxaaa正方形正八边形半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角

41、形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 15.【答案】(1)；2；(2)(n-2)；【解析】n 边形内角和为(n-2)180，前 n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以 1 为半径的圆周长，n 条弧的弧长的和为 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，则，n 条弧长的和为 16.【答案】4.【解析】解：过点 O作 OCAB 于 C，交O于 D、E两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，

42、如图，AMB=45，AOB=2AMB=90，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=2，S四边形 MANB=SMAB+SNAB，当 M点到 AB的距离最大，MAB 的面积最大；当 N点到 AB的距离最大时，NAB 的面积最大，即 M点运动到 D点，N点运动到 E点，此时四边形 MANB 面积的最大值=S四边形 DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=24=4 (2)1801(2)3602nn121(2)(2)2nn 12n12(2)180nn 1212111()180180180180nn (2)180(2)180nn 半径之间的位置关系能判定一条直线是否为

43、圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 三、解答题 17.【答案与解析】（1）连结 OF FH是O的切线 OF FH FH BC，OF垂直平分 BC AF平分BAC.（2）由（1）及题设条件可知 1=2，4=3，5=2 1+4=2+3 1+4=5+3 FDB=FBD BF=FD.18【答案与解析】证明：（1）四边形 ABCD 是O的内接四边形，A+BCD=180，DC

44、E+BCD=180，A=DCE，DC=DE，DCE=AEB，A=AEB；（2）A=AEB，ABE是等腰三角形，EOCD，CF=DF，EO是 CD的垂直平分线，ED=EC，DC=DE，DC=DE=EC，DCE是等边三角形，BFFC半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 AEB=60，ABE是等边三角形 19.【答案与解析】解：公共弦

45、 AB 120 rRa662422221206060 3 .20.【答案与解析】(1)如选命题 证明：在图(1)中，BON 60，1+260 3+260，13 又 BC CA，BCM CAN 60，BCM CAN，BMCM 如选命题 证明：在图(2)中，BON 90，1+290 3+290，13 又 BC CD，BCM CDN 90，BCM CDN，BMCN 如选命题 证明：在图(3)中，BON 108，1+2108 2+3108，13 半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关

46、的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形 又 BC CD，BCM CDN 108，BCM CDN，BMCN (2)答：当BON 时结论 BM CN成立 答：当BON 108时BM CN还成立 证明：如图(4)，连接 BD、CE 在BCD和CDE中，BC CD，BCD CDE 108，CD DE，BCD CDE BD CE，BDC CED，DBC ECD CDE DEN 108，BDM CEM OBC+OCB 108，OCB+OCD 108 MBC NCD 又 DBC ECD 36，DBM ECM BDM CEN，BMCN (2)180nn半径之间的位置关系能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线了解三角形的内心和外心探索如何过一及扇形的面积知识网络要点梳理要点一圆的定义性质及与圆有关的角圆的定义线段绕着它的一个端点旋转一周另一个圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线圆的性质旋转不变性圆是旋转对称图形