2023年文科高考数学复习最全面精品资料.pdf

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1、文科高考数学复习资料 第一章 集合 一 定义 集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二 集合的抽象表示形式 用大写字母 A，B，C表示集合；用小写字母 a，b，c表示元素。三 元素与集合的关系 有属于，不属于关系两种。元素 a 属于集合 A，记作aA；元素 a 不属于集合 A，记作aA。四 几种集合的命名 有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或 N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五 集合的表示方法(一)

2、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：a,b,c。注意：但凡以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二)描述法：有以下两种描述方式 1代号描述：【例】方程2x3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为x|x2-3x+2=0。x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】大于 2 小于 5 的整数；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集：如果属于 A 的所有元素都属

3、于 B，那么 A 就叫做 B 的子集，记作：AB，如图 1-1所示。图 1-1 子集有两种极限情况：(1)当 A 成为空集时，A 仍为 B 的子集；(2)当 A 和 B 相等时，A 仍为 B 的子集。真子集：如果所有属于 A 的元素都属于 B，而且中至少有一个元素不属于 A，那么 A叫做 B 的真子集，记作AB或AB。真子集也是子集，和子集的区别之处在于AB。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由 n 各元素组成的集合，有 2n个子集，有 2n-1个真子集；(2)空集的考查：但凡提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，AB的等价形式主要

4、有：BBAABA，。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作BA，读作 A 交 B，如图 1-2所示。图 1-2 图 1-3 图 1-4 3并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作BA，读作 A 并 B，如图 1-3所示。4补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作UC A，读作 A 补，如图 1-4所示。德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.(四)区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于

5、或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3 第二章 函数 一 映射与函数的根本概念 (一)映 射 A 集合中的每个元素按照某种对应法那么在 B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从 A 集合到 B 集合的映射。A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。在 A 到 B 的映射中，从 A 中元素到 B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图 2-1是映射 图 2-2是一一映射 图 2-3不是映射()求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到 n 个元素的集合的映射的个数是 nm。()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二)函数的概念 定义

6、域到值域的映射叫做函数。如图 2-4。高中阶段，函数用 f(x)来表示：即 x 按照对应法那么 f 对应的函数值为 f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域 A：x 取值范围组成的集合。值域 B：y 取值范围组成的集合。对应法那么 f：y 与 x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值 y 都能找到相应的自变量 x与其对应。图 2-4 二 定义域题型 (一)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式 直接考查：主要考解不等式。利用：在()f x

7、中()0f x；在()()g xf x中，()0f x；在log()af x中，()0f x；在tan()f x中，()2f xk；在0()fx中，()0f x；在 xa与logax中0a 且1a，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法那么相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三 值域题型 (一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域：四种题型(1

8、)cxdyaxb(0)a ：那么cya且yR。(2)(2)cxdyxaxb：利用反表示法求值域。先反表示，再利用 x 的范围解不等式求y 的范围。(3)2223261xxyxx：(21)(2)21()(21)(31)312xxxyxxxx，那么1y13y 且且yR。(4)求2211xyxx 的值域，当xR时，用判别式法 求值域。2211xyxx 2(2)10yxyxy ，2(2)4(1)0yy y 值域(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性局部知识讲解。(五)

9、原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六)值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与值域对照求字母取值或范围。四 函数运算法那么 一 指数运算法那么 mnm naaa mnm naaa ()mnmnaa ()mmma bab 运用指数运算法那么，一般从右往左变形。二 对数运算法那么 同底公式：logabab logloglog()aaaMNMN logloglogaaaMMNN loglognaaMnM 运用对数运算法那么，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：logloglogmamNNa loglogm

10、naanbbm 1loglogabba 运用对数运算法那么，不同底的情况，先变成同底。五 函数解析式 (一)换元法：如 f(2x+3)=x2+3x+5，求 f(3-7x)，(设 2x+3=3-7t)。(二)构造法：如221)1(xxxxf，求 f(x)。(三)待定系数法：通过图像求出 y=Asin(x+)+C 中系数(四)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五)求原函数的反函数：先反表示，再 x、y 互换。六 常规函数的图像 常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针旋转，底数越来越大 底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶

11、性确定。七 函数的单调性(一)定义：在给定区间范围内，如果 x 越大 y 越大，那么原函数为增函数；如果 x 越大 y 越小，那么原函数为减函数。(二)单调性题型：1.求单调性区间：先找到最根本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法：211x：当 0 x 1 时，x，x2，-x2，1，1 2.判断单调性 (1).求导函数：()0fx 为增函数，()0fx 为减函数(2).利用定义：设 x1x 0 时，有 22xaxaaxa .22xaxaxa 或xa.无理不等式：(1)()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.(2)2(

12、)0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.(3)2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x (三)指数不等式 对数不等式 不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。(1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 三 线性规划 线性规划，出题现象如下

13、：设变量,x y满足约束条件1,1,33,xyxyxy 那么目标函数4zxy的最大值为 )A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤：1把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，标明直线序号 2依据以下结论确定平面区域：()yf x是点在直线上方包括直线 ()yf x是点在直线下方包括直线；()yf x是点在直线上方不包括直线()yf x是点在直线下方不包括直线 3确定目标函数函数值的几何意义 41假设目标函数值 z 表示截距，在区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。2假设目标函数z 表示距离或者距离的平方，精确作

14、图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。3假设目标函数z 表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。第七章 直线和圆的方程 一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其 中 直 线 与x轴 平行 或 重 合 时，其 倾斜角 为 0，故 直 线 倾斜角 的 范 围 是)0(1800.注：当90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应

15、确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax.注：假设232xy是一直线的方程，那么这条直线的方程是232xy，但假设)0(232xxy那么不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点0，b的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直

16、线.在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或无视其中任一个“前提都会导致结论的错误.一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，那么1l212kkl，且21bb 或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC 推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,那么1l212l.两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，那么有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在.0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在.即01221BABA是垂直的充要条件 4

17、.直线的交角：直线1l到2l的角方向角；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，那么有21121tankkkk.5).过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内 6.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCBy

18、Axl,0:到l的距离为d，那么有2200BACByAxd.注：1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(|yyxxPP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：22|OPxy 2.定 比 分 点 坐 标 分 式。假 设 点 P(x,y)分 有 向 线 段1 212PPPPPP所成的比为 即,其 中P1(x1,y1),P2(x2,y2).那么 1,12121yyyxxx 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角0180、斜率:tank 4.过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：.12(

19、)xx 当2121,yyxx即直线和 x 轴垂直时，直线的倾斜角90，没有斜率王新敞 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，那么有2221BACCd.注；直线系方程 1.与直线：Ax+By+C=0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m R,Cm).2.与直线：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m R)3.过定点x1,y1的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4.过直线 l1、l2交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0(R

20、 注：该直线系不含 l2.7).关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：假设两条直线平行，那么对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.假设两条直线不平行，那么对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，那么中点在对称直线上方程，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直方程可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y 换 x，x 换 y.例：曲线 f(x,y)=0关于直线 y=x 2 对称曲线方程是 f(y+2,x 2)=0.曲线 C:

21、f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线方程是 f(a x,2b y)=0.二、圆的方程.1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线图形.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，那么点 P0(x0,y)线 C 上的充

22、要条件是 f(x0,y0)=0 2.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax ),(),(,bababr或圆心 与y轴相切的圆方程222)()(abyax ),(),(,babaar或圆心 与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax ),(,aaar圆心 3.圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当04

23、22FED时，方程无图形称虚圆.注：圆的参数方程：sincosrbyrax为参数.方 程022FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是：0B且0 CA且0422AFED.圆的直径或方程：0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA用向量可征.4.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyax M在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax 5.直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到

24、直线l的距离22BACBbAad.rd 时，l与C相切；附：假设两圆相切，那么002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.rd 时，l与C相交；附：公共弦方程：设 有两个交点，那么其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.rd 时，l与C相离.附：假设两圆相离，那么002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x或y的一元二次方程，其判别式为，那么：0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxCl 0与C相切；l 0与

25、C相交；l 0与C相离.注：假设两圆为同心圆那么011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线.6.圆 的 切 线 方 程：圆222ryx的 斜 率 为k的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx 上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.一般方程假设点(x0,y0)在圆上，那么(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.假设点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)那么1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线

26、方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，那么切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD 四类共 圆.O的 方 程022FEyDxyx 又 以ABCD为 圆 为 方 程 为2)()(kbxyyaxxxAA 4)()(222byaxRAA，所以 BC 的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解纯粹性；2 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上完备性。那么称方程 f(x,y)=0 为曲线 C的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)

