2023年一元二次方程全章精品讲义1.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 第二十二章 一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目标 1知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题 2过程与方法 （1）通过丰

2、富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型 根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解 ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即（m-4）2+10 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）

3、一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 1教材 P28 习题 221 1、2 221 一元二次方程 第二课时 教学内容 1一元二次方程根的概念；2 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标 知识与技能：了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 过程与方法：提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 情感

4、态度与价值观：体会数学的使用价值，激发数学学习兴趣。重难点：1重点：判定一个数是否是方程的根；2 难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学准备：多媒体课件 教学方法：类比、自主探究 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题 问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？108 设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？

5、次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 设苗圃的宽为 xm，则长为_m 根据题意，得_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略）二、探索新知 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题 1中还有其它解吗？问题 2呢？老师点评：（1）问题 1中 x=6 是 x2-36=0的解，问题 2中，x=10 是 x2+2x-

6、120=0的解 （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6的解；问题 2中还有 x=-12的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是 6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 例 1下面哪些数是方程 2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可 解：将

7、上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程2x2+10 x+12=0 的两根 例 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义 解：（1）移项得 x2=64 根据平方根的意义，得：x=8 即 x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得 x2=2 根据平方根的意义，得 x=2 即 x1=2，x2=-2 （3）因为 x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-

8、3=0 即 x1=0，x2=3 三、巩固练习 教材 P28 思考题 练习 1、2 四、应用拓展 例 3要剪一块面积为 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5吗？可能等于 10 吗？说说你的理由（2）完成下表：x 10

9、 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解：（1）x 不可能小于 5理由：如果 x5，则宽（x-5）0 2244baca0 直接开平方，得：x+2ba=242baca 即 x=242bbaca x1=242bbaca，x2=242bbaca 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化

10、为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac 0 时，将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca 就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例 1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4 2（-1）=240 x=(4)2442 6262 242

11、 x1=262，x2=262 （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-4 3（-2）=490 x=(5)49572 36 x1=2，x2=-13 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-4 39=130 x=(11)1311132 36 x1=11136，x2=1

12、1136 （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-4 41=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习 教材 P42 练习 1（1）、（3）、（5）四、应用拓展 例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足:211(1)(2)

13、0mmm 或21020mm 或1020mm 解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=20 当 m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4 2（-1）=1+8=9 x=(1)91 32 24 x1=，x2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-12 （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1 0 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0

14、，m 不存在 当 m+1=0，即 m=-1时，m-2=-3 0 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 所以 m=-1也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1 当 m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-13 因此，当 m=0 或-1时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=-13 五、归纳小结 本节课应掌握：（1

15、）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 1教材 P42复习巩固 45 22.3 实际问题与一元二次方程(1)教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题 教学目标 知识与技能：掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题 过程与方法：通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题 情感态度与价值观：解决问题的同时，体会数学建模思想的重要性。重难点 1重点：用“倍数关系”建立数学模型

16、2难点：用“倍数关系”建立数学模型 教学准备：多媒体课件 教学方法：小组合作 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：星期 一 二 三 四 五 甲 12 元 12.5 元 12.9 元 12.45 元 12.75 元 乙 13.5 元 13.3 元 13.9 元 13.4 元 13.75 元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据

17、实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 则在他帐户上，星期二比星期一增加 200 元，星期三比星期二增加 1300 元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 x 或 y 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 200 元，星期三比星期二增加 1300 元，便可列出等式 解：设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张 则0.5(0.2)2000.40.61300 xyxy 解

18、得1000(1500(xy股)股)答：（略）二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题 （学生活动）问题 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x 因为一月份是 1 万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x

19、）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为 x，则 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型 例 1某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这

20、个增长率 分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系 解：设平均增长率为 x 则 200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50%答：所求的增长率为 50%三、巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次

21、方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为_ 四、应用拓展 例 2某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是1000+2000 x80%；第二次存，本金就变为 1000+2000 x80%，其它依

22、此类推 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000 x80%+（1000+2000 x8%）x80%=1320 整理，得：1280 x2+800 x+1600 x=320，即 8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是 125%五、归纳小结 本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它 六、布置作业 1教材 P48复习巩固 1 综合运用 4 22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况 教学目标 掌握建立数学模型

23、以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法 重难点关键 1重点：如何全面地比较几个对象的变化状况 2难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况 教具、学具准备：小黑板 教学方法：小组合作 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利

24、 120 元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平均利润应是（0.3-x）次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 元，总件数应是（500+0.1x100）解：设每张贺年卡应降价 x 元 则（0.3-x）（500+1000.1x）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利

25、0.3 元，为了减少库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系 例 1某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元，那么商场平均每天可多售出 34 张

26、 如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元；0.30.751000.10.2534，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应降价 0.1 元 （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元，则：（0.75-y）（200+0.25y34）=120 即（34-y）（200+136y）=120 整理：得 68y2+49y-15=0 y=4964812 68 y-0.98

27、（不符题意，应舍去）y0.23 元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律 （学生活动）例 2两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）2=1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大

