2023年,七年级数学一元一次方程及其解法华东师大版知识精讲.pdf

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1、用心 爱心 专心 数学一元一次方程及其解法华东师大版【本讲教育信息】一、本周主要内容 一元一次方程及其解法 二、知识要点 1.知识点概要 弄懂一元一次方程和它的解的含义，并会检验一个数是不是某个一元一次方程的解；能说出等式的意义，并能举出例子；会区别等式与代数式；了解方程的基本变形在解方程中的作用；灵活运用解方程的一般步骤解题；初步了解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；感受用列方程解实际问题（代数方法）比用算术方法解题的优越性.2.重点难点 重点：一元一次方程及其解的意义，解一元一次方程的步骤.难点：灵活地运用解一元一次方程的解题步骤，在“灵活”二字上下功夫.三、考点分析 1.方程的简单变

2、形（1）方程的变形与方程解的关系：方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变.方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变.通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解.（2）移项：方程中的项在改变符号后都可以从方程的一边移到另一边.注意：所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两项的位置；移项时要变号，不变号不能移项.2.解一元一次方程（1）一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程.注意：判定一个方程是不是一元一次方程，先将方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等

3、变形.如果能化为最简形式 ax=b（a0）或标准形式 ax+b=0（a0），那么，它就是一元一次方程；否则，就不是一元一次方程.方程 ax=b 或 ax+b=0，只有当 a0时，才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程 ax=b 或 ax+b=0 是一元一次方程，就隐含着已知条件 a0.（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母：在方程两边同乘以分母的最小公倍数.注意点：不含分母的项不能漏乘；注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号.去括号：由内向外或由外向内去括号，注意顺序.注意点：运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；如果括号前面是“”号，去括号时，括号内的各项要变号.移

4、项：把含未知数的项都移到方程的一边（通常是左边），不含未知数的项移到方程另一边.注意点：移项必须变号；一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边.合并同类项：把方程两边的同类项分别合并，把方程化为 ax=b（a0）的形式.注意用心 爱心 专心 点：合并同类项是系数相加，字母及字母的指数不变.化未知数的系数为 1：在方程两边同除以未知数系数 a，得到方程的解abx.注意点：分子、分母不能颠倒.注意：解方程时，上述有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤.熟练后，有些步骤还可以合并简化.3.列一元一次方程解应用题的步骤 步骤 注意事项 设未知数 设未知

5、数时，一般是问什么就直接设什么.如果直接设未知数列方程有困难，就可间接设未知数.设未知数时，如果未知数有单位名称的话要看清楚.列方程 列方程依据的等量关系是否正确.方程两边的量所用单位是否一致.解答 根据解一元一次方程的一般步骤，解所列的方程.求得方程的解必须检验，对照应用题看是否合理.如果排除列方程、解方程的原因，方程的解不符合应用题的实际，那么应用题无解.【典型例题】例 1.已知关于 x 的方程 m（x1）=4xm 的解是4.求 m 的值.已知 fexdxcxbxaxx234551.求fedcba的值；分析：根据方程解的概念，只要把 x 的值用4 代入到原方程中，再解关于 m 的方程就可以

6、了.题已知的式子是个恒等式，无论x取何值，都有等式的左边等于右边，因此从方程的角度来看，此方程的解是x取一切数，再结合所求结论，只要取特殊的x的值就能解题.解：由题意得 m（41）=4（4）m 解这个方程得 m=4 把x=1 代入原方程，得 fedcba111111123455 即 fedcba=0.例 2.如果123nab与1nab是同类项，则n是（）A.2；B.1；C.1；D.0.若 3x+2 与2x+1 互为相反数，则 x2 的值是 .已知 2ax=（a+1）x+6，求当 a 为何整数时，方程的解是正整数.分析：根据同类项的概念，字母 b 的指数要相等，从而列出方程 2n1=n+1，解这

7、个方程得 n=2，故选 A.根据互为相反数的概念，可列出方程（3x+2）+（2x+1）=0，解这个方程得 x=3，所以 x2=5.此题需认真审题，“a 为整数，解是正整数”，另还需先解关于未知数 x 的方程，最后再由题意进行讨论.解：2ax=（a+1）x+6 会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心 移项得 2ax（

8、a+1）x=6 合并得（a1）x=6 当 a1时，16ax 由条件“a 为整数，解是正整数”知：a1 只能是正整数且是 6 的约数，所以 a1 可以是 1、2、3、6，从而求出 a 为 2、3、4 和 7.例 3.已知mxm632是关于 x 的一元一次方程，试求代数式2005)3(m的值.分析：本题应根据一元一次方程的定义，抓住未知数的次数是 1 来解.解：由已知mxm632是关于 x 的一元一次方程，得 2m3=1 解之，得 m=2 从而 1)1()32()3(200520052005m 例 4.解方程 3（x+1）（5+x）=182（x1）.分析：由于该方程中有括号，因此，我们可从去括号开