27、=0 的曲线。2.求曲线方程的方法：.1直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2参数法;3定义法，4待定系数法.ABCD(a,b)第八章 圆锥曲线 一 椭圆方程 一 椭圆的定义：12122PFPFaF F方程为椭圆；12122PFPFaF F无轨迹；12122PFPFaF F以12,FF为端点的线段。二 椭圆的方程:椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：22221(0)xyabab.ii.中心在原点，焦点在y轴上：22221(0)yxabab.一般方程：221(0,0)AxByAB.椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax 三椭圆的几何性质：顶点：A(

28、,0)a,B(,0)a,C(0,)b和 D(0,)b.轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长AB=a2，短轴长CD=b2.焦点：1F(,0)c,2F(,0)c 焦距：122F Fc，222abc.离心率：(01)ceea.二 双曲线方程 一双曲线的定义：12121212121212222,PFPFaF FPFPFaF FPFPFaF FFF方程为双曲线无轨迹以的一个端点的一条射线 二双曲线的方程 双曲线标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：22221(,0)xya bab.ii.中心在原点，焦点在y轴上：22221(,0)yxa bab 一般方程：221(0)AxCyAC.椭圆的标准参数方程：

29、22221xyab的参数方程为tansecbyax 三双曲线的几何性质 i.焦点在x轴上：顶点：)0,(),0,(aa；焦点：)0,(),0,(cc；渐近线方程：0byax或02222byax ii.焦点在y轴上：顶点：),0(),0(aa；焦点：),0(),0(cc；渐近线方程：0bxay或02222bxay，轴：yx,为对称轴，实轴长为 2a,虚轴长为 2b，焦距 2c.离心率ace.参数关系acebac,222.四常见的特殊双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线.2

30、222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：假设双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.五直线与双曲线的位置关系：如下列图.yxF1F21234533区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线

31、，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.三 抛物线方程 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点(0，0)离

32、心率 1e 焦半径 12xpPF 12xpPF 12ypPF 12ypPF 注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy那么焦点半径 2PxPF;)0(22ppyx那么焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22(或pyx22)的参数方程为ptyptx222(或222ptyptx)(t为参数).第九章.立体几何 一、平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成 3 或 4 局部.两个平面平行，两个平面相交 3.过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.三条直

33、线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个.4.三个平面最多可把空间分成 8 局部.X、Y、Z 三个方向 二、空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 注：可能两条直线平行，也可能是点和直线等 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 假设直线 a、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.射影不一定只有直线，也可以是其他图形 并非是从平面外一点向这个平面

34、所引的垂线段和斜线段 ba,是夹在两平行平面间的线段，假设ba，那么ba,的位置关系为相交或平行或异面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.不在任何一个平面内的两条直线 3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等如下列图.二面角的取值范围180,0 直线与直线所成角90,0 斜线与平面成角90,0 直线与平面所成角 90,0 向量与向量所成角)180,0 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角或直角相等.5.两异面直线的

35、距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交共面垂直和异面垂直.21,ll是异面直线，那么过21,ll外一点 P，过点 P 且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面 三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条12方向相同12方向不相同直线和这个平面平行.“线线平行，线面平行 注：直线a与平面外一条直线平行，那么a.直线a与平面外一条直线相交，那么a与平面相交.假设直线a与平面

36、平行，那么内必存在无数条直线与a平行.两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在平面上 平行于同一直线的两个平面平行或相交 平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行 直线l与平面、所成角相等，那么或与相交 3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.“线面平行，线线平行 4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.假设PA，aAO，得aPO三垂线定理，得不出PO.因为aPO，但PO不垂直 OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线

37、与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.“线线垂直，线面垂直 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.注：垂直于同一条直线的两个平面平行 垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面 垂直于同一平面的两条直线平行 5.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影

38、为一个点.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.“线面平行，面面平行 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.“面面平行，线线平行 4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，那么两个平面垂直.两个平面垂直性质判

39、定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.“线面垂直，面面垂直 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，那么两个二面角没有什么关系.5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么 在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.POAaPMABO推论：如果两个相交平面都垂直于第三 平面，那么它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找 O 作 OA、OB 分别垂直 于21,ll，因为OBPMOAPM,那么OBPMOAPM,.6.两异面直线任意两点间的距离公式：cos2222mndnml为锐角取加，为钝取减，综上，都取加那么必有2,0 7.最小角定理：21cosc

40、oscos1为最小角，如图 最小角定理的应用PBN为最小角 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有.五、棱锥、棱柱.1.棱柱.直棱柱侧面积：ChS C为底面周长，h是高该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：lCS11C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.

