2023年初三数学竞赛辅导教程.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 1.1 因式分解 一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1.22222221cbcababcacabcba 2.111babaab 3.2222222cbabcacabcba（在已知cba和222cba时此公式常变形为22222cbacbabcacab）4.bcacabcbacbaabccba2223333 二、例题讲解 例1.已知 a、b、c 是ABC的三条边，且满足bcacabcba222，试判断ABC的形状.例2.若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，求这三个素数.（2015 大同杯第四题）例3.已知实数 a、b、c 满足0cba

2、，2220.1abc，求444abc 的值.（2003年宇振杯第 3 题）例4.已知0cba，0333cba，求证：0555cba 优秀学习资料 欢迎下载 三、练习题 1.已知整数 a、b 满足3031096baab，求ba 的值.2.已知121 ma，221 mb，3 mc，求bccacbaba222222的值.3.已知 a、b、c 是不全相等的实数，且0abc，abccba3333，求：（1）cba的值（2）abccabcba111111的值 4.化简：2232232babababbaa（2014 大同杯第 1 题）5.设非零实数 a，b，c 满足0432032cbacba，求222cba

3、cabcab的值.（2013 年全国初中数学联赛第一试第 1 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 6.已知正数 a、b、c 满足3acaccbbcbaab，求 111cba的值.7.已知：5cba，15222cba，47333cba，求222222acaccbcbbaba的值.（2016 全国初中数学联赛第二试 B组第 2 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载

4、已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 1.2 对称式与轮换对称式 一、定义 1.一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。例如，222xyxyxyxyzxyyzzxxy，都是对称式。2.如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。3.一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为n元交代式。例如，()()()xyxy xyyz zxxy，均是交代式。4.如果一个n元代数式，如果将字母12

5、nxxx，：以2x代1x，3x代2nxx，代11nxx，代nx后代数式不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，222()a xyz是对称式也是轮换式；222()b x yy zz x是轮换式，但不是对称式。二、例题讲解 例 1.已知，a，b，c 是ABC的边，且2212cca，2212aab，2212bbc，求此三角形的面积.例2.满足方程2014zyxzxyzxyxyz的非负整数解zyx,有几组？（2014大同杯第 4 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求

6、的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 例3.设 x、y、z 是三个互不相等的数，且xzzyyx111，求 xyz 的值.例4.x1、x2、y1、y2满足 x12+x22=2，x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3求 y12+y22的值.三、练习题 1.已知151 baab，171 cbbc，161 caac，求acbcababc的值.2.若数组（x，y，z）满足下列三个方程：1zyxxy，23zyxzx，3zyxyz，求 xyz 的值.3.已知 b0，且 a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求 a+b+c+d的最

7、大值 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 4.不定方程2222xyxyxy的整数(,y)x解共有几组？（2015 大同杯第 7 题）5.已知 bca2=5，cab2=1，abc2=7，求 6a+7b+8c 6.已知实数 a、b、c，且0b，若实数 x1、x2、y1、y2满足 x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c求 y12+ay22的值.（2007 新知杯第 5 题）个素数大同杯第四题的值例已

8、知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 1.3 高斯函数 一、定义 实数 x，用x表示不超过 x 的最大值整数，则 y=x称为高斯函数.二、例题讲解 例 1.x表示不大于x的最大整数，求方程27832xxx的所有实数解.（2006 新知杯第 6 题）例 2.对于正整数 n，设na是最接近n的整数，求2003211111aaaa（2017 全国数学联赛第一试第 6 题）例 3.给定正实数 a，对任意一个正整数 n，记 2nannf，这里，x表示不超过实数

9、 x 的最大整数。（1）若 55 f，求 a 的取值范围；（2）求证：1 anf（2012 新知杯 11 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 二、练习题 1.用 x表示不超过x的最大整数，把 xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，求ab121.（2016 全国数学联赛第一试第 1 题）2.如果 a 为任意实数，用a表示不大于 a 的最大整数，例如-5=-5，-2,3=-3，3=1，设

