2023年概率论与数理统计复习最全面精品资料要点全面汇总归纳.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则（1）BAABABBA （2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA 3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP （2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P （5）)(1)(APAP （6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）

2、)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP 若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA ,独立)()()(BPAPABP （注意独立性的应用）学习必备 欢迎下载 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变量：取有限或可列个值，i

3、ipxXP)(满足（1）0ip，（2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(；（3）对任意Ra，0)(aXP 3 几个常用随机变量 名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差 两点分布),1(pB pXP)1(，pqXP1)0(p pq 二项式分布),(pnB nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(，np npq Poisson 分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk 几何分布)(pG,2,1,)(1kpqkXPk p1 2pq 均匀分布),(baU

4、bxaabxf ,1)(，2ba 12)(2ab 指数分布)(E 0 ,)(xexfx 1 21 正态分布),(2N 222)(21)(xexf 2 4 分布函数 )()(xXPxF，具有以下性质 （1）1)(,0)(FF；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6）对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数，且在)(xf连续点上，)()(xfxF 5 正态分布的概率计算 以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数，则有 （1）5.0)0(；（2）)(1)(xx；（3）若),(2NX，则

5、)()(xxF；事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 （4）以u记标准正态分布)1,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP 6 随机变量的函数 )(XgY （1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（2）X连 续，)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调，且 有 一 阶 连 续 导 数，则|)(|)()(11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征 1期望(1)离散时 iiipx

6、XE)(，iiipxgXgE)()(；(2)连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()()(；(3)二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(；（5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE 2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD 3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXE

7、YXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 4相关系数 )()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY 5k 阶原点

8、矩)(kkXE，k 阶中心矩kkXEXE)(第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev 不等式 2)(|)(|XDXEXP 或2)(1|)(|XDXEXP 2大数定律 3中心极限定理 （1）设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE，则),(21nnNXnii近似，或),(121nNXnnii近似 或)0,1(1NnnXnii近似，（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，pAP)(，则对任意x，有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX，则),(npqnpNX近似 第六章 样本及抽样分布 1总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于

9、总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(）；样本方差niiXXnS122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11 样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(1 2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(2222212nXXXn，其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1,0(N，若)(),(2212nYnX且独立，则)(212nnYX；事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方

10、差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 （2）t分布)(/ntnYXt，其中)(),1,0(2nYNX且独立；（3）F分布),(/2121nnFnYnXF，其中)(),(2212nYnX且独立，有下面的性质 ),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF 4正态总体的抽样分布（1）)/,(2nNX；（2）)()(11222nXnii；（3）)1()1(222nSn且与X独立；（4）)1(/ntnSXt；（5）)2()()(21212121nntnnnnSYXt，2)1()1(212222112nnSn

11、SnS（6）)1,1(/2122222121nnFSSF 第七章 参数估计 1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 minix或 maxix）3估计量的评选原则(1)无偏性：若)(E，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数 条件 估计函数 置信区间 2已知 nxu/2nux 2未知 nsxt/)1(2nsntx 2 未知 222)1

12、(sn )1()1(,)1()1(2212222nsnnsn 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 复习资料 一、填空题（15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】（P379）分布 参数 分布律或概率密度 数学期望（E）方差（D）（01）分布 01p 1(1),0,1kkP Xkppk p(1)pp 二项分布 101np (1),0,1,kn knP Xkppkkn np(1)npp 负二项分布 101rp 1(1)1,1,r

13、k rkP Xkpprkr r rp 2(1)rpp 几何分布 01p 1(1)1,2,kPXkppk 1p 21pp 超几何分布,()()N M aMNnN,max0,min,MNMknkP XkNkknNMkn M 为整数 nMN 11nMMNnNNN 泊松分布 0!0,1,2,keP Xkkk 均匀分布 ab 1,axbba ()f x 0,其他 2ab 2()12ba【相关例题】1、设(,)XU a b，()2E X，1()3D Z，则求 a，b 的值。21(,),()2,(),3()12,21231,3.XU a b E XD Xabbaabab解：根据性质：解得：事件组则有全概率公

