2023年《垂直于弦的直径》超详细导学案1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 24.1.2 垂直于弦的直径 1.通过折叠、作图等方法,探索圆是轴对称图形,且对称轴有无数条.2.知道垂径定理及其推论,体会利用圆的对称性证明垂径定理;会用垂径定理解决有关的证明和计算问题.3.重点:圆的对称性,垂径定理、推论及其应用.知识点一 圆的对称性 阅读教材本课时“探究”至“圆是轴对称图形”,解决下列问题.1.按照教材“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的 半圆 重合,所有的折痕都交于一点,这点就是 圆心.2.要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在 圆上.完成下面的证明过程.如图,CD是直径,AACD,连接OA、OA.在O

2、AA中,OA=OA,OAA是 等腰 三角形,又AACD,AM=MA,即CD是AA的 垂直平分线,圆上任意点A关于直线CD的对称点A也在圆上,O关于直线 CD 对称.【归纳总结】圆是 轴对称 图形,任何一条 直径 所在的直线都是它的对称轴.【预习自测】下列说法错误的是(B)A.圆是轴对称图形 B.圆是轴对称图形,直径是它的对称轴 C.圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴 D.圆是轴对称图形,它有无数条对称轴 知识点二 垂径定理及其推论 阅读教材本课时“圆是轴对称图形”至结束,解决下列问题.1.由知识点一可知,在上图中,有AM=MA,=,=,即直径CD平分弦AA,并且平分弦所对的弧、.学习必备

3、 欢迎下载 2.如图,AB是O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点E,那么CD会垂直AB吗?还会平分弦所对的弧吗?为什么?连接OA、OB,则OA=OB,AOB为等腰三角形.因为直径CD平分AB,所以CDAB.因为CD为直径,所以=,=.(亦可由对称性加以说明)3.由例 2 可以看出,运用垂径定理,常要构造 半径、弦 的一半和圆心到弦的距离三条线段组成的直角三角形,再利用 勾股 定理等加以解决.【归纳总结】1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 弦,并且 平分 弦所对的两条弧.2.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦,并且 平分 弦所对的两条弧.【讨论】当弦AB为直

4、径时,作一条平分AB的直径CD,那么CD还会垂直AB吗?还会平分弦所对的弧吗?如果不能,请画图说明.不一定,图略.【预习自测】一根排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆的圆心O到水面的距离OC是 6,则水面宽AB是(A)A.16 B.10 C.8 D.6 互动探究 1:如图,已知O的半径为 5,点A到圆心O的距离为 3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为(C)A.4 B.6 C.8 D.10【方法归纳交流】经过圆内一点的最短的弦是经过该点且垂直于经过该点的 直径 的弦.互动探究 2:见教材“习题 24.1”第 9 题(不能用三角形全等证明).证明:过点O作OEAB于E,则

5、AE=BE.OC=OD,CE=DE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.变式训练1.如图,连接OC,OD,将小圆隐去,得右图,设OC=OD,求证:AC=BD(不能用三角形全等证明).证明:过点O作OEAB于点E,则AE=BE,应用知识点一圆的对称性阅读教材本课时探究至圆是轴对称图形解决下在直线对称轴的对称完成下面的证明过程点也在圆上如图是直径连接又自测下列说法错误的是圆是轴对称图形圆是轴对称图形直径是它的对称学习必备 欢迎下载 又OC=OD,CE=DE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.2.如图,连接OA、OB,将大圆隐去,设AO=BO,求证:AC=BD(不能利用三角形全等证明).证明:过点

6、O作OEAB于点E,则CE=DE,又OA=OB,AE=BE,AE-CE=BE-DE,AC=BD.互动探究 3:如图,已知,请你利用尺规作图作出的中点,说出你的作法.(方法指导:连接AB,用垂径定理解决)解:图略.作法:1.连接AB;2.作AB的中垂线,交于点C,点C就是所求的点.互动探究4:某市某居民区一处圆柱形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为 60 cm,水面至管道顶部距离为 10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?解:如图,连接OA,过O作OEAB,垂足为E,交圆于F,则AE=30 cm.令O的半径为R,则OE=R-10.在RtAEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50 cm,修理人员应准备内径为 100 cm 的管道.应用知识点一圆的对称性阅读教材本课时探究至圆是轴对称图形解决下在直线对称轴的对称完成下面的证明过程点也在圆上如图是直径连接又自测下列说法错误的是圆是轴对称图形圆是轴对称图形直径是它的对称