2023年椭圆及其性质知识点总结归纳题型全面汇总归纳.pdf

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1、学习必备 精品知识点 椭圆 知识清单 1.椭圆的两种定义：平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于定长2122FFaa的动点 P 的轨迹，即点集M=P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（212FFa 时为线段21FF，212FFa 无轨迹）。其中两定点 F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集M=P|edPF，0e1 的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在 x 轴上，中心在原

2、点：12222byax（ab0）；焦点 F1（c，0），F2（c，0）。其中22bac（一个Rt三角形）（2）焦点在 y 轴上，中心在原点：12222bxay（ab0）；焦点 F1（0，c），F2（0，c）。其中22bac 注意：在两种标准方程中，总有 ab0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A0，B0，AB），当 AB 时，椭圆的焦点在 x 轴上，AB 时焦点在 y 轴上。3 参数方程：焦点在 x 轴，sincosbyax（为参数）4 一般方程：)0,0(122BAByAx 5.性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：12222byax（

3、ab0）有以下性质：坐标系下的性质：范围：|x|a，|y|b；对称性：对称轴方程为 x=0，y=0，对称中心为 O（0，0）；顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；椭圆的准线方程：对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:学习必备 精品知识点 对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 焦半径公式：P（x0，y0）为

4、椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r=a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0 caPFcaPFminmax,，左加右减，上减下加 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab22 平面几何性质：离心率：e=2221ccbaaa （焦距与长轴长之比）1,0；e越大越扁，0e是圆。焦准距cbp2；准线间距ca22 两个最大角221max21221max21,ABAPAAFBFPFF 焦点在 y 轴上，中心在原点：12222bxay（ab0）的性质可类似的给出。6焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r

5、1r22a(2)余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3)面积：r1r2 sin2c|y0|=c|y0|=2tan2b (其中 P()为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)7.共 焦 点 的 椭 圆 系 设 法：把 椭 圆12222byax（a b 0）的 共 焦 点 椭 圆 设 为222221()xybab 8.特别注意：椭圆方程中的 a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件 a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.21r22r21FPFS212100,yx的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线

6、利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 9.弦长公式：22121221111ABkxxyykka 1212bxxacx xa（a,b,c 为方程的系数 考点解析 考点一 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 例 1.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A的小球（小球的半径不计），从点 A沿直线出发，经椭圆壁反

7、弹后第一次回到点 A时，小球经过的路程是（）A4a B 2(a c)C2(a+c)D以上答案均有可能 例 2.点 P 为为椭圆)0(12222babyax上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：21PFPF 取得最值时的P点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程 例 3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方程.O x y D P A B C Q 的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴

8、长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 考点二 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例 4.在ABC中，3,2|,300 ABCSABA 若以A B，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 5.已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值 考点三 椭圆的最值问题 题型 1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值 例 6.椭圆191622yx上的点到直线 l:09 yx的距离的最小值为_ 题型 2.1、的最值 若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，e 是 C

9、的离心率，求的最小值。例 7.已知椭圆内有一点 A（2，1），F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C上的动点，求的最小值。2、的最值 若A 为椭圆C 内一定点（异于焦点），P为C 上的一个动点，F是C 的一个焦点，求的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 的最值。例 8 已知椭圆内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求的最大值与最小值。3、的最值 若 A 为椭圆 C 外一定点，为 C 的一条准线，P 为

10、 C 上的一个动点，P 到的距离为 d，求的最小值。例 9.已知椭圆外一点 A（5，6），为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点 P到的距离为 d，求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例 10.定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线的最短距离。考点四 直线与椭圆相交问题 题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1)常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0 这一制约条件不同意。22121221111ABkxxyykka 1212bxxacx xa（a,b,c 为的点的轨迹即点

11、集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 方程的系数）例 11.已知直线l过椭圆729822 yx的一个焦点，斜率为 2，l与椭圆相交于 M、N 两点，求弦MN的长。题型 2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设 A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设),(00yxp为 AB 的中点。两式相减，02022122122

