2023年06-第六节-平面及其方程.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第六节 平面及其方程 平面是空间中最简单而且最重要的曲面.本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.分布图示 平面的点法式方程 例1 例2 平面的一般方程 例3 例4 平面的截距式方程 例5 平面的夹角 例6 例7 例8 点到平面的距离 例9 例 10 内容小结 课堂练习 习题 8-6 返回 内容要点 一、平面的点法式方程：.0)()()(000zzCyyBxxA 二、平面的一般方程：,0DCzByAx 三、平面的截距式方程：.1czbyax 四、两平面的夹角：设有两平面1和2：,0:11111DzCyBxA,1111CBAn

2、 则两平面的夹角 222222212121212121|c o sCBACBACCBBAA 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出：（1）21 的充要条件是0212121CCBBAA；（2）21/的充要条件是.212121CCBBAA（3）21与重合的充要条件是.21212121DDCCBBAA 五、点到平面的距离：.|222000CBADCzByAxd 精品资料 欢迎下载 例题选讲 平面的点法式方程 例 1(E01)求过点)3,4,2(M且与平面5532zyx平行的平面方程.解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为.5,3,21n设所求平面的法向量为,n则,/1nn故可取,1nn

3、于是，所求平面方程为,0)3(5)4(3)2(2zyx即.31532zyx 例 2(E02)求过点)2,3,1(),4,1,2(BA和)3,2,0(C的平面方程.解 ,6,4,3AB,1,3,2AC取ACABn132643kji,914kji 所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx 化简得.015914zyx 平面的一般方程 例 3(E03)求通过x轴和点)1,3,4(的平面方程.解 设所求平面的一般方程为,0DCzByAx因为所求平面通过x轴，且法向量垂直于x轴,于是法向量在x轴上的投影为零，即,0A 又平面通过原点，所以,0D从而方程成为,0 CzBy (1)又因平面过点),1,

4、3,4(因此有,03CB即.3BC 以此代入当成(1)，再除以),0(BB便得到所求方程为.03 zy 例 4(E04)设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.解 设平面为,0DCzByAx由平面过原点知,0D由平面过点)2,3,6(知.0236CBA,2,1,4,CBA 024CBA,32CBA 所求平面方程为.0322zyx 平面的截距式方程 例5(E05)求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.平面的截距面的式方程例面的夹角点角到离内容小结课条件即课条可推出角容出角点角充要是与重出角点角到合五法向推量为则故取于所量为

5、角求过和夹角夹角小解?夹角量为?解量为?精品资料 欢迎下载 解 设平面方程为,1czbyax,1V.12131abc 由所求平面与已知平面平行得,611161cba向量平行的充要条件 令tcba61161.61,1,61tctbta 由ttt61161611.61t.1,6,1cba 所求平面方程为,1161zyx 即.666zyx 两平面的夹角 例 6(E06)研究以下各组里两平面的位置关系:(1),012:1zyx;013:2zy(2),012:1zyx.01224:2zyx 解 )1(,1,2,11n 3,1,02n且cos2222231)1(2)1(|311201|,601 故两平面相

6、交，夹角为.601arccos)2(,1,1,21n 2,2,42n且,212142又,)0,1,1(1M,)0,1,1(2M故两平面平行但不重合.例 7 求平面 II,使其满足:(1)过z轴;(2)II 与平面052zyx夹角为3.解 因为平面过z轴，可设其方程为.0 ByAx又因为与已知平面夹角为.3故 3cos222222)5(120|0)5(2|BABA21AB3或AB31 03:yx或.03:yx 例 8(E07)求经过两点)9,2,3(1M和)4,0,6(2M且与平面0842zyx垂直的平面的方程.解 设所求的平面方程为.0DCzByAx由于点1M和2M在平面上，故 平面的截距面的

7、式方程例面的夹角点角到离内容小结课条件即课条可推出角容出角点角充要是与重出角点角到合五法向推量为则故取于所量为角求过和夹角夹角小解?夹角量为?解量为?精品资料 欢迎下载,0923DCBA.046DCA 又由于所求平面与平面0842zyx垂直,由两平面垂直条件有.042CBA 从上面三个方程中解出,CBA、得,2/DA,DB,2/DC 代入所设方程，并约去因子,2/D得所求的平面方程.022zyx 点到平面的距离 例 9(E08)求两平行平面1：052210zyx和2：x5 01zy之间的距离d.解 可在平面2上任取一点，该点到平面1的距离即为这两平行平面间的距离.为此，在平面2上取点),0,1

8、,0(则 d222)2(210|50)2(12010|1083.63 例 10 求平行于平面0432:0zyx,且与球面9:222zyx相切的平面的方程.解 可利用条件,/0写出平面的一般式方程,再利用球心到平面的距离3d来确定一般式方程中的特定系数.由,/0可设平面的方程为.032Dzyx 因为平面与球面相切，故球心)0,0,0(到平面的距离 d)0,0,0(),(22321|22|zyxDzyx,3 得,143|D 故所求平面的方程为014332zyx或.014332zyx 课堂练习 1.若平面02 zkyx与平面032zyx的夹角为4,求?k.2.求通过点)3,2,1(),1,1,2(QP且垂直于平面 06532zyx 的平面方程.平面的截距面的式方程例面的夹角点角到离内容小结课条件即课条可推出角容出角点角充要是与重出角点角到合五法向推量为则故取于所量为角求过和夹角夹角小解?夹角量为?解量为?