28、相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元 依题意，得 5000（1-x）2=3000 解得：x10.225，x21.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为 y

29、则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，平均每天能售出 8台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰

30、箱的定价应各是多少?四、应用拓展 例 3某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润 （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式 （3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5元，因此，销售量就减少 510kg （2）

31、销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）销售量500-10（x-50）（3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少 解：（1）销售量：500-510=450（kg）；销售利润：450（55-40）=45015=6750 元 （2）y=（x-40）500-10（x-50）=-10 x2+1400 x-40000 （3）由于水产品不超过 1000040=250kg，定价为 x 元，则（x-400）500-10（x-50）=8000 解得：x1=80，x2=60 当 x1=80 时，进货 5

32、00-10（80-50）=200kg250kg，（舍去）五、归纳小结 本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题 六、布置作业 1教材 P48 复习巩固 2 综合运用 7、9 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 22.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标 知识与技能：掌握面积法建立一元二次方程的数学模

33、型并运用它解决实际问题 过程与方法：利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题 情感态度与价值观：进一步体会数学建模思想。重难点 1 重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 2 难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教具、学具准备 小黑板 教学方法：自主探究，归纳总结 教学过程 一、复习引入 （口述）1直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式

34、是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题 例 1某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模 解：（1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6 整理

35、，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 （2）1.6 75048=25 天 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道 学生活动：例 2如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之

36、一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？九 年级 练数 学 习同步 老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的 所以（27-18x）（21-14x）=342721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=63 34，x12.8cm，x20.2 所以：9x1=

37、25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm 三、巩固练习 有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 01 尺）四、应用拓展 例 3如图（a）、（b）所示，在ABC 中B=90，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动 （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，

38、使 SPBQ=8cm2 （2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6cm2（友情提示：过点 Q 作 DQCB，垂足为D，则：DQCQABAC）次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载(a)BACQP(b)BACQDP 分析：（1）设经过 x 秒钟，使 SPBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB

39、=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型 （2）设经过 y 秒钟，这里的 y6 使PCQ 的面积等于 12.6cm2因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模 解：（1）设 x 秒，点 P在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 的面积为 8cm2 则：12（6-x）2x=8 整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 经过 2 秒，点 P 到离 A 点 12=2cm 处，点 Q 离 B 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A

40、 点 14=4cm 处，点 Q 离 B 点 24=8cm 处，所以它们都符合要求 （2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ=（2y-8）cm，过点 Q 作 DQCB，垂足为 D，则有DQCQABAC AB=6，BC=8 由勾股定理，得：AC=2268=10 DQ=6(28)6(4)105yy 则：12（14-y）6(4)5y=12.6 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7），点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处（CQ=

41、2y-8=6），使PCD 的面积为 12.6cm2 经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm10，点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在 本小题只有一解 y1=7 五、归纳小结 本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 六、布置作业 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 1教材 P48综合运用 5、6 拓广探索全部

42、22.3 实际问题与一元二次方程(4)教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题 教学目标 知识与技能：掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题 过程与方法：通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题 情感态度与价值观：解决实际问题的同时，体会数学的使用价值。重难点 1重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题 2难点：建模 教具、学具准备：小黑板 教学方法：小组合作，自主探究 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所

43、回答的“路程速度时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题 请思考下面的二道例题 例 1某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶 200m 需要多长时间?分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200 代入求关系 t 的一元二次方程即可 解：当 s=200 时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得 t=203（s）答：行驶 200m 需203s 例 2一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车（1）从刹车到停车用了多少时间

44、?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0 因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为2002=10m/s，那么根据：路程=速度时间，便可求出所求的时间 （2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为车速减少值 20，次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的

45、概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可 （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs 由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度时间，便可求出x 的值 解：（1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是2002=10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是2510=2.5（s）（2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是202.5=8（m/s）（3）

46、设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为20(208)2x=（20-4x）m/s 所以 x（20-4x）=15 整理得：4x2-20 x+15=0 解方程：得 x=5102 x14.08（不合，舍去），x20.9（s）答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s 三、巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）（2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）四、应用拓展 例 3如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向

47、200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰 （1）小岛 D 和小岛 F相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里）BACEDF 分析：（1）因为依题意可知ABC 是等腰直角三角形，DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求 DF 的

48、长 （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 RtDEF 中，由勾股定理即次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次学习好资料 欢迎下载 可求 解：（1）连结 DF，则 DFBC ABBC，AB=BC=200 海里 AC=2AB=2002海里，C=45 CD=12AC=1002海里 DF=CF，2DF=CD DF=CF=22CD=221002=100（海里）所以，小岛 D 和小岛 F相距 100 海里 （2）设相遇时补给

49、船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得 3x2-1200 x+100000=0 解这个方程，得：x1=200-100 63118.4 x2=200+100 63（不合题意，舍去）所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里 五、归纳小结 本节课应掌握：运用路程速度时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题 六、布置作业 1教材 P48综合运用 9 P53 复习题 22 综合运用 9 次方程分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法学好一元通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建分地给出一元二次方程的概念结合八册上式中的有关概念介绍一元二次