直角三角形的性质教案.docx

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1、直角三角形的性质教案 第一篇：直角三角形的性质教案 直角三角形的性质教案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址直角三角形的性质 1驾驭直角三角形的性质定理，并能灵敏运用. 2接着学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、转变、互相联系和互相转化的规律. 1阅历探究直角三角形性质的过程，体会探讨图形性质的方法. 2培育在自主探究和合作沟通中构建学问的实力. 3培育识图的实力，提高分析和解决问题的实力，学会转化的数学思想方法. 使学生对规律思维产生爱好，在主动参与定理的学习活动中，不断增加主体意识、综合意识. 直角三角形斜边上的中线性质定理的应

2、用. 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步相识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：1在直角三角形中，两个锐角互余； 2在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理. 二、思索探究，获得新知 除了刚刚同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？如今我们一起探究！ .试验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. 1量一量边AB的长度； 2找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； 3量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜测斜边上的中线与斜边长度之间的关系. 2.提出命题： 直角三角形斜边

3、上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜测？ 已知，如图，在RtABc中，AcB=90，cD是斜边AB上的中线. 求证：cD=AB. 可“倍长中线,延长cD至点E，使DE=cD，易证四边形AcBE是矩形，所以 cE=AB=2cD. 思索还有其他方法来证明吗？还可作如下的帮助线. 4.应用： 例如图，在RtAcB中，AcB=90,A=30. 求证：Bc=AB 构造斜边上的中线，作斜边上的中线cD，易证BDc为等边三角形，所以Bc=BD=AB. 直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半. 三、运用新知，深化理解 .如图，cD是RtABc斜边上的中线，cD=4，则A

4、B=_. 2.三角形三个角度度数比为123，它的最大边长是4cm，那么它的最小边长为_cm. 3.如图，在ABc中，AD是高，cE是中线，Dc=BE，DGcE,G为垂足. 求证：1G是cE的中点； 2B=2BcE. 第3题图 第4题图 4.如图，ABc中，AB=Ac，c=30，ABAD，AD=2cm,求Bc的长. .8 2.2 3.证明：1连接DE.在RtADB中，DE=AB，又BE=AB,Dc=BE,Dc=DE.DGcE,G为cE的中点. 2BE=ED=Dc,B=EDB,EDB=2BcE,B=2BcE. 4.6cm 可由学生小组探讨完成，老师归纳. 四、师生互动，课堂小结 .直角三角形斜边上

5、的中线等于斜边的一半. 2.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半. 3.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线. .布置作业：从教材相应练习和“习题24.2中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本课从复习已学过的直角三角形的性质入手，通过试验操作、猜测、证明探究直角三角形斜边上的中线性质定理，培育学生识图的实力，提高分析和解决问题的实力，在主动参与定理的学习活动中，不断增加主体意识和综合意识. 其次篇：直角三角形的性质教案 直角三角形的性质 一 ： 1、驾驭“直角三角形的两个锐角互余定理。 2、稳固利用添帮助线证明有关几何问题的方法。 ：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用

6、。 ：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 ： 一、 引入 复习提问：1什么叫直角三角形？ 2直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授 一直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：A与B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、稳固练习： 练习1：1在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数 2在RtABC中，C=900，A -B =300，那么A=，B= 。 练习2 ：在ABC中，ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，1与B互余的角有2与A相等的角有 。3与B相等的角有 。 二直角三角形

7、性质定理2 1、试验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 l量一量斜边AB的长度2找到斜边的中点，用字母D表示 3画出斜边上的中线4量一量斜边上的中线的长度 让学生猜测斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、稳固训练： 练习3 ：在ABC中，ACB=90 ，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_，与A相等的角有_，若A=35，那么ECB= _。 练习4： 已知：ABC=ADC=90O，E是AC中点。求证：1ED=EB (2)EBD=EDB 3图中有哪些等腰三角形？ 练习5： 已知：在ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。假如连接DE,取DE的中点O,

8、那么MO 与DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业 直角三角形的性质 二 一、： 1、驾驭“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理以及应用。 2、稳固利用添帮助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生觉察并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培育学生的创新精神和创建实力。 4、从生活的实际问题动身，引发学生学习数学的爱好。从而培育学生觉察问题和解决问题实力。 二、： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、： 一

9、引入： 假如你是设计师：提出问题2008年将建立一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建立在离旁边的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。假如你是设计师你会把地铁站的出口建立在哪里？ 通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习爱好。 动一动 想一想 猜一猜 试验操作 请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。 通过以上试验请猜测一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有 什么关系？ 通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生揣测斜边