14、式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 2、已知(,),()0.5,()0.45Xb n p E XD X,则求 n，p 的值。0.5,(1)0.450.1.npnppp解：由题意得：解得：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】（P163）2/2,1-/XnXzn为已知 由枢轴量，得到 的一个置信水平为的置信区间：【相关例题】1、（样本容量已知）1225(,0.81),5,0.99XNX XXX已知总体为样本 且则 的置信度的置信区间为：

15、/20.0250.9550.18 1.964.6472,5.35285Xzzn 解：代入公式得：2、（样本容量未知）123(,1),0.9510.88,18.92.nXNX XXX已知为样本容量 若关于 的置信度的置信区间，求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn 解：由题意知：样本长度为，则有：代入数据，得：题型三：方差的性质【相关公式】（P103）21()0,2()(),()()3,()()()D CCD CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。，为常数。相互独立【相关例题】1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNX

16、XD XX已知，两变量，且相互独立 求 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 1221212(2,4),(0,9)()1(2)()4()4 936123XUXbaD XXD XD X 解：题型四：2t分布、分布的定义【相关公式】（P140、P138）21232222122221(0,1),(),/.2,(0,1),.nnXYnX YXtY nnttt nX XXXNXXXnn 设且相互独立，则称随机变量服从自由度为 的 分布，记

17、为设是来自总体的样本 则称统计量服从自由度为 的分布 记为【相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YY n若且相互独立？(4)/XtY n答：2、302123301,0,1,?iiX XXXNX若变量服从则 30221(30).iiX答：题型五：互不相容问题【相关公式】（P4）,ABAB 若则称事件 与事件 是互不相容的。【相关例题】1、()0.6,().P AA BP AB若互不相容 求,()()()()0.6A BABP ABP A SBP AABP A 解：互不相容 二、选择题（15 分）题型一：方差的性质 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密

18、度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载【相关公式】（见上，略）【相关例题】（见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】（P105）【相关例题】(0,2),(3,9),?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN 答：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2,01xx 设()Xf x 0,其他 已知,P XaP Xaa则求。201

19、1212|02022aP XaP XaP Xaaxdxxaa 解：由题意，得：即有：又 三、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式：事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 n1122SP()=|()|()()(|)()=()(|)()(|).innESAEBAP A B P BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实

20、验 的样本空间为，为 的事件，B，B，B为 的划分，且0,则有：P?其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式：i100(1,2,),()(|)()(|)()(|)()=()(|)()(|)()(|)()(|)()iiiiniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验 的样本空间为。为 的事件,B，B，B 为S的一个划分，且P，则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的

21、数据：元件制造厂 次品率 提供原件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。（见下）事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 11223311121=(1,2,3).1()(|)()(

22、|)()(|)()0.02 0.150.01 0.800.03 0.050.0125(2)(|)()0.02 0.15(|)0.24()0.0125(|ABiiBP AP AB P BP A B P BP A B P BP A B P BP BAP AP BA解：设取到一只次品，在 厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：由贝叶斯公式有：22333(|)()0.01 0.80)0.64()0.0125(|)()0.03 0.05(|)0.12()0.0125P A B P BP AP A B P BP BAP A答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有 m 枚正品

23、硬币，n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？=B=rP|,1=,(),(|),(|)1.21()(|)()2|.1()(|)()(|)()2rrrAA BmnP AP AP B AP B AmnmnmP ABP B A P AmnP A BmnP BP B A P AP B A P Amnmn解：设所抛掷的硬币是正品，抛掷 次都得到国徽，本题即求得：即有：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏 2%（这一事件记为 A1），损坏 10%（这一事件记为 A2），损坏 90%（这