10、x、y 满足方程16 2 32 2yxyx，求x+y.3.用 x表示不超过x的最大整数，求方程 2552xxx的所有实数解.4.设 x表示不超过实数x的最大整数，121234123456.112222333333S ，直至2016 项，其中分母为k的一段共有2k项122,.,kkkk ，只有最后一段可能不足2k项，求S的值.（2016 大同杯第 6 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 5.设 x表示不超过实数x的最大整

11、数，正整数 n 小于 100 且满足nnnn632，这样的正整数 n 有几个？（2000 年全国初中数学联赛第一试第 4 题）6.设 t表示不超过t的最大整数，令 ttt.已知实数x满足18133xx，求 xx1.（2014 全国初中数学联赛第 5 题）7.设 x表示不超过实数x的最大整数，求方程2x-8x+7=0的所有解的平方和 8.求满足不等式nnnnn131132的最大正整数n，其中 x表示不超过实数x的最大整数.（2008 新知杯第五大题）1.4 概率 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简

12、称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 一、基本概念 1.排列（1）排列的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(m n）个元素按照一定的顺序排成一列。（2）排列的计算公式：121!mnnnnmnnPmn；使用计算器时先输入 n 的值，然后按 P 按钮，再输入 m 的值。2.组合（1）组合的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(m n）个元素并成一组。组合与排列的区别是组合是无序的，而排列是有序的。（2）组合的计算公式：!mnmnmPCmnmn；使用计算器时先输入 n 的值，然后按 C按钮，再输入 m 的值。二、例题讲解 例 1.有编号分别为去 1,2,3,4

13、,5,6,7 的 7 个大小相同的小球，从中任取 3 个小球，求取出的 3个小球的编号和为奇数的概率.（2015 大同杯第 2 题）例2.从三边长均为整数且周长为 24 的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.（2015全国初中数学联赛第一试填空第 2 题）例3.三对夫妻排成一排照相，求仅有一对夫妻相邻的概率.三、练习题 1.同时投掷两颗骰子，P（a）表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 a 的概率，求 P（1）+P（2）+P（3）+P（4）+P（5）的值.（2012 新知杯第 2 题）2.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，求抽出卡片的编号都个素数大同杯第四题的值例已

14、知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 大于等于2的概率.（2011 新知杯第 3 题）3.6 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，求这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率.（2014 全国初中联赛第一试第 4 题）4.从正 12 边形的顶点中取出 4 个顶点，求它们两两不相邻的概率.5.某校初三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的

15、方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）且二班的 2 位同学没有被排在一起的概率是多少？6.已知 5 件产品中有 3 件合格品，2 件次品。每次任取一个检验，检验后不再放回，求恰好经过 3 次检验找出 2 件次品的概率.1.5 单元测试一 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 一、填空题 1.从 1 到 9 这九个数字中任取两个数，它们的乘积是偶数的概率是_ 2.已知1cbba，则acbc

16、abcba222的值为_ 3.用 x表示不大于x的最大整数，则方程22 30 xx 的解的个数为 _ 4.若实数 a，b，c 满足9222cba，代数式 222accbba的最大值是_ 5.用 x表示不超过x的最大整数，已知方程143x=x 3，那么满足方程的 x 是_ 6.若实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10，则 y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 7.设 x表示不大于x的最大整数，如 3.23.833，若 22221111234.1523415S，则 S 8.已知10 a，且183029302301aaa（

17、x表示不超过x的最大整数），则 a10=_ 二、解答题 9.已知 a、b、c0，求证：a3+b3+c3 3abc 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 10.设 a，b，c，d 是四个整数。且使得22222241dcbacdabm是一个非零整数，求证：m一定是合数.11.（1）用 x表示不超过x的最大整数，对于任意实数x，求证：xxx221（2）求21220102122010212201020102M的值 12.试确定一切有