10、的中线与斜边的关系。 A 二 新授： 提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 E证明命题：老师引导，学生探讨，共同完成证明过程 应用定理： 已知：如图，在ABC中，B=C，AD是BAC的平分线，E、F分别BDAB、AC的中点。 求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。 上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，如今我们将图形转变使斜边重合，我们可以得到哪些结论？ 练习变式： 1、 已知：在ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， AF是BC的中点。求证：FD=FE D练习引申：1若连接DE，能得出什么结论？ O2若O是D

11、E的中点，则MO与DE存在什么结论吗？ E上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于 BFCFC斜边的同侧。假如共用一条斜边，两个直角三角形位于斜 边的两侧我们又会有哪些结论？ 2、已知：ABC=ADC=90，E是AC中点。你能得到什么结论？ 直角三角形的性质 三 ADEC B重点：直角三角形的性质定理 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 讲一讲 例1：已知，RtABC中，ACB=90，AB=8cm，D为AB中点，DEAC于E， A=30，求BC，CD和DE的长 分析：由30的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD

12、. 在RtADE中，有A=30，则DE可求. 解：在RtABC中 1 ACB=90 A=30BC=AB 2 AB=8 BC=4 D为AB中点，CD为中线 1 CD=AB=4 2 DEAC，AED=90 11 在RtADE中，DE=AD， AD=AB 221 DE=AB=2 4 例2：已知：ABC中，AB=AC=BC ABC为等边三角形D为BC边上的中 1点，DEAC于E.求证：CE=AC. 4 分析：CE在RtDEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证. 证明：DEAC于E，DEC=90(垂直定义) ABC为等边三角形，AC=BC C=60 在RtEDC中，C=60

13、，EDC=90-60=30 1 EC=CD 2 D为BC中点， 11 DC=BC DC=AC 221AC. 4 例3：已知：如图ADBC，且BDCD，BD=CD，AC=BC. 求证：AB=BO. 分析：证AB=BD只需证明BAO=BOA 1 由已知中等腰直角三角形的性质，可知DF=BC。由此，建立起AE与AC 2之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证. 证明：作DFBC于F，AEBC于E BDC中，BDC=90，BD=CD 1 DF=BC 21 BC=AC DF=AC 21 DF=AE AE=AC 2 ACB=30 CAB=ABC，CAB=ABC=75 OBA=30 AOB=75 B

14、AO=BOA AB=BO 练一练 1.ABC中，BAC=2B，AB=2AC，AE平分CAB。求证：AE=2CE。 CE= 2.已知，RtABC中，ACB=90，CDAB，CE为AB边上的中线，且BCD=3DCA。 求证：DE=DC。 3.如图：AB=AC，ADBC于D，AF=FD，AEBC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。 4.在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。 求证：AE=DF。 第三篇：198 直角三角形的性质 教学设计 教案 教学准备 1. 教学目标 1、从熟识的三角尺动身，得出直角三角形两锐角的数量关系；进而推导直

15、角三角形斜边上中线的性质，并能运用这两特性质解决简洁的数学问题。 2、在探究直角三角形性质的过程中，体会探讨图形性质的方法，体会从特殊到一般的探讨策略；结合动手操作，体会图形变换的思想方法。 3、通过图形变换，感受数学问题的灵敏性；通过对实际问题的解决，感受数学学问的好用性，激发深厚的学习爱好。 2. 教学重点/难点 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导 难点：添设帮助线进行几何证明 3. 教学用具 4. 标签 教学过程 一、 新课导入 视察你身边的三角尺，这两个直角三角形的两个锐角有什么数量关系？为什么？ ：从学生熟识的直角三角尺入手，得到直角三角形两个锐角之间的数量关系。对七年级的学

16、生而言不难理解，只需加以归纳，不需花力气。 二、 探究新知 性质 1：直角三角形的两个锐角互余。你能用数学符号来表示吗？ 符号表示： RTABC,C=90，A+B=90(A与B互余) 请同学们完成练习：书面 1在直角三角形中，有一个锐角为46，那么另一个锐角度数为_； 2在RtABC中，C=90，A-B=30，那么A=_,B=_； 3如图，在RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，图中与A互余的角有_，与B互余的角有_；与A相等的角有_，B相等的角有_。 学生完成后，老师检查完成状况。其中第3题需绽开。 在上图中，我添加一个条件B=45，你认为图中各锐角是多少度？请你画出如今的图形的

17、形态。这时线段CD与斜边有怎样的关系？垂直、平分且等于斜边的一半 结论：等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。假如是一般三角形具有这特性质吗?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ (有的学生会运用直尺测量去找到答案) 量一量：用尺规测量，但我们论证一个命题，需要用严密的推理方法来说明。 命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 已知：在RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB的中线， 求证：CD=1/2AB 首先让学生思索一会儿，会觉察干脆证明比较困难，这时老师加以引导，当遇到中线时，可以倍长中线法，把需证明的结论转化为证明线段相等。然后让学生小组合作探讨解题方法。当各小组找