41、直四棱柱平行六面体=直平行六面体.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与底面边长相等 棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：直棱柱不能保证底面是钜形可如图 直棱柱定义棱柱有一条侧棱和底面垂直.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个

42、顶点上三条棱长的平方和.推 论 一：长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 为,，那 么1coscoscos222.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，那么2coscoscos222.图112图2注：斜四面体的两个平行的平面可以为矩形 应是各侧面都是正方形的直棱柱才行 只能推出对角线相等，推不出底面为矩形 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.两条边可能相交，可能不相交，假设两条边相交，那么应是充要条件 2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面

43、都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VShV.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.不是等边三角形 ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等 iii.正棱锥定义的推论：假设一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形即侧棱相等；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：Ch21S 底面周长为C，斜高为h 棱锥的侧面积与底面积的射影公式：cos底侧SS侧面与底面成的二面角为 附：以知cl，ba cos，为二面角bla.那么laS211，blS212，ba cos 得cos底侧SS.注：S

44、为任意多边形的面积可分别多个三角形的方法.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等它叫做正棱锥的斜高.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，那么

45、顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.labc注：i.各个侧面的等腰三角形不知是否全等 ii.假设一个三角锥，两条对角线互相垂直，那么第三对角线必然垂直.简证：ABCD，AC BD BCAD.令bACcADaAB,得cacbADBCcADabABACBC,，0,0cabbca 0cbca那么0 ADBC.iii.空间四边形 OABC 且四边长相等，那么顺次连结各边的中点的

46、四边形一定是矩形.iv.假设是四边长与对角线分别相等，那么顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC中点O，那么ACACOBACoo,平面FGHBOACBOO90易知 EFGH为平行四边形EFGH 为长方形.假设对角线等，那么EFGHFGEF为正方形.3.球：球的截面是一个圆面.球的外表积公式：24 RS.球的体积公式：334RV.纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：圆

47、柱体积：hrV2r为半径，h为高 圆锥体积：hrV231r为半径，h为高 锥形体积：ShV31S为底面积，h为高 4.内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a，ah36，243aS底，243aS侧 得aaaRRaRaaa46342334/424331433643222.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB 外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六.空间向量.1.1共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：假设a与b共线，b与c共线，那么a与c共线.当0b时，不成立 向量cba,共面即它们所在直线可能异面 假设ab，那么存在小任

48、一实数，使ba.与0b不成立 BCDAabcFEHGBCDAOOrOR假设a为非零向量，那么00 a.2共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，a b的充要条件是存在实数具有唯一性，使ba.3共面向量：假设向量a使之平行于平面或a在内，那么a与的关系是平行，记作a.4共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，那么向量P与向量ba,共面的充要条件是存在实数对 x、y 使byaxP.空间任一点O和不共线三点A、B、C，那么)1(zyxOCzOByOAxOP是 PABC四点共面的充要条件.简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C 四点共面 注：是证明四点共面的常用方法

49、.2.空间向量根本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使czbyaxp.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，那么对空间任一点 P,都存在 唯一的有序实数组 x、y、z 使 OCzOByOAxOP(这里隐含 x+y+z1).注：设四面体 ABCD 的三条棱，,dADcACbAB其 中 Q 是BCD 的重心，那么向量)(31cbaAQ用MQAMAQ即证.3.1空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴对应为横坐标，y 轴是纵轴对应为纵轴，z 轴是竖轴对应为竖坐标.令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb，那么),(3322

50、11babababa)(,(321Raaaa332211babababa a)(,332211Rbababab332211bababa ADCMBG0332211babababa 222321aaaaaa(用 到 常 用 的 向 量 模 与 向 量 之 间 的 转 化：aaaaaa2)232221232221332211|,cosbbbaaababababababa 空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd.2 法向量：假设向量a所在直线垂直于平面，那么称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.3用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图