2023年求双曲线标准方程的技巧.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。一 双曲线的一般方程 例 1 求经过点 3,2 7P,6 2,7Q 的双曲线标准方程。分析 双曲线的标准方程有两种形式：22xa22yb（a，b）或22ya22xb（a，b），可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。解 设双曲线方程为2Ax2By（AB）。因为所求双曲线经过点 3,2 7P,6 2,7Q，所以9281,72491.ABAB解得A175，B125。故所求双曲线方程为225y275x。说明 求双曲线标准方程一般用

2、待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax2By（AB），这样可以简化运算。二 等轴双曲线 例 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线x2y交于两点A、B，且AB2 15。求此等轴双曲线的方程。分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程2x2y2a（a），求出a即可。解 设等轴双曲线方程为2x2y2a（a）。由222,20.xyaxy 解得交点A、B的坐标分别为2,33aa、2,33aa。因为AB224233aa 2 153a2 15，所以a。故所求双曲线方程为2x2y。说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：

3、离心率e2，渐近线方程为yx且互相垂直等等。三 共焦点双曲线 例 已知过点 3 2,2，且与双曲线216x24y有共同焦点的双曲线的标准方学习必备 欢迎下载 程。分析 根据双曲线焦点与2a、2b的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为216xk24yk（k16），求出k即可。解 设双曲线方程为216xk24yk（k16），将 3 2,2代入，得k。故所求双曲线方程为212x28y。说明 与双曲线22xa22yb共焦点的双曲线方程可设为22xak22ybk（2bk2a）。根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆22xa22yb共焦点的双曲线方程可设为22xak22ybk（2bk2a），请注意它们的区别。四 共

4、渐近线双曲线 例 4 求经过点3,2 3，且与双曲线29x216y有共同渐近线的双曲线方程。分析 因为双曲线29x216y的两条渐近线方程为双曲线29x216y，因此与它共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线29x216y（）。解 设双曲线方程为29x216y（），因为双曲线经过点3,2 3，所以239 22 31614。故所求双曲线方程为29x216y14，即294x24y。说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程，使解题更合理。另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。显然共轭双曲线有相同的渐近线，因此求共轭双

5、曲线方程时可以采用这个方法。五 同离心率的双曲线 程分析双曲线的标准方程有两种形式或可以讨论解决也可以应用下面的免讨论焦点的位置一般设双曲线方程为这样可以简化运算二等轴双曲线方程为由的坐标分别为因为所以故所求双曲线方程为解得交点说明等轴学习必备 欢迎下载 例 5 求经过点 2,0，且与双曲线264x216y的离心率相同的双曲线的标准方程。分析 因为一条双曲线和双曲线22xa22yb（a0，b0）离心率相同，那么它的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上。若焦点在x轴上，它的方程可设为22xa22yb（a0，b0，）；若焦点在y轴上，它的方程可设为22ya22xb（a0，b0，）。解（1）当所求双曲线

6、的焦点在x轴上时，它的方程可设为264x216y（），将 2,0代入，得116。此时所求双曲线的标准方程为24x2y。（）当所求双曲线的焦点在y轴上时，它的方程可设为264y216x（），将 2,0代入，得14（舍去）。故所求双曲线的标准方程为24x2y。说明 已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。六 已知双曲线渐近线的双曲线 例 求一条渐近线方程为3x4y，一个焦点是 4,0的双曲线方程。分析 由3x4y，得4x3y，因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所求双曲线方程为216x29y（），求出即可。解 根据题意，可设所求双曲线方程为216x29y（）。又因为焦点

7、在x轴上，所以。因为c，所以16916，解得1625。故所求双曲线方程为225625x程分析双曲线的标准方程有两种形式或可以讨论解决也可以应用下面的免讨论焦点的位置一般设双曲线方程为这样可以简化运算二等轴双曲线方程为由的坐标分别为因为所以故所求双曲线方程为解得交点说明等轴学习必备 欢迎下载 214425y。说明 渐近线方程为xayb或ybxa的双曲线方程可设为22xa22yb（），然后确定的值。因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时，一定要认真审题，弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。程分析双曲线的标准方程有两种形式或可以讨论解决也可以应用下面的免讨论焦点的位置一般设双曲线方程为这样可以简化运算二等轴双曲线方程为由的坐标分别为因为所以故所求双曲线方程为解得交点说明等轴