24、一事件记为 A3），且知 P（A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取 3 件，发现这三件都是好的（这一事件记为 B），123(|),(|),(|)()P A B P AB P A B试求这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。（见下）事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 333123123112233333111(|)0.98,(|)0.9,(|)0.1()0

25、.8,()0.15,()0.05()(|)()(|)()(|)()0.980.80.90.150.10.050.8624(|)()0.983 0.8(|)0()0.8624P B AP B AP B AP AP AP AP BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P AP A BP B解：由题意可知：23.8731(|)0.1268(|)0.0001P ABP AB 4、将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出其他字母的概率都是（1-）/2.今将字母串 AAAA、BBBB、CCCC 之一输入信道，输入 AAAA、BBBB、CCCC的概率分别

26、为 p1、p2、p3（p1+p2+p3=1），已知输出为 ABCA。问输入 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。）2233331232212231=AAAA=CCCC=ABCA|.()(|)()(|)()(|)()111()()()2221()()(|)()2(|)11()()()()22ABBBBBCDP A DP DP D A P AP D B P BP D C P CppppP ADP D A P AP A DP DP Dp 解：设输入为，=输入为，输入为，输出为，依题意求3231111123111()2111(31)1()()(1)222pppppappppp

27、p 题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布 1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度 f(x)求分布函数抓住公式：()1f x dx，且对于任意实数，有：212211()()()xP xXxF xF xf x dxx。【相关例题】（1）设随机变量 X 的分布函数为：0,1x FX（X）=ln,1xxe 1,xe 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 5(2)(03)(2)2P XPXPX

28、求、().xfx求概率密度（见下）(1)(2)(2)ln2(03)(3)(0)1 01555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXP XP XPXFFPXFFdFXdxx 解：1,1xex ()xfx 0,其他（2）2()()1Af xxx ，是确定常数 A。200+1-1+(arctanarctan 11AdxxAxxA 解：由相关性质得：解得：（3）,036xx 设随机变量 X 具有概率密度 f(x)=2,342xx，求X 的分布函数。0,其他 解：0，x0 ,030 6xxdxx 2,0312xx 3622,3403xxxx 232,344xxx 1,4x 2、正态分布(高斯分

29、布)()F x 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载【相关公式】（1）公式22()21()()2xf xex 其中：,为常数，则称 X服从参数为的正态分布。（2）若2=(0,1).xX NZN，则（3）相关概率运算公式：122112();()();()1().XxxP XxPxxxxXP xXxPxx 【相关例题】1、（P58 27）某地区 18 岁女青年的血压（收缩压：以 mmHg 计）服从 N（110,122），在该地任选一

30、名 18 岁女青年，测量她的血压 X，求：（1）105,100120;P XPX（2）确定最小的,0.05xP Xx使 2(1)(110,12)110105 1105105()1(0.42)1 0.66280.3372;121212100 110110120 110101010100120()()2()10.5934121212121212110110(2)111212XNXP XPXPXPXxP XxP XxP 解：min1101()0.0512110()0.95(1.65)121101.65129.812129.8xxxxx 即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数10.05,0

31、.06的正态分布，规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。（见下）事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 .9.93 10.0510.0510.1710.0510.05()(22)2(2)10.95440.060.060.060.06()1()1 0.95440.0456AP AXXP APPP AP A 解：设一螺栓合格，本题求 题型三：二维随机变量的题型【相关公式】+1(,)=(,)1-2(,)()

32、()3(1):()()()()1(2):()()()(3):()XYxyXYXYXYXYYXf x y dxdyf x y dx dyf x yfxfyZXY fffzy fy dyfx fzx dxzZXY fzfx fdxxxYZfzX 、二维随机变量的求法：、联合概率密度求法:、随机变量的函数分布：()()XYx fx fxz dx【注意点】讨论x,y 取值范围。【相关例题】1、（P84 3）设随机变量（X,Y）的概率密度为：(6),02,24kxyxy (,)f x y 0,其他(1).(2)X1,Y3.(3)X1.5.(4)4.kPPP XY 确定常数求求求（见下）y x 0 4 4