18、理数 r，使得关于 x 的方程 02322rxrrx有根且只有整数根.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 2.1 不定方程 一、例题讲解 例 1.求满足方程 33222yxyx的所有实数对 yx，.（2010 新知杯第 2 题）例 2.不定方程2222xyxyxy的整数(,y)x解共有多少组？（2015 大同杯第 7 题）例 3.求方程431112xyyx的整数解 yx,.（2000 弘晟杯第 8 题）二、练习题 1.求不

19、定方程025yxx的整数解 2.方程 xyz=2009 的所有整数解有多少组？（2009 新知杯第 8 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.方程4132ba，a、b都是正整数，求该方程的正整数解.4.已知正整数,a b c满足:1abc ，111abc ，2bac，求b.（2015 全国初中数学联赛填空第 4 题）5.已知三整数a、b、c之和为 13 且bcab，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值.6

20、.已知k为整数，若关于x的二次方程01322xkkx有有理根，求k值.7.已知正整数 a，b，c 满足2220 abc，2380 abc，求abc的最大值.（2013全国数学联赛第一试填空第 8 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 2.2 特殊方程（组）的解法 一、例题讲解 例 1.已知a是不为 0 的实数，求解方程组：axyxyayxxy1（2013 新知杯第 10 题）例2.设a、b、c均为非零数，解方程组：caa

21、ccbbcbaab432 例 3.关于zyx、的方程组632,23zxyzxyazyx有实数解),(zyx，求正实数a的最小值（2006 新知杯第三题）例4.解方程：xxxxx31372722 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 例5.解方程：657453321xxxxx 二、练习题 1.已知实数fedcba、满足如下方程组.6402,3202,1602,802,402,202fedcbafedcbafedcbafedcb

22、afedcbafedcba，求abcdef的值.（2006 新知杯第 2 题）2.解方程：013461210522yxxyyx 3.解关于 x 的方程：xxxaxxxx1（2014 大同杯第 9 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 4.解方程组：6253cbdabacdadbcdcab（2012 新知杯第 10 题）5.解方程：xxxxx71357139722 6.解方程组：111211131114xyzyzxzxy

23、个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 2.3 韦达定理 一、例题讲解 例 1.已知二次函数axxy2的图像与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 5，则a的取值范围.（2006 新知杯第 4 题）例 2.已知 a，b，c，d 四个不相等的实数，满足 c，d 是方程0982baxx的两实根，a，b 是0982dcxx的两实根，求 a+b+c+d.（2017 大同杯第 8 题）例 3.整数qp，满足2010 qp，且关于x

24、的一元二次方程0672qpxx的两个根均为正整数，求p.（2010 新知杯第 7 题）例 4.已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b，是否存在另一个矩形 A B C D，使它的周长和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的31？证明你的结认论。（2005 宇振杯第二题）例5.设实数,a b满足22(1)(2)40abb ba，(1)8a bb ，求2211ab的值（2014全国数学联赛第三题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料

25、欢迎下载 二、练习题 1.在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边顺次为 a、b、c，若关于 x 的方程 0122122xabxxc的两根平方和为 10，求ab的值.（2007 新知杯第 3 题）2.已知关于 x 的方程 02232234kxkxkxx有实根，并且所有实根的乘积为 2，求所有实根的平方和.（2009 新知杯第 4 题）3.设 a，b 是方程01682 xx的两个根，c，d 是方程01862 xx的两个根，求 dbdacbca的值.（2009 新知杯第 6 题）4.已知 a，b，c，d 四个不相等的实数，满足 a，b 是011102dcxx的两实根，c，d 是方程011102b

