2023年,二元一次方程组的应用13种类型.pdf

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1、 -1-A 车路程 B 车路程 二元一次方程组的应用 要点突破：应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾:关键 （1）理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）（2）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）（3）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）（4）回顾 （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套

2、问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题;（9）浓度问题;（10）几何问题;（11）年龄问题;（12）优化方案问题.一、行程问题（1）三个基本量的关系：路程 s=速度 v时间 t 时间 t 路程 s速度 V 速度 V路程 s时间 t（2）三大类型：相遇问题：快行距慢行距原距 追及问题：快行距慢行距原距 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度顺速逆速=2 水速；顺速+逆速=2 船速 顺水的路程=逆水的路程 相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它

3、的特点是两个运动物体共同走完整个路程。A车路程+B 车路程=相距路程 总路程=（甲速+乙速）相遇时间 相遇时间=总路程（甲速+乙速）-2-A 车后行路程 B 车追击路程 A 车先行路程 追击 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发 40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站 670 米，小明从学校前往活动站每分钟行 80 米，2 分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行 90 米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？追及问题:两物体

4、速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”.关系式是：追及的路程速度差追及时间 顺速逆速=2 水速；顺速+逆速=2 船速 顺水的路程=逆水的路程 A、B两地相距 28 千米，甲乙两车同时分别从 A、B两地同一方向开出，甲车每小时行 32 千米，乙车每小时行 25 千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？甲、乙二人相距 6km，二人同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇。二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走 x 千米，乙每小时走 y 千米 题中的两个相等关系：1、同向

5、而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+=可列方程为：反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -3-【变式】1.甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了

6、拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？2.甲以 5km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3.从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段 3 千米长的下坡，如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米，下坡每小时走 5 千米，那么从甲到乙地需 90 分，从乙地到甲地需 102 分。甲地到乙地全程是多少？4.甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点 50 米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返

7、身往回走,结果甲,乙两人在距甲地 100 米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5.两列火车同时从相距 910 千米的两地相向出发,10 小时后相遇,如果第一列车比第 1 二列车早出发 4 小时 20分,那么在第二列火车出发 8 小时后相遇,求两列火车的速度.6.某班同学去 18 千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至 A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是 60 千米/时,步行速度是 4 千米/时,求 A点距北山站的距离.7.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走 15 千米，则可提前 24 分钟到达某地；如果每小时走 12

8、千米，则要迟到 15 分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -4-总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。一只船在河中航行，水速为每小时 2 千米，它在静水中航行每小时 8 千米，顺水航行每小时行多少千米？

9、逆水航行每小时行多少千米？顺水航行 50 千米需要用多少小时？练习：1.某船在静水中的速度是每小时 7 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么它逆水中的速度是多少？若逆水航行 3 小时，可航行多少千米？2.某船顺水速度是每小时 17 千米，逆水航行速度是每小时 10 千米，那么此船的静水速度是每小时多少千米？水流速度是每小时行多少千米？3.两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。二、工程问题 三个基本量的关系：工作总量工作时间工作效率；工作时间工作总量工作效率；工作效率工作总量工作时间 甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总

10、量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢

11、行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -5-总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为 1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.1.现要加工 400 个机器零件，若甲先做 1 天，然

12、后两人再共做 2 天，则还有 60 个未完成；若两人齐心合作 3 天，则可超产 20 个.问甲、乙两人每天各做多少个零件 2.某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测 30 台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的七分之三；现在每天实际检测 40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测 25 台.问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？3.甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时甲先花了 1 小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工 10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了 10 件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？反思解题过程检

13、验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -6-5.一项工程，甲单独做 12 天完成，乙队单独要做 15 天完成，丙队单独要 20 天完成，按计划要求在 7 天内完成，现在甲乙先合作若干天，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务。甲乙两队合做了多少天？丙队做了多少天？6.甲乙两个车间原计划装车床 180 台，甲车间完成计划的 11

14、2%，乙车间完成了计划的 110%，这样共装机床 200台，两车间各比计划多完成多少台？7.某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元）100 250 450 8.现在该公司收购了 140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜 16 吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在 18 天内全部销售完这 140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售 获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加

15、工时间？三：商品销售利润问题 利润问题：利润=售价进价，利润率=（售价进价）进价100%反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -7-有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？【

16、变式】1.某商场用 36 万元购进 A、B两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B 进价（元/件）1200 1000 售价（元/件）1380 1200 求该商场购进 A、B两种商品各多少件；3.一.种饮料大小包装有 3 种，1 个中瓶比 2 小瓶便宜 2 角，1 个大瓶比 1 个中瓶加 1 个小瓶贵 4 角，大、中、小各买 1 瓶，需 9 元 6 角。3 种包装的饮料每瓶各多少元？3.2008 年 5 月 12 日，四川省汶川县发生里氏 8.0 级强烈地震，给当地人民造成巨大的损失全国迅速组织捐款支援灾区，我校七年级(1)班 55 名同学共捐款 830 元，捐款情况如右表

17、表中捐款 2 元和 5 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由 4.甲乙两种商品的进价和是 100 元，为促销而打折出售，若甲商品打 8 折，乙商品打 6 折，可赚 50 元，若甲商品打 6 折，乙商品打 8 折可赚 19.5 元，求甲乙两种商品原定价各是多少元。捐款 10 15 30 50 人数 18 4 反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度

18、逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -8-5.甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50利润定价，乙服装按 40的利润定价在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？6.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和是 200 元，现因市场销售情况的变化，甲商品商品降价 15%，乙商品单价提高了 40%，调价后，两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了 12.5%。甲乙两种商品原来的单价各是多少?四、银行储蓄问题 银行利率问题：免税利息=本金利率时间，税后利息=本金利率时间本金利率时间税率 4小明

19、的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，一种是年利率为 2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问

20、题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -9-【变式】1.小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？2.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购买金额不超过 1 万元的不

21、予优惠；（2）一次购买金额超过 1 万元，但不超过 3 万元的九折优惠；（3）一次购买金额超过 3 万元，其中 3 万元九折优惠，超过 3 万元的部分八折优惠。某厂因库存原因，第一次在该供应商处购买原料付款 7800 元，第二次购买付款 26100元。如果他是一次性购买同样的原料，可少付款（）A、1460 元 B、1540 元 C、1560 元 D、2000 元 五、生产中的配套问题 产品配套问题：加工总量成比例 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只.现计划用 132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣

22、身和衣袖恰好配套？总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -10-【变式】1.一张方桌由

23、1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300 条。现有5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？2.某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？3.一张桌子由桌面和四条脚组成，1 立方米的木材可制成桌面 50 张或制作桌脚 300 条，现有 5 立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？4.用白铁皮做罐头盒。每张铁

24、皮可制盒身 16 个，或制盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？5.某车间有 28 名工人参见生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝 12 个或螺母 18 个，如 果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？六、增长率问题 增长率问题：原量（1增长率）=增长后的量 原量（1减少率）=减少后的量 某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为 780 万元，去

25、年的总产值、总支出各是多少万元？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -11-（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。2.某出租汽车公司有出租车 100 辆，平均每天每

26、车消耗的汽油费为 80 元为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为 4000 元公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的二十分之三，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的五分之二问：（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？（2）若公司一次性全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？七、和差倍分问题 和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数倍量“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂

27、原计划每周生产帐篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆

28、速水速顺速 -12-【变式】1.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？2.某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8，农村人口增加工厂 1.1,这样全市人口将增加 1，求这个市现在的城镇人口与农村人口 解：这个市现在的城镇人口有 x 万人，农村人口有 y 万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+=现在全市总人口 可列方程为：2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口 可列方程为：（1+0.8）x+=3.某老翁将一根长草绳剪成前、中、后三段，中段

29、长等于前段长加后段长，后段长等于前段长加中段长的一半，现只知道前段长 5m，则该草绳的中段，后段各长多少米？4.共青团中央部门发起了“保护母亲河”行动，某校九年级两个班的 115 名学生积极参与，已知九一班有三分之一的学生捐了 10 元，九二班有五分之二的学生每人捐了十元，两班其余的学生每人捐了 5 元，两班的捐款总额为 785 元，问两班各有多少名学生 八：数字问题 首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大

30、2178，求这两个两位数。反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -13-【变式】1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？2.某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加 1，

31、则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。3.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数 分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其 4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？5.已知一个三位数，其中十位上的数字比个位上的大 3，十位上的数字比百位上的数字大 4，若把十位上的数字撤掉，得到一个两位数比原来小 340，求原三位数.十位上的数 个位上的

32、数 对应的两位数 原两位数 x y 新两位数 y 反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -14-九：浓度问题 溶液浓度=溶质 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 41，今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？总结升华：解这类问题常用的相等

33、关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。【变式】1.一种 35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？2.要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐 10%的盐水有 x 千克，含盐 85%的盐水有 y 千克。题中的两个相等关系：1、含盐 10%的盐水中盐的重量+含盐 85%的盐水中盐的重量=可列方程为：10%x+=2、含盐 10%的盐水重量+含盐 85%的盐水重量=可列方程为：x+

34、y=3.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为 4：3，乙为 7：9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银 84千克、含铜 82 千克的新合金？4.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 25%，乙种合金含银 37.5%，现在要熔制含银 30%的合金 100 千克，两种合金应各取多少？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -1

35、5-十、几何问题 必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。【变式】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？2.用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库里1500 张正方形纸板和 1001 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰

36、好使库存的纸板用完？图二 图一 反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -16-十一、年龄问题 解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。例.父子的年龄差 30

37、 岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？举一反三：1.1998 年，甲的年龄是乙的年龄的 4 倍。2002 年，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。问甲、乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁?2.学生问老师：“您今年多少岁了？”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经 37 岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？提示：设老师为 X岁，学生为 Y岁，（1）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加，“我像你我样大的时候，”可以得知老师是 Y岁，老师由 Y岁增加到 X岁，增加了 X-Y岁；学生由 1 岁增加到 Y，增加了 Y-1岁。增加的年份是相等的

38、量。即：X-Y=Y-1；（2）老师由 X岁到 37 岁时，增长的量是 37-Y；学生由 Y岁增加到 X岁，增长的量是 X-Y，二者相等。X-Y=37-Y 反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -17-3.甲乙两人在聊天，甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁。”你

39、能算出他们两人各几岁吗？4.傅对徒弟说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。将来当你像我这样大时，我已经是 52 岁的老人了。”你能算出他们两人各几岁吗？5.现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？6.姐姐的年龄是妹妹年龄的 3 倍多 1 岁，妹妹 5 年后的龄比姐姐 3 年前的年龄大 1 岁，求姐姐与妹妹的年龄各是多少？7.今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.十二、优化方案问题：某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽 9 人到乙厂，则两

40、厂的人数相同；如果从乙厂抽 5 人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的 2 倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为 x 人，到乙工厂的人数为 y 人题中的两个相等关系：反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -18-1.需要用多少每千克售 4.2 元的糖果才能与每千克售 3.4 元的糖果混合成每千克售 3.6 元的杂拌糖 2

41、00 千克？2.批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司 5 辆甲种货车和 6 辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进行细加工，每天可加工 6 吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售

42、或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题

43、顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -19-【变式】1.某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？2.牛奶加工厂现有鲜奶 8 吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售 8 吨），每吨可获利润 50

44、0 元；制成酸奶销售，每加工 1 吨鲜奶可获利润 1200 元；制成奶片销售，每加工 1 吨鲜奶可获利润 2000 元该厂的生产能力是：若制酸奶，每天可加工 3 吨鲜奶；若制奶片，每天可加工 1 吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕 请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这 8 吨鲜奶既能在 4 天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润 3.某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：一等席 300 元人,二等席 200 元人，三等席 150 元人,某公司组织员工 36 人去观看,计划用 5850 元购买 2 种门票,请你

45、帮助公司设计可能的购票方案。4.小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱其中，甲冰箱的价格为 2100 元，日耗电量为 1 度；乙冰箱是节能型新产品，价格为 2220 元，日耗电量为 0.5 度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电 0.5 元，两种冰箱的使用寿命均为 10 年，平均每年使用 300 天）反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题

46、浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速 -20-5.某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元。甲 乙 价格（万元/台）7 5 每日产量（个）100 60（1）按该公司要求可以有几种购买方案？2，若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种方案？古代问题 1古题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多

47、七客，一房九客一房空”那么有_间房，有_位客人 2今有大、小盛米桶，5 个大桶加上 1 个小桶，可盛 3 斛米；1 个大桶加上 5 个小桶，可盛 2 斛米，求大、小桶各盛多少米（斛：量器名，古时用）若设大桶盛 x 斛米，小桶盛 y 斛米，则可列方程组为_ 3“今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”题目大意：在现有鸡、兔在同一个笼子里，上边数有 35 个头，下边数有 94 只脚，求鸡、兔各有多少只 4希腊文集 中有一些用童话形式写成的数学题 比如驴和骡子驮货物这道题，就曾经被大数学家欧拉改编过，题目是这样的：驴和骡子驮着货物并排走在路上，驴不住地埋怨自己驮的货物太重，压得受不了骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货物比你重，假若你的货物给我一口袋，我驮上的货就比你驮的重一倍，而我若给你一口袋，咱俩驮的才一样多”那么驴和骡子各驮几口袋货物？你能用方程组来解这个问题吗？反思解题过程检验答案的正确性以及是否符合题意列方程组思想找出相等关系未知转化为已知有几个未知数就列出几销售中的盈亏问题储蓄问题产品配套问题增率问题和差倍分问题数字问题浓度问题几何问题年龄问题优化方案问题三题快行距慢行距原距航行问题顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度顺速逆速水速顺速