33、 2 y=4-x 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 22042441(6)6|10212022218311326208841.5127(3)6208324412(4)62083xkxy dx dykxxydyky dyxy dx dyxy dx dyyxy dx dy 解：解得:k=由题意即求：由题意即求：由题意即求(如图)：2、（P86 18）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（0,1）上服从均匀分布，Y

34、 的概率密度为：21,02yey ()Yfy 0,其他 12XY.XYP求 和 的联合概率密度.求 X解：由题意的：的概率密度如下：1,0 x1 XfX 0,其他 2222121(,),01,02(,)0,(2)111112|00022221yyyyxf x yexyf x yyedy dxeddxedxxxe 其他由题意,即求：事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 3、（P87 25）设随机变量 X，Y 相互独立，且具有相同的

35、分布，它们的概率密度均为 1,1xex ()f x 0，其他 求 Z=X+Y 的概率密度。1122(,)()()001(2).(2)1xx zX YXYzzfx yfx fzx dxeedxzedxezx解：4、（P87 26）设随机变量 X,Y 相互独立，它们的概率密度为 ,0 xex ()f x 0，其他 求 Z=Y/X 的概率密度。00(1)20000,0.0()()()()()()1.10()0.xzxxzxzxXZxYf Zfx fX x fY zx dxx fX x fY zx dxXxe edxxe edxxedxzxf ZZ 解：由题意知:当时，当时,综上所述，的概率密度为：2

36、1,01zz ()Zfz 0,0z 题型四：最大似然估计的求解【相关公式】事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 (1)()0ln()0220ln0(1,2,3,)iiddLLddiiLLik当只有一个变量 的时候，有：或；当未知变量有 的时候，有：或【相关例题】1、设概率密度为：,01xex ()f x 0,其他 求 的最大似然估计.1111()expln()ln()1()0=.nnxniiiniiniinLexlLnxdnlx

37、ddldx 解：令，即有：2、（P174 8）123,nXXXX设,?是来自概率密度为：1,01xx (;)f x 0,其他 的总体的样本，未知，求的最大似然估计。事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 1111111()()ln()ln1 lnln()lnln()=0=lnnnniiiniiniiniiLxxlLnxdnlxddldnx 解：令，得：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】000/202

38、220221201/(2)(1)/(1)/21(1)1:(1)XZnXtt nsnXttnsnHnSnnSn1、正态总体均值的假设检验标准差 已知（Z检验法）：标准差 未知（t 检验法）:拒绝域为：、正态总体方差的假设检验当为真时，有：拒绝域为【相关例题】1、（P218 3）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01 下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分

39、布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 0120=0.013.25:3.253.252=0.013-3.2523.250.3442/0.013/5:(1)0.005(4)4.6061,4.6061(4.6061,)0.34424.6061=0.01H xHxxSXtSnttnttH 00解：在显著性水平下检验问题：检验统计量，=3.25,n=5。代入数据，得观察值：=拒绝域为即：接受在3.25.的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为 2、（P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过 0.005，尽在一批导线中取样品 9根，测得 s=0

40、.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著偏大？0122222210.050=0.050.0050.0050.007,9,0.005(1)8 0.00715.680.005:(1)(8)15.50715.6815.507=0.05HHsnnStnH 解：在显著水平下检验问题：检验统计量：代入数据，得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一 一、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85,则 P(A|B)=P(AB)=2、设事件 A 与 B

41、 独立，A 与 B 都不发生的概率为19，A 发生且 B 不发生的概率与 B发生且 A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 4、已知随机变量 X 的密度函数为：,0()1/4,020,2xAexxxx,则常数 A=,分布函数F(x)=,概率 0.51PX ；5、设

