2023年1011数学分析2参考超详细解析超详细解析超详细解析答案及评分标准B.pdf

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1、数学分析（2）课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 1 页共 5 页 中国计量学院 2010 2011 学年第二学期 数学分析（2）课程 试卷（B）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：10信算 1,2,3,数学1 教师：罗先发,马满军,韩亚洲,孟艳姣 一、计算题（每题 5 分，共 50 分）1.20cos5 sin2xxdx 解：()2012sin7sin3221xx dx=原式（5 分）2.()31dxxx+解：令6xt=，则()5223261 1611ttdtdtttt+=+原式（3 分）116666arctan66arctanttCxxC=+=+（5 分）3.()220a

2、x dx a 解：令sin,2xat t=，则 2221 cos 2cos2ttdtdt+=原式=aa（3 分）22222sin2arcsin2422aaaxxttCaxCa=+=+（5 分）4.arctanxxdx 解：222211arctanarctan22 122xxxxxdxxCx+=+原式（5 分）5.()()211dxxx+解：21112121dxxdxxx+=+原式（2 分）数学分析（2）课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 2 页共 5 页 ()24222111211lnarctan21412112xdxxdxdxxCxxxx=+6.求由曲线lnyx=与直线1,10,010 x

3、xy=所围图形的面积 解：()()11011101lnln99ln108110Ax dxxdx=+=（5 分）7.讨论级数()212 12nnnnn+=+的收敛性 解：()21nnn+=收敛（2 分），212nn+单增有上界（4 分），由 Abel 判别法知级数收敛（5 分）8.讨论级数21nnn+的收敛性 解：()1212nnnann=+故由根式判别法知级数收敛（5 分）9.讨论函数列()()111,01,1,2,10,101nnxxnfxnxxn+=+L或在区域)0,+上的一致收敛性 解：()()0,0,1nfxnx+（2 分）)()0,sup01nxfx+=，故知不一致收敛（5 分）10

4、.求()()121xx+在0 x=处的幂级数展开式，并确定收敛于该函数的收敛区间 解：()()1111213 21xxxx=+（2 分）()()1100011111,1323 2nnnnnnnnnnxxxx+=+=+（5 分）二、（10 分）讨论幂级数()132nnnnxn+=+的收敛半径、收敛域，并求其和函数 数学分析（2）课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 3 页共 5 页 解：由于()()()111323132nnnnnnannan+=+，故收敛半径为13（4 分）当13x=时，级数发散；当13x=时，级数收敛，故收敛域为1 1,3 3（6 分）由于 1111,11nnnnxxxnx+

5、=（7 分）所以()1ln 1,1,1nnxxxn+=（9 分）()()()11231 1ln 1 312,3 3nnnnnnxxxxxnn+=+=+原式（10 分）三、（10 分）把函数()2f xx=+在0,1上展开成余弦级数，并证明 (1)()22221118 13521n=+LL(2)22221116 123n=+LL 解：对()f x作偶延拓，可得 ()1002251ax dx=+=()()1220222cos11,n=1,2,1nnaxn xdxn=+=L 由收敛定理知()()()220cos 2154,1,1221nnxf xxn+=+=+（6 分）当0 x=时可得()22221

6、11183521n=+LL（8 分）又 2222222111111111238423nn+=+LLLL 故22221111623n=+LL（10 分）数学分析（2）课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 4 页共 5 页 四、（10 分）讨论二元函数()()11,sinsinf x yxyxy=+在()0,0处的累次极限及重极限 解：两个累次极限均不存在（5 分）又 ()()()(),0,0,0f x yxyx y+故()()(),0,0lim,0 x yf x y=（10 分）五、（10 分）求二元函数()2222221sin,0,0,0 xyxyxyf x yxy+=+=的偏导函数，并讨论f

7、在()0,0处的可微性 解：当22 0 xy+时，()()()()2222222222222222121,sincos,121,sincosxyx yfx yyxyxyxyxyfx yxxyxyxy=+=+（3 分）当22 0 xy+=时，()()0,00,00 xyff=（6 分）故偏导函数为()()()()222222222222222222222222121sincos,0,0,0121sincos,0,0,0 xyx yyxyxyxyfx yxyxyxyxxyxyxyfx yxyxy+=+=+=+=又()()()()()()()()()()()()()()()221 222221 22

8、21sin0,00,0 10,0,02xyx yffxfyxyxyxyxyxy +=+数学分析（2）课程试卷（B）参考答案及评分标准 第 5 页共 5 页 故而在()0,0处可微（10 分）六、（10 分）证明：若三角级数()01cossin2nnnaanxbnx=+中的系数,nna b满足关系 33sup,nnnn an bM M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数。解：由条件知()00311222nnnnaaMabn=+从而()01cossin2nnnaanxbnx=+在整个实轴上一致收敛（5 分）注意到()()011cossinsincos2nnnnnnaanxbnxnanxnbnx=+=+（7 分）同理，()1sincosnnnnanxnbnx=+在整个实轴上一致收敛，从而原函数项级数具有连续 的导函数()1sincosnnnnanxnbnx=+（10 分）