2023年七年级数学下册《轴对称图形典型例题》.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 轴对称图形典型例题 例 1 如下图，已知，PBAB，PCAC，且 PBPC，D 是 AP 上一点 求证：BDPCDP 证明：PBAB，PCAC，且 PBPC，PABPAC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），APBPAB90，APCPAC90，APBAPC，在PDB 和PDC 中，PD PDAPCAPBPCPB.，PDBPDC（SAS），BDