2023年勾股定理经典试卷(最新版)及标准超详细解析超详细解析答案.pdf

《2023年勾股定理经典试卷(最新版)及标准超详细解析超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年勾股定理经典试卷(最新版)及标准超详细解析超详细解析答案.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、勾股定理经典题目及答案 2 作者：日期：在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 3 勾股定理 1勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线

2、段）等辅助线构造直角三角形.2勾股定理的逆定理是把数的特征（a2b2=c2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.ABC 中 CRta2b2=c2 3为了计算方便，要熟记几组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；9、40、41.4勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角

3、三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；5勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k,212k,212k是一组勾股数。如果 k 是大于 2 的偶数，那么 k,122 K,122 K是一组勾股数。如果 a,b,c 是勾股数，那么 na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。典型例题分析 例 1 在直线 l 上依次摆放着七个正方

4、形(如图 1 所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4=_ 在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 4 依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为 a、b、c、d 则有 a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2

5、=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4 例 2 已知线段 a，求作线段5a 分析一：5a25a224aa 5a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a2492aa 5a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 3 如图：(1)以 RtABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以 RtABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1，S2，S3之间有何关系？(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边

6、翻折 180，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)分析：(1)中 S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。所以根据勾股定理可得出 S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3 (2)类似于(1)：S1+S2=S3 ABC-S3 (3)图中阴影部分的面积是 S1+S2+S S阴影=SABC 在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和

7、判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 5 例 4.如图 3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为 507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以 S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴 从而有 3S阴=507，即 S阴=169(cm2)最大的正方形的边长为 13cm 例 5 图(7)中，若大正方形 EFGH 的边长为 1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形 ABCD 仍为正

8、方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的 5/9 (3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为 a，b 且 ab，则 将正方形 EFGH 的边长三等分，使 顺次连结 A、B、C、D，所得正方形 ABCD 的面积即为原正方形面积的，只要剪去ABE，BCF，CDG，DAH 即可。二、要学会用方程观点解题 例 6.已知：如图 7，ABC 中，AB=3，BC=4，B=90，若将ABC折叠，使 C 点与 A 点重合，求折痕 EF 的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连 AF。由已知，可得，因此欲求 EF，只要求 AF 的长。设 AF=x，则 FC=x，BF=4-x 只要利用 RtABF 中，

9、AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程 x2-(4-x)2=9，问题就可以解决 例 7.在 RtABC 中，C=90，若 a，b，c 为连续整数(ab0，只有 x=4 a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12 例 8.已知：如图 8，ABC 中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC 的面积。分析：为了求ABC 的面积，只要求出 BC 边上的高 AD 若设 BD=x，则 DC=21-x，只要利用 AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出 x 的值 问题就能解决 例 9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：(1

10、)用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出 OA10的长；(3)求出 的值。答案 (1)例 10.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDACBD,求证：ABAC 证明：设 AB，AC，BD，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m,c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)(c-b)(c+b)(c-b)(m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n,c-b=0 即 c=b ABAC cbnmABCD在几何问题中为了

11、使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 7 例 11.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH32 求：ab的值 解：根据勾股定理 a2+b2=EF2SEFGH32 ;4SAEFSABCDSEFGH 2ab=31 得（a-b）2=31 ab33 例 12.已知ABC 中，ARt，M

12、是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC，MEMF 求证：EF2BE2CF2 答案.延长 EM 到 N，使 MNEM，连结 CN，显然MNC MEB，NCBE，NFEF(11)BACMFE 例 13.RtABC 中，ABC90，C600，BC2，D 是 AC 的中点，从 D 作 DEAC与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。(12)ABCEFD 答案与提示：.可证 DFDE23 （选讲）例 14 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要

13、爬行的最短路程是多少?ABCDFGHEBCAACBA在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 8 答案2210)2(练习 1 在边长为整数的ABC 中，ABAC，如果 AC=4，BC=3，求 AB 的长.分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从 AC AB AC+BC 知：4 AB7，得 AB 为 5

14、或 6.2 如图，在等腰ABC 中，ACB=90，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。ECABDFECABD 分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。3 如图，在A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D=。答案 12。ABCD 4 如图，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分AFC 的面积是 。EFDBCA 设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以 42+x2=(8-x)2,

15、解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10 在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边 9 5 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形.现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米?答案 AB=5 ACB 6 在ABC 中，AB=15,AC=20,BC 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长.答案 25 或 7 7 在A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC 的面积。答案 84 或 36 BCADCBADBCADCBAD在几何问题中为了使用勾股定理常作高或垂线段等辅助线构造直角三角形勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的键是挖掘直角这个隐含条件中为了计算方便要熟记几组勾股数勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一一般地计算的判定直角三角形和判定直角的利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形一般步骤是确定最大边算出最大边