18、到解题方法后，请一位学生进行板书。 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.你能用数学符号来表示吗？ 符号表示： RTABC, C=90，CD是中线D是AB的中点 CD=1/2 AB 通过等腰直角三角形这个特殊的直角三角形斜边上中线与斜边的等量关系的探讨，转入到对随便直角三角形斜边上的中线与斜边的等量关系的思索，引导学生体会从“特殊到一般的解决问题的策略，同时又关心学生对随便直角三角形斜边上中线与斜边等量关系形成猜测，更留意解题策略的渗透。对于添设帮助线这一难点，由于在“证明举例的学习中已有接触，老师稍加点拨后难点较易突破。 三、 尝试应用 请同学们完成下面练习： 1、如图，在ABC中，

19、ACB=90，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_，与A相等的角有_，若A=35，那么ECB=_。 2、动手操作：请同学们拿出制作好的两个直角三角形斜边相等但不全等，将他们的斜边拼在一起，你有几种拼法？学生动手并进行展示 在上图中已知ACB=ADB=90,E是AB的中点，F是CD的中点，猜测 EF和CD又怎样的位置关系？并加以证明。 小组合作完成，并任选一个图形加以证明。每组不行都选一个图形 这个例题是性质2的运用，学生对拼图很感爱好，通过自己的操作，引起对问题的思索：当直角三角形出现斜边中点时，学生会想到添加中线，这也是常见的添线方法，通过小组成员的合作，可以抓住两个图形的特征，同

20、时体验图形变换思想，呈现几何图形的奥妙和美感。 3、拓展：徐汇区政府为了便利居民的生活，支配在三个住宅小区之间修建一个购物中心，三个小区恰巧处于一个直角三角形的三个顶点上请你规划一下，问该购物中心应建于何处，才能使它到三个小区的距离相等？ ：通过此题的解决，将所学的学问学以致用，体会数学学问的好用性，符合教材中数学是有用的设计理念。 四、 课堂小结： 1、这节课你学习了直角三角形的哪两条性质定理？ 2、在解决具体问题中你有哪些收获？ 3、你还想知道直角三角形的哪些性质? 五、 课后练习 完成自主练习卷 课后习题 直角三角形性质课后练习设计 温习课本： 1、根据三角形的内角和等于_,我们可以知道

21、直角三角形的两锐角_； 2、定理2：直角三角形斜边上的中线等于_ 。 一、基本学问： 1、已知RTABC中，B=90, A=2C,那么A=_。 2、在直角三角形中，假如斜边长10cm，那么斜边上的中线等于_。 3、如图：B=C=AED=90,写出图中互余的角。 二、定理应用 1、已知，如图CD、EB分别是ABC的两边AB、AC上的高，M是BC的中点，且MNDE,N为垂足， 求证：N为DE的中点 2、如图,ABC中，ABC=90,E为AC的中点，在图中作点D，使ADBE，且ADC=90;在AD上取点F，使FD=BE，分别联结EF、ED、BD，试推断EF与BD之间具有怎样的位置关系。 3、已知：如

22、图，ABC中，B=20,C=40,D是BC上一点，BAD=90， 求证：BD=2AC 4、已知，如图在直角三角形ABC中，C=90，ADBC ，CBE=ABE 求证：ED=2AB 5、已知：如图，ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DC=BE,DGCE,垂足为G。 求证：1G是CE的中点； 2B=BCE 三、拓展与提高 小明是个爱思索的学生，他认真稳固了所学学问之后，想出了这样一个问题：假如一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？你能不能关心小明解决这个问题并赐予证明。 ：练习的设计留意层次性，分为对基本学问点的检测和定理的应用，其中定理的应用是

23、检测的重点，练习的选题着重检查学生对基本图形的把握和常规帮助线的添设，设置了提高题，对学有余力的学生供应了思索的空间。 2022-1-29 第四篇：含30度角的直角三角形的性质教案 含30度角的直角三角形的教学及反思 教学目标 一教学学问点 1探究觉察猜测证明直角三角形中有一个角为30的性质 2有一个角为30的直角三角形的性质的简洁应用 二实力训练要求 1阅历“探究觉察猜测证明的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的互相依靠和互相补充的辩证关系 2培育学生用规范的数学语言进行表达的习惯和实力 三情感与价值观要求 教学重点 1.激励学生主动参与数学活动，激发学生的新颖心和求知欲 2体验数学活动中