42、随机变量 X B(2，p)、Y B(1，p)，若15/9P X ，则 p=，若 X 与 Y独立，则 Z=max(X,Y)的分布律：；6、设(200,0.01),(4),XBYP且 X 与 Y相互独立，则 D(2X-3Y)=,COV(2X-3Y,X)=；7、设125,XXX是总体(0,1)XN的简单随机样本，则当k 时，12222345()(3)k XXYtXXX；8、设总体(0,)0XU 为未知参数，12,nXXX为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本129,XXX来自正态总体(,1.44)N a，计算得样本观察值10 x，求参数a的置信度为 95%的置信区间：；二

43、、计算题（35 分）1、(12 分)设连续型随机变量 X 的密度函数为：1,02()20,xxx 其它 求：1）|21|2PX ；2）2YX的密度函数()Yy；3）(21)EX；2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4,|,02,(,)0,yxxx y 其他 1）求边缘密度函数(),()XYxy；事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 2）问 X 与 Y是否独立？是否相关？3）计算 Z=X+Y的密度函数()Zz；3

44、、（11 分）设总体 X 的概率密度函数为：1,0(),000 xexxx X1,X2,Xn是取自总体 X 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量；2）验证估计量是否是参数的无偏估计量。三、应用题（20 分）1、（10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2（10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取

45、 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530，0.542，0.510，0.495，0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)？附表：模拟试题二 一、填空题(45 分，每空 3 分)1设()0.5,(|)0.6,()0.1,P AP B AP AB 则()P B ()P AB 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 2设,A B C三事件相互独立，且()()()P AP BP C，若37()64P

46、 ABC，则()P A 。3设一批产品有 12 件，其中 2 件次品，10 件正品，现从这批产品中任取 3 件，若用X表示取出的 3 件产品中的次品件数，则X的分布律为 。4设连续型随机变量X的分布函数为 ()arctan(),F xABxxR 则(,)A B ，X的密度函数()x 。5设随机变量 2,2XU，则随机变量112YX的密度函数()Yy 6设,X Y的分布律分别为 X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2 且00P XY，则(,)X Y的联合分布律为 。和1P XY 7 设(,)(0,2 5;0,X YN，则c o v(,)X Y ，1(31)2

47、DXY 。8设1234(,)XXXX是总体(0,4)N的样本，则当a ，b 时，统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从自由度为 2 的2分布。9 设12(,)nXXX是 总 体2(,)N a的 样 本，则 当 常 数k 时，221()niikXX是参数2的无偏估计量。10设由来自总体2(,0.9)XN a容量为 9 的样本，得样本均值x=5，则参数a的置信度为 0.95 的置信区间为 。二、计算题(27 分)1(15 分)设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均

48、匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 1(),02,02(,)80,xyxyx y 其它（1）求XY与的边缘密度函数(),()XYxy；（2）判断XY与是否独立？为什么？（3）求ZXY 的密度函数()Zz。2(12 分)设总体X的密度函数为(),()0,xexxx 其中0是未知参数，12(,)nXXX为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1；（2）的极大似然估计量2。三、应用题与证明题(28 分)1(12 分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品，乙箱中仅有 3 件正品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，（1）

49、求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰有 2 件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了 36 位考生的成绩，算得平均成绩66.5x 分，标准差15s 分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分，并给出检验过程。3(8 分)设0()1P A，证明：AB与相互独立(|)(|)P B AP B A。附表：0.950.9750.950.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt 0.9750.975(35)2.0301

50、,(36)2.0281,tt 事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应用学习必布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布指分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分位数则学习必备 欢迎下载 模拟试题三 一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1设()0.3,()0.8,P AP AB 若AB与互斥，则()P B ；AB与独立，则()P B ；若AB，则()P AB 。2在电路中电压超过额定值的概率为1p，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；3 设随机变量X的密度为34,01()0,xxx 其它，