9、始来解方程.解：去括号，得 3x+35x=182x+2 移项，得 3xx+2x=18+23+5 合并同类项，得 4x=22 系数化为 1，得211x 注意：为了检验该方程是否解得正确，可以将解的结果代入原方程的左右两边，看方程两边的值是否相等.若相等说明解得正确，若不相等说明解得不正确，对本题检验如下 检验：左边=9211512113，右边=91211218，左边=右边，所以211x是原方程的解.例 5.解方程2233)5(54xxxx.分析：由于该方程中有分母，因此，我们可从去分母开始来解方程.其方法是，先找出各分母的最小公倍数，然后将方程两边同乘以这个最小公倍数即可去分母.解：去分母，得

10、6（x+4）30（x5）=10（x+3）15（x2）去括号，得 6x+2430 x+150=10 x+3015x+30 移项，得 6x30 x10 x+15x=30+3024150 合并同类项，得 19x=114 系数化成 1，得 x=6 例 6.解方程02503.002.003.05.09.04.0 xxx.分析：由于该方程中分子、分母中都含有小数，可根据分数的性质将分子、分母同时扩大适当的倍数，化去小数，变为整数后再采用去分母法来解.解：由分数的基本性质，得025323594xxx 去分母，得 6（4x+9）10（3+2x）15（x5）=0 会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的

11、作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心 去括号、移项、合并同类项，得 11x=99 系数化成 1，得 x=9 例 7.解方程146151413121x.分析：此方程既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路来做.解法一 （层层去括号）去小括号，得 146412013121x 去中括号，得 14212160121x 去大括号，得 112411201x 移项，得2

12、411201x 系数化成 1，得 x=5 解法二 （层层去分母）两边都乘以 2，得 2461514131x 移项、合并同类项，得 261514131x 两边都乘以 3，得 6615141x 移项、合并同类项，得 015141x 两边同乘以 4，得 0151x 移项，得 151x 两边同乘以 5，得 5x 例 8.某人读一本书，第一天读了全书的31还多 2 页，第二天读了剩下的21少 1 页，这时还有 38 页没有读完，问这本书共有多少页?分析：本题可采用直接设未知数法，抓住相等关系“第一天读书的页数+第二天读书的页数+剩下的页数=全书的页数”列方程.解：设这本书共有 x 页，则第一天和第二天读

13、的页数分别为 231x，121231xx.根据题意，得 xxxx38121231231 会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心 即 xxx372123121 xx213723121 也即 7632x x=114 答：这本书共有 114 页.例 9.某工业园区用于甲、乙两个不同项目的投资共 2000 万元.甲项目的年

14、收益率为 5.4%，乙项目的年收益率为 8.28%，该工业园区仅以上两个项目可获得收益 1224000 元.问该工业园区对两个项目的投资各是多少万元?分析：本题可采用间接设未知数法，抓住相等关系“甲项目的收益+乙项目的收益=总收益”列方程.解：设对甲项目投资为 x 万元，则对乙项目投资为（2000 x）万元.根据题意，得 5.4%x+8.28%（2000 x）=122.4 解得 x=1500 从而 2000 x=20001500=500 答：该工业园区对甲项目投资为 1500 万元，对乙项目投资为 500 万元.五、本讲数学思想方法的学习 1.列方程解决实际问题与算术方法解实际问题有着思维方法

15、的区别.算术方法解决实际问题其思考方式属于逆向思维，由已知列式求得未知，解题的分析比较困难.而列方程解决实际问题时，是假设问题已经解决，未知先当做已知参加运算，是正向推导的思维方式，因而解题的分析思考较为顺当.越是复杂的问题，越能显示列方程（代数方法）的优越性.2.在解一元一次方程过程中，掌握移项要变号，以及去分母去括号的方法是关键.解一元一次方程的有些变形的步骤可能用不到，并且也不一定按照自前向后的顺序，要根据方程的形式灵活安排求解步骤.3.应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一.而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在，学习列方程解决实际问题应注重两个方面：促使综合型思

16、维向分析型思维的转轨.从各个侧面分析列方程的来龙去脉，突破小学形成的固有的综合思维模式（从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式.有些实际问题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些未知数辅助建立方程，辅助未知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”.【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一、选择题：1.下列方程中，是一元一次方程的是（）A.2xy=1 B.x2y=2 C.2y2x=3 D.y=4 2.下列变形中，正确的是（）A.若 x2=y2，则 x=y；B.若 ax

17、y=a，则 xy=1；C.32x=8，则 x=12；D.若xyaa，会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心 则 x=y 3.对于“x+y=ab”，下列移项正确的是（）A.xb=y+a B.xa=y+b；C.ax=y+b D.a+x=by 4.在代数式 x3ax 中，当 x=2 时代数式的值为 4，则 a 的值为（）