24、的探究与创新、感受数学的严谨性 含30角的直角三角形的性质定理的觉察与证明 教学难点 1含30角的直角三角形性质定理的探究与证明 2引导学生全面、周到地思索问题 教学方法：探究觉察法 教具准备两个全等的含30角的三角尺； 教学过程 一、提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今日我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系

25、？你能证明你的结论吗？ 二、导入新课 让学生阅历拼摆三角尺的活动，觉察结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探究出来的结论，还需要赐予证明 用含30角的直角三角尺能摆出了如下两个三角形，你能说出这两个图形特征吗？ 同学们从不同的角度说明白自己拼成的图1是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？ 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程。 已知： 求证： 证明： 这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看两个例题 1右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁

26、AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？ 2等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高 已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的长 三、展示平台 一基础部分 RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 二拓展提高 1已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求证：BD= AB 2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段 3在三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30写出

27、书知、求证和证明过程。 提示：可以从证明“在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半从帮助线的作法中得到启示 已知： 求证： 证明： 4已知，如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形 求证：AN=BM 5一个直角三角形房梁如下图，其中BCAC，BAC=30，AB=10cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分别是B 1、C1，那么BC的长是多少？ 四、作业： 五、学习反馈：本节课你学会哪些学问，请归纳出来，不少于50字。 反思： 本节课我接受从生活中创设情景的激发学生们的学习爱好，接受拼图形的方法创设问题的情景，引导学生自主探究活动，培育学生类比、猜测、论

28、证的探讨方法探讨问题，培育学生擅长动手、擅长视察、擅长思索的学习习惯。利用学生的新颖心设疑、解疑，组织活泼互助，有效的教学活动，激励学生主动参与，大胆猜测，细心验证。使学生在自主探究和合作沟通中理解和驾驭本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充溢师生之间，生生这间的沟通和互动，表达老师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 课堂起先通过回顾旧学问，抓信新学问的切入点，使学生进入一种“喜新不厌旧的境界，使他们有爱好进入数学课堂，为学习新学问做好准备。接下来让学生动手操作，并细心视察，大胆猜测。在这一环节上，呈现给学生一个实物，使学生获得直观感受。并引导学生给出证明，证明自己的猜

29、测的正确性。使学生懂得，即使是通过实践得出的结论，还需理论上赐予证明。在性质证明完毕后，缺乏对学生记忆性练习。 习题 1、2的设计是为了能让学生把理论学问付诸于实践，检验学生的学习效果，让学生分组练习，训练学生解决实际问题的实力，让学生在合作中沟通中完成任务，体会合作学习的乐趣。由学生讲解，我做必要的指导。 在运用符号语言的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现刚好做出评价，赐予激励。这样既调动了学生的学习爱好，也培育了学生的符号语言表达实力。 “展示平台及“拓展提高部分给学生一个充分展示自我的舞台，在情感看法和一般实力方面都得到充分进展，并从中了解数学的

30、价值，增进了对数学的理解。在这一环节，让学生起来回答下列问题的时候有点耽误时间。 本节课，我觉得基本上到达了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握的不错。在教学过程中，学生参与的主动性较高，课堂气氛比较活跃。其中还存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步的完善自己的课堂。 第五篇：解直角三角形的应用教案 解直角三角形的应用教案 教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。 2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。 教学重点： 将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际

31、问题转化为数学模型。 教学难点： 将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用 教学过程： 一、让学生回忆解直角三角形的根据和哪两种情形？ 根据：1.边的关系勾股定理2.锐角的关系互余3.边角关系锐角三角函数关系式 情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角， 二、练习干脆解直角三角形 试一试：如图，在RtABC中，已知C=90， (1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；已知两边 A (2)若AC=3, A=60,求BC；已知一条直角边和一个锐角 C (3)若AB=5，A=60,求BC.已知斜边和一个锐角 三、解斜三角形 变式：1如图1，在ABC中，B=45，C=30，AC=4，求AB。

32、 2图2 中，B=135，C=30，AC=4，求AB。 BA BB 图1 CC图2 A 四、 用解斜三角形解决实际问题 典型中考题赏析： 将实际问题化为解斜三角形 例：2022遂宁如图，某日在我国钓鱼岛旁边海疆有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?结果保存根号 方程思想的渗透 变式训练：假如将上题中“C在B的北偏东15方向改为“C在B的北偏东30方向,其它条件不变，你能解吗？ 小结：解决与斜三角形有关的实际问题 北450AC北300B的方东 法是构造可解的直角三角形 1形内构造 2形外构造 练习：如图，海岛A四周45海里四周内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60，航行18海里到C，见岛A在北偏西45，货轮接着向西航行，有无触礁的危险？ 教学反思： 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第31页 共31页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页