2023年初中数学函数知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法 初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时 函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。一、一次函数 1.定义：在定义中应注意的问题 ykxb 中，k、b 为常数，且 k0，x 的指数一定为 1。2.图象及其性质 （1）形状、直线 （）时，随 的增大而增大，直线

2、一定过一、三象限时，随 的增大而减小，直线一定过二、四象限200kyxkyx （）若直线：3111222lyk xblyk xb 当时，；当时，与 交于，点。kkllbbbllb121212120/()（4）当 b0 时直线与 y 轴交于原点上方；当 b0，则x=0时，y最小=0 若a0，则x0时，y随 x 增大而增大 若 a0时，y随 x 增大而减小(2)y=ax2+c(0，0)直线x=0(y轴)若a0，则x=0时，y最小=0 若a0，则 x0时，y随 x 的增大而增大 若a0时，y随 x 的增大而减小(3)y=a(xh)2(h，0)直线x=h 若a0，则x=h时，y最小=0 若a0，则 x

3、h时，y随 x 的增大而增大 若ah时，y随 x 的增大而减小 表达式 顶点坐标 对称轴 最大（小）值 y 随 x 的变化情况(4)y=a(xh)2+k(h，k)直线x=h 若a0，则x=h时，y最小=k 若a0，则 xh时，y随 x 的增大而增大 若ah时，y随 x 的增大而减小(5)y=ax2+bx+c(ba2，442acba)直线x=ba2 若a0，则x=ba2时，y最小=442acba 若a0，则xba2时，y 随 x 的增大而增大 若aba2时，y 随 x 的增大而减小 4.应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系

4、1.坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2.各象限点的坐标的符号；3.坐标轴上的点的坐标特征 4.点 P（a，b）关于原点轴轴yx 对称点的坐标),(),(),(bababa 二、函数的概念 1.概念：在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法；（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法【思想方法】数形结合 一次函数图象和性质【知识梳理】1正比例函数的一般形式是 y=kx(k0)，一次函数的一般形式是 y=kx

5、+b(k0).2.一次函数ykxb的图象是经过（kb，0）和（0，b）两点的一条直线.3.一次函数ykxb的图象与性质 【思想方法】数形结合 反比例函数图象和性质【知识梳理】1反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y 或 （k为常数，k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数 2.反比例函数的图象和性质 3k的几何含义：反比例函数 ykx(k0)中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线 ykx(k0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 .【思想方法】数形结合 k、b 的符号 k0，b0 k0，b0 k0，b0

6、 k0，b0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大而而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 k 的符号 k0 k0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内,y 随 x 的增大而 在每一象限内,y 随 x 的增大而 o y x y x o y x O 二次函数图象和性质【知识梳理】1.二次函数2()ya xhk的图像和性质 a0 a0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x 时，y 有最 值 当 x 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随

7、 x 的增大而 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 锐角三角函数 【思想方法】1.常用解题方法设 k 法 2.常用基本图形双直角【例题精讲】例题 1.在ABC 中，C=90 （1）若 cosA=12，则 tanB=_;（2）若 cosA=45，则 tanB=_ 例题 2.（1）已知：cos=23，则锐角 的取值范围是（）A030 B4560 C3045 D6090 （2）当 45cossin Bsincostan Ctansincos Dsin tan cos 一次函数 考点回顾:1、形如 ykxb（k，b 为常数，且 k0）的函数叫一次函数正比例函数也是一次函数 2、一

8、次函数的图象是一条过，（0，b）的直线 3、一次函数的性质：当 k0时，y 随 x 的增大而增大；当 k0时，y 随 x 的增大而减小 4、会用待定系数法求一次函数的解析式 考点精讲精练：1、一次函数的图象如图所示，求其解析式 变式练习1、若直线 ykxb 与直线 y3x 平行，且过点（1，1），求 k，b 的值 2、若一次函数 y（12k）xk 的函数值 y 随 x 的增大而增大，且此函数图象过一、三、四象限，则 k 的取值范围是（）A B C D 变式练习2、下列图象中，不可能是关于 x 的一次函数 ymx（m3）的图象的是（）3、如图，设函数 yx4的图象与 y 轴交于点 A，函数 y3

9、x6的图象与 y 轴交于点 B，两个函数的图象交于点 C，求通过线段 AB的中点 D 及点 C的一次函数的解析式 变式练习3、若直线 ykxb 与直线 y3x 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的解析式 4、一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（升）与时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过几分钟，容器中的水恰好放完？5、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价为60元，乒乓球每盒定价为10元世乒锦标赛期间，两家商

10、店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓球 x 盒，所需商品在甲商店购买需用 y1元，在乙商店购买需用 y2元 （1）请分别写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式（不必注明 x 的取值范围）；（2）试说明在哪一家商店购买所需商品较便宜？反比例函数 考点回顾：1、一般地，形如 y(k 是常数,k0)的函数叫做反比例函数 反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y（k0），（B）xy k（k 0），（C）ykx1（k0）.2、反比例函数的图象和性质：（1）反比例函数的图象是双曲

11、线当 k0时，双曲线分别位于第一、三象限；当 k0时，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0)与反比例函数的图象相交于 A、C两点，过 A作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连接 BC，求ABC的面积 4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（）变式练习4 某空调厂的装配车间计划组装9000台空调：（1）从组装空调开始，每天组装的台数 m（单位：台/天）与生产的时间 t（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）原计划用2个月时

12、间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？5、如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数的图象相交于 A、B两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围.变式练习5 如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，与反比例函数的图象交于 C、D 两点，如果 A点坐标为（2，0），点 C、D 分别在第一、三象限，且 OAOB，点 C的横坐标为4.求：（1）一次函数的关系式；（2）点 C的坐标；（3）反比例函数的关系式；（4）点 D

13、的坐标；（5）请观察图象回答：当 x 取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.二次函数（一）考点回顾：1、二次函数的概念 一般地，形如 yax2bxc（a，b，c 是常数，a0）的函数叫做二次函数 2、二次函数的图像与性质 （1）二次函数 yax2bxc（a0）的图像是一条抛物线，当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：ya(xh)2k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与 x 轴交点的

14、横坐标 解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式 4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系 考点精讲精练：1、二次函数 y4x22x的对称轴是直线_ 变式练习1 1、抛物线 y(x2)23的对称轴是（）A直线 x3 B直线 x3 C直线 x2 D直线 x2 2、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2、将 y3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_ 变式练习2 1、把抛物线 y3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）Ay3(x3)22 By3(x3)22 Cy3

15、(x3)22 Dy3(x3)22 2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则 b _，c_ 3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_象限 变式练习3 在同一坐标系中，一次函数 yaxb 和二次函数 yax2bx 的图象可能为（）4、已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标 变式练习4 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，4），且过点 B（3，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平

16、移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标 5、函数 yax2bxc 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2bxc30的根的情况是（）二次函数（二）考点回顾：二次函数的应用一般可分为：（1）在代数中的应用；（2）在几何中的应用；（3）在实际问题中的应用 考点精讲精练：1、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是，请回答下列问题

17、（1）柱子 OA的高度为多少米？（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外 变式练习1 某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式（0t2），其中重力加速度 g 以10米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v020米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S

18、（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？变式练习2 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由