18、A.6 B.6 C.2 D.2 5.方程 3x8=x+7 的解为（）A.154；B.415；C.12；D.12 6.方程325436xx 的解为（）.A.8 B.8 C.6 D.6 7.代数式2x+0.5 的值比代数式4x的值小14，则 x 的值为（）A.3 B.3 C.12 D.14*8.一批货物用载重 1.5 吨的汽车比用载重 4 吨的大卡车要多运 5 次才能运完.若设这批货物共 x 吨，可列出方程（）A.1.5x4x=5 B.51.54xx；C.51.54xx；D.1.545xx.*9.水流速度为 2 千米/时，一小船逆流而上，速度为 28 千米/时，则该船顺流而下时，速度为（）千米/时

19、.A.30 B.32 C.24 D.28 二、填空题：10.已知 x=2 是方程 3x2m=6 的解，则 m 的值为_.11.若 2a 与 2a 互为相反数，则 a=_.12.已知 x=2 是方程253xaxa的解，则 a 的值为_.13.代数式 a+235aaa 的值等于 61，那么 a 的值为_.*14.关于 x 的方程 532x=11 与（4m）x=4x 的解相同，则 m 的值为_.15.设 m=2x1，n=43x，当 5m6n=7 时，x 的值为_.三、解答题：16.已知 x=3 是关于 x 的方程3x2+2kx+21=0 的解，求 3k20048k2008 的值.17.解下列方程：（

20、1）121123xx；（2）421323324xxx；（3）42.40.52.5xx；（4）41.51.250.80.50.10.2xxx.18.设方程 5（x3）=3x7 的解为 x1，方程11123xx 的解是 x2，求代数式（x1+x2）（x12x1x2+x22）的值.会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心

21、*19.某工厂今年计划产值为a万元，比去年增长10%，如果今年实际产值可超过计划1%，那么实际产值将比去年增长（）A.11%B.10.1%C.11.1%D.10.01%解：设去年产值为 x 万元，根据题意，得方程为_.解之得 x=_（用含 a 的代数式表示）.实际产值可表示为_，比去年产值 x 增加_ 万元，增长率为_%.*20.从小明的家到学校，是一段长度为 a 的上坡路接着一段长度为 b 的下坡路（两段路的长度不等但坡度相同），已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢 20%，走下坡路时的速度比走平路时的速度快 20%，又知小明上学途中花 10 分钟，放学途中花12 分钟.试判断

22、 a 与 b 的大小.（只要求根据题意列出方程，不求解）解：设小明走平路的速度为 x 千米/时，则他走上坡路的速度为_，走下坡路的速度为_.根据题意，得两个方程：_+_=1060，_+_=1260.*21阅读理解恒等变形 恒等概念是对两个代数式而言的，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式 如 a+b=b+a，2x+5x=7x 都是恒等式，而 x+7=3，a+b=5 都不是恒等式，以前学过的运算一律都是恒等式 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式叫做恒等变形（或恒等变换）从恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式

23、从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法：（1）如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等（两个多项式的常数项也看作是同次项）（2）通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的 例 如果rqxpxcbxax22是恒等式，那么必有 a=p，b=q，c=r 求 b、c 的值，使下面的恒等式成立：cxbxxx)1()1(2322 解 因为cxbxxx)1()1(2322是恒等式，所以对 x 的任意数值

24、，等式都成立 设 x=1 代入恒等式，得 cb)11()11(213122 解得 c=6 再设 x=2 代入恒等式，得 cb)12()12(223222 即 b+c=11 又 c=6，从而 b=5 注意：以后学多项式的乘法，也可将所给恒等式右边展开，由恒等式两边同次项系数对会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符用心 爱心 专心 应

25、相等列出方程组解之 请你解答：a、b、c 各是什么有理数时，多项式 a（x1）（x2）+b（x2）（x3）+c（x3）（x1）和1452 xx恒等?【试题答案】一、选择题：1.D 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C 9.B 二、填空题：10.0 11.2 12.1 13.30 14.6 15.97 三、解答题：16.1997 17.x=8；x=127；x=12；x=117.18.65 19.C，（1+10%）x=a，1.1a，（1+1%）a，11111000a，11.1 20.(120%)x，(120%)x，(120%)(120%)abxx(120%)(120%)abxx

26、21.因为145)1)(3()3)(2()2)(1(2xxxxcxxbxxa是一个恒等式，则对于 x 允许取的一切值均恒等，故可令 x=1，得 2b=2 即 b=1，再令 x=2，得c=13，即 c=13，最后令 x=3，得 2a=34，即 a=17，故 a=17，b=1，c=13 时，多项式 a（x1）（x2）+b（x2）（x3）+c（x3）（x1）和1452 xx恒等。会区别等式与代数式了解方程的基本变形在解方程中的作用灵活运用解方程的一般步骤解题初步了解用一元一次方程程及其解的意义解一元一次方程的步骤难点灵活地运用解一元一次方程的解题步骤在灵活二字上下功夫三考点分析方乘以或都除以同一个不为零的数方程的解不变通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解移项方程中的项在改变符