2023年《平面向量基本定理及坐标表示》精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平面向量基本定理及坐标表示 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长 60 分钟 知 识 点 基底的概念与平面向量基本定理 平面向量基本定理的应用 平面向量的坐标表示及运算 平面向量共线的坐标表示 教学目标 1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.教学重点 平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线 教学难点 向量的坐标运算及共线条件 学习必备 欢迎下载 教学过程 课堂导入 音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚

2、音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉事实上，音乐有 7 个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 复习预习 1上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为_，记为_，它的长度与方向规定如下：(1)_|a|；(2)当_时，a 的方向与 a 的方向相同

3、；当 0 时，a 的方向与 a 的方向_ 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 知识讲解 考点 1 两个向量的夹角(1)定义 已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 叫做向量a 与 b 的夹角(2)范围 向量夹角 的范围是0，a 与 b 同向时，夹角 0；a 与 b 反向时，夹角 .(3)向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是2，则 a 与 b 垂直，记作 ab.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的

4、正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 考点 2 平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y，使 axiyj，把有序数

5、对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x，y)就是 A点的坐标，即若OA(x，y)，则 A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 考点 3 平面向量的坐标运算(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b(x1 x2，y1 y2)；(2)若 A(x1，y

6、1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)；(3)若 a(x，y)，则 a(x，y)；(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y1.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 例题精析【例题 1】【题干】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD13BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设BAa，BCb，试用a，b 为基底表示向量EF，DF，CD.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平

7、面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载【解析】EFEAABBF16ba12b13ba，DFDEEF16b13ba 16ba，CDCFFD12b16ba a23b.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 【例题 2】【题干】已知点 A(1,2)，B(2,8)以及AC13AB，DA13BA，求点 C、D 的坐

8、标和CD的坐标 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载【解析】设点 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得AC(x11，y12)，AB(3,6)，DA(1x2,2y2)，BA(3，6)因为AC13AB，DA13BA，所以有 x111y122，和 1x21，2y22.解得 x10，y14，和 x22，y20.所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而CD(2，4).表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平

9、面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 【例题 3】【题干】(1)在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知点 A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为_(2)已知向量 a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量

10、中我们学习必备 欢迎下载【解析】(1)由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形设D(x，y)，则有ABDC，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即 D 点的坐标为(0，2)(2)由题意知 ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c 得(3)(1)(m1)20，即 2(m1)3，所以 m52.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 课堂运用【基础】1(2

11、012 广东高考)若向量BA(2,3)，CA(4,7)，则BC()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解析：选 A 由于BA(2,3)，CA(4,7)，那么BCBAAC(2,3)(4，7)(2，4)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量

12、中我们学习必备 欢迎下载 2(2013 郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c a b(、为实数)，则 m 的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，)D(，2)(2，)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解析：选 D 由题意知向量 a，b 不共线，故 m3m22，解得 m2.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运

13、算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 3已知点 A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线 OC 与直线 BA平行；ABBCCA；OAOCOB；ACOB2OA.其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解析：选 C 由题意得 kOC1212，kBA2102

14、12，OCBA，正确；ABBCAC，错误；OAOC(0,2)OB，正确；OB2OA(4,0)，AC(4,0)，正确 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 【巩固】4在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC_.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组

15、合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解析：AQPQPA(3,2)，AC2AQ(6,4)PCPAAC(2,7)，BC3PC(6,21)答案：(6,21)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 5已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)，若 a2b 与 c 共线，则 k_.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这

16、几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解析：a2b(3，1)2(0，1)(3，3)，又a2b 与 c 共线，(a2b)c 3 33k0，解得 k1.答案：1 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 【拔高】6.如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AMc，ANd，试用 c，d 表示AB，AD.表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标

17、运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解：法一：在ADM 中，ADAMDMc12AB 在ABN 中，ABANBNd12AD 由得AB23(2dc)，AD23(2cd)法二：设ABa，ADb，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点，所以BN12b，DM12a，于是有：cb12a，da12b，解得 a23dc，b23cd.即AB23(2dc)，AD23(2cd)表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音

18、符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 7已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OPOAtAB，试问：(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 解：(1)OA(1,2)，AB(3,3)，OPOAtAB(13t,23t)若点 P 在 x 轴上，

19、则 23t0，解得 t23；若点 P 在 y 轴上，则 13t0，解得 t13；若点 P 在第三象限，则 13t0，23t0.解得 t23.(2)不能，若四边形 OABP 成为平行四边形，则OPAB，即 13t3，23t3.该方程组无解，四边形 OABP 不能成为平行四边形 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们学习必备 欢迎下载 课程小结 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯 一的 2向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息 表示了解平面向量基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及坐标表的坐标运算及共线条件教学过程课堂导入学习必备欢迎下载音乐是人们谱都是这几个音符的巧妙组合音乐的奇妙就在于此在多样的向量中我们