26、axx的两实根，求 a+b+c+d.（2017 大同杯静安区初赛第 9 题）5.设二次函数2yxbxc的图象过两点 P(1,)a，Q(2,10)a且与x轴的交点为 A、B，与y轴的交点为 C.如果关于x的方程20 xbxc 的两个根都是整数，求ABC 的面积.（2010 全国数学联赛第二试第三题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 2.4 单元测试二 一、填空题 1.实数54321,xxxxx满足方程组.;52154154

27、354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,用“”号连接54321,xxxxx：_ 2.如果方程0012ppxx的两根之差等于 1，那么 p=_ 3.如果1yxxy，2zyyz，3xzzx，那么zyx111=4.实数 x，y 满足1yx，且04522yxxyx，则 x+y=_ 5.已知 x、y 是正整数，并且23yxxy，12022 xyyx，则22yx=_ 6.在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线kkxyxy和3的交点为整数时，k可以取的值有_个 7.若实数 x、y 满足163433333

28、yx，165453333yx，则 x+y=_ 8.已知,a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)a b共有_对 三、解答题 9.已知 a，b，c 满足方程组：482882ccabba，求方程02acxbx的根.10.设关于 x 的二次方程 4462862222kxkkxkk的两根都是整数 求满足条件的所有实数 k 的值 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 11.已知a是正整数，如果关于x的方程

29、 321738560 xaxa x 的根都是整数，求a的值.12.已知实数 m、n 满足05232 mm和03252 nn，求nm1的值.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.1 基本不等式 一、基本概念与公式 1.基本不等式：当 a0，b0 时，abba2，当且仅当 ab 时取等号 2.文字描述：设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为2ba，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几

30、何平均数 3.公式变形（1）实数 a、b，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号；（2）实数 a、b 同号时，baab2，当且仅当 ab 时取等号；（3）实数 a、b，22 baab，当且仅当 ab 时取等号；（4）实数 a、b，22222 babaa2b22，当且仅当 ab 时取等号 4.注意点（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”二、例题讲解 例1.若正数 x、y、z 满足 xyz(x+y+z)=4，求(x+y)(y+z)的最小可能值.（2002 宇振

31、杯第 9题）例2.已知 x，y 为非负实数，满足231614122yx，求 xy 的最大值.（2017 大同杯第 10 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 例3.设a是给定的正实数，n 是给定的大于 1 的整数，实数123,nx xxx 满足2222123nxxxxa ，求 2222212131232()()()()()nnxxxxxxxxxx 21()nnxx 的最大值.（2015 大同杯第 8 题）例4.如图，在

32、RtABC中，C=90，BC=2，AC=x，点 F在边 AB上，点 G、H在边 BC上，四边形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形，且 AE=AC.（1）求 y 关于 x 的函数关系式（2）当 x 取何值时，y 取得最大值？并求出 y 的最大值.（2007 新知杯第二题）三、练习题 1.已知 x0，y0，且 2xy1，求1x1y的最小值.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 2.设 ab0，求 a21ab1a ab的最小值

33、.3.已知90BAC，四边形ADEF是正方形且边长为 1，求CABCAB111的最大值.（2013 新知杯第 9 题）4.若正数 a，b 满足1ab，求baM21111的最小值.（2015 全国数学联赛第二试 B组第一题）5.设实数1a，0b，且满足1baab，求2bbab的最大值.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.2 函数的最值 一、例题讲解 例 1.将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e

34、，f，g，h，使得 22hgfedcba的值最小，求这个最小值.（2011 新知杯第4 题）例 2.已知实数 x，求112xxx的最小值.（2017 大同杯第二题）例3.已知实数 x，y 满足 xy-x-y=1，求22yx 的最小值.（2015 全国数学联赛 A组第一试第 5题）例4.已知非负实数,x y z满足1xyz ，求22txyyzzx的最大值.（2014 全国数学联赛第一试第 2 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢

35、迎下载 二、练习题 1.不等式axx622对于一切实数x都成立.则实数a的最大值.（2008 新知杯第 2题）2.已知实数 x,y 满足122yxyx，求 2yx的最大值.（2015 全国数学联赛 B 组第一试第 4 题）3.已知实系数一元二次方程 ax2+2bx+c=O 有两个实根 x1、x2，若 abc，且 a+b+c=0，求d=|x1-x2|的取值范围（2004 宇振杯第 9 题）4.设实数,x y z满足1,xyz 1 求则23Mxyyzxz的最大值.（2016 全国数学联赛第一试第 6 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已

36、知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.3 二次函数 一、例题讲解 例 1.若实数,a b c使得二次函数2()f xaxbxc当01x 时，恒有|()|1f x,求|abc的最大值.（2016 大同杯第 7 题）例2.已知,a b c d为四个正的常数，则当实数,x y满足221axby时，求2cxdy的最小值.（2016 大同杯第 8 题）例3.已知二次函数axxy2的图像与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 5，求a的取值范围.（2006 新知杯第 4 题）例4.某 学 生为 了描 点 作出函 数 y

37、=ax2+bx+c(a0)的 图 象，取自 变 量的 7 个值：127xxx，且213276xxxxxx ，分别算出对应的y的值，列出下表：x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由.（2003 宇振杯第四题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 二、练习题 1.已知点0.8,4.13

38、2,1.2,1.948,2.8,3.932ABC在二次函数2yaxbxc的图像上，则当图像上的点D的横坐标1.8x 时，求它的纵坐标y的值.（2016 大同杯第 3题）2.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，求ab的值.（2016 全国数学联赛 B组第一试第 3 题）3.已知关于正整数 n 的二次式 y=n2+an(a 为实常数)若当且仅当 n=5 时，y 有最小值，求实数 a 的取值范围（2002 宇振杯第 4 题）4.抛物线顶点A在x 轴上交y 轴于C，AC=22，cbxaxy2，有02 acb，txy过点 A且交抛物线于另一点 B，

39、求 B点坐标.（2017 大同杯徐汇区初赛第 6 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.4 单元测试三 一、填空题 1.若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为_ 2.抛物线52122axaxy与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，那么 a的取值范围是 3.设 a，b 都 是 实 数，函 数 212xbaxxf，若 对 任 意 实 数 b，方 程 xxbax212有两个相异的实根，则实数 a 的

40、取值范围为_ 4.当 x0 时，则 f(x)2xx21的最大值为_ 5.若0 x,则xxxx44211的最大值是_ 6.当61 x时，函数12 xxxy的最大值是_ 7.设 x 为正数，则函数xxxy12的最小值是_ 8.二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于 A，B两点，与y轴正方向交于点 C 已知ACAB3，30CAO，则c _ 二、解答题 9.直角三角形斜边为 c，直角边为 a、b，求证：cba2.10.设 A、B 是抛物线2422xxy上的点，原点是线段 AB的中点，求 A、B 两点的坐标.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载

41、已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 11.a、b、c 为实数，0ac，且0532cba，证明：关于 x 的方程02cbxax有大于43而小于 1 的根.12.如图，抛物线y 23axbx，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点 C，且 OBOC3OA直线113yx 与y轴交于点 D求DBC CBE 个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料

42、欢迎下载 4.1 相似三角形 一、例题讲解 例1.如图，在凸四边形 ABCD中，已知ABC+CDA=300，ADBCCDAB，求证：BDACCDAB.（2014 大同杯第 10 题）例 2.如图，在正ABC的边BC、CA上分别有点E、F，且满足BECFa，ECFAbab，当BF平分AE时，求ab的值为（2011 新知杯虹口区初赛）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 例 3.如图，梯形 ABCD中，ABCD，AC，BD相交于