12、121)()(yaxbyyaxxbxxyy 3.得出2121xxyyk 注：一般的，对椭圆12222byax上弦AB及中点，M，有22abKKOMAB 例 12.已知椭圆1222yx，求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 考点五.轨迹问题 这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点 Q(x0,y0)在已知曲线 F(x,y)=0，上运动，而动点 P(x,y)与 Q 点满足某种关系，要求 P 点的轨迹。其关键是列出 P、Q 两点的关系式),(),(0yxyyyxfxo 3.定义法：通过对轨迹点的分

13、析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在 x，y 间的方程 F(x,y)=0 难以直接求得时，往往用)()(tyytfx(t 为参数)来反映 x，y 之间的关系。常用的参数有斜率 k 与角等。的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 例 13：ABC的一边的的顶点是 B(0,6)和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94，求顶点 A 的轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合（2011 四川卷理

14、）（本小题满分 12 分）椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其 焦点 F(0，1)的直线l 与椭圆交于 C、D两点，并与 x 轴交于点 P直线 AC与直线 BD交于点 Q (I)当|CD|=时，求直线 l 的方程；(II)当点 P异于 A、B两点时，求证：为定值。解：由已知可得椭圆方程为2212yx，设l的方程为1(0),yk xk 为l的斜率则1212222222212122242122(2)2101221222kykxyyxxkkkxkxykxx xy ykk 2422221212222288889()()22(2)(2)2kkkxxyykkkk l的方程为21yx或21yx为

15、所求（）当直线l与x轴垂直时与题意不符 设直线l的方程为1ykx，(01)kk 且，所以P点坐标为1(,0)k 设11(,)C x y，22(,)D xy，由（）知12222kxxk，12212x xk，直线AC的方程为11(1)1yyxx，直线BD的方程为12(1)1yyxx 将两直线方程联立，消去y得2112(1)11(1)yxxxy x 322OP OQ的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 因为121,1x x，所以11

16、xx与21yy异号 222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)yxxxxxxxyxxxxx 22222211122()211122kkkkkkkk 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221kkkky yk x xk xxkkk 11kk与12y y异号，11xx与11kk同号，1111xkxk，解得xk 因此Q点坐标为0(,)k y，01(,0)(,)1OP OQk yk 故OP OQ为定值 （2013 四川卷理）（本小题满分 12 分）已知椭圆C：22221,(0)xyabab 的两个焦点分别为12(1,0),

17、(1,0)FF，且椭圆C经过点4 1(,)33P（）求椭圆C的离心率；（）设过点(0,2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且222211|AQAMAN，求点Q的轨迹方程 解：(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|2222414111223333 ，所以2a.又由已知，c1.所以椭圆C的离心率1222cea.(2)由(1)知，椭圆C的方程为22xy21.的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程学习必备 精品知识点 设点Q的坐

18、标为(x，y)(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为350,25.(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1 k2)x12，|AN|2(1 k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1 k2)x2.由222211|AQAMAN，得 22222212211111kxkxkx，即212122222212122211xxx xxxxx x .将ykx2 代入22xy21 中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)6

19、0，得k232.由可知，x1x22821kk，x1x22621k，代入中并化简，得2218103xk.因为点Q在直线ykx2 上，所以2ykx，代入中并化简，得 10(y2)23x218.由及k232，可知 0 x232，即x6,0260,2.又350,25满足 10(y2)23x218，故x66,22.由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以1y1.又由 10(y2)2183x2有(y2)29 9,5 4且1y1，则y13 5,225.所以，点Q的轨迹方程为 10(y2)23x218，其中x66,22，y135,225.的点的轨迹即点集的常数为抛物线为双曲线利用第二定义可以实现椭圆其中注意在两种标准方程中总有并且椭圆的焦点总在长轴上两种标准方性对轴方程为对中心为顶点长轴短轴半长轴长半短轴长椭圆的准线方程