43、点 OP，Q 分别是 AD，BC上的点，且APB=CPD，AQB=CQD 求证：OPOQ（2012 全国数学联赛第 13 题）二、练习题 1.已知FEACABA、，,8,690在AB上且3,2 BFAE过点E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，求GF.（2013 新知杯第 3 题）2.已知梯形ABCD中，AB/CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，求梯形ABCD的面积.（2011 年新知杯第 2 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多

44、项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 3.直角三角形斜边AB上的高3CD，延长DC到P使得2CP，过B作APBF 交CD于E，交AP于F，求DE.（2013 新知杯第 8 题）4.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，求DM的长.（2016 全国数学联赛第一试第 5 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 4.2 梅涅劳斯定理 一、定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理：

45、一直线分别截ABC的边 BC、CA、AB（或其延长线）于 D、E、F，则1FBAFEACEDCBD。二、例题讲解 例 1.如图，在四边形 ABCD 中，ABD、BCD、ABC 的面积之比是 341，点 M、N 分别在 AC、CD 上，满足 AMAC=CNCD，且 B、M、N 三点共线求证：M 与 N 分别是 AC 和 CD 的中点.例2.直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在 AK上，D 是 AC的中点，F是 DE与 CK的交点.求证：/BFCE.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元

46、对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 三、练习题 1.过ABC的重心 G 的直线分别交 AB、AC于 E、F，交 CB延长线于 D，求证：1FACFEABE 2.在ABC中，点 M和 N顺次三等分 AC，点 X和 Y顺次三等分 BC，AY与 BM，BN分别交于点 S，R，求四边形 SRNM 与ABC的面积之比。3.已知ABC的重心为 G，M 是 BC边的中点，过 G 作 BC边的平行线交 AB边于 X，交 AC边于 Y，且 XC与 GB交于点 Q，YB与 GC交于点 P，证明：MPQABC.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求

47、证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 4.3 正、余弦定理 一、定理 1.正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）面积公式：CabSsin21 诱导公式：sinsin 2.余弦定理：Cabbaccos2222 变形：abcbaC2cos222 二、例题讲解 例1.已知ABC中，AB=2，AC=3，点 D、E在边 AC、AB上，且ABD=4 DBC，ACE=4 ECB，CEABBDAC，求ABC的面积.（2017 大同杯第 6 题）例2.在等腰直角三角形ABC中

48、，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，求边AC的长.（2011 新知杯第 6 题）例3.已知点P是ABC内一点，使得PABPBCPCA .求证：22221111sinsinsinsinABC.个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 三、练习题 1.设P是正方形内部一点，P到顶点A、B、C的距离分别是1、2、3，求正方形的面积.2.在ABC的AC及BC边上分别取点X、Y，使ABXYAC，AYBBXC，XC

49、YB，求证：ABC为正三角形.3.ABC中，B=60，A=20，求BCAC1.（2017 大同杯徐汇区初赛第 8 题）个素数大同杯第四题的值例已知实数满足年宇振杯第题求例已知求证优全国初中数优秀学习资料欢迎下载已知正数满足值求的已知求的值全国元对称式简称对称式例如都是对称式如果一个多项式的各项的次数均等优秀学习资料 欢迎下载 4.4 单元测试四 一、填空题 1.如下左图，ABEFCD，已知 AB=20，CD=80，那么 EF的值是_ 2.如上右图，正方形 OPQR内接于ABC 已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形 OPQR的边长是_ 3.在ABC 中，已知

50、(bc)(ca)(ab)456，则 sin Asin Bsin C 等于_ 4.在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且 AB7，AC8，则 BC_ 5.在ABC 中，已知面积 S14(a2b2c2)，则角 C 的度数为_ 6.AC、CE是正六边形 ABCDEF 的两条对角线，点 M、N 分别在 AC、CE上，使 AM：AC=CN：CE=r，如果 B、M 和 N 三点共线，那么 r=_ 7.如下左图，一个边长为 3、4、5 厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边 AD、DC上，那么这个正方形的面积是_厘米2 A E2 F2 E1 F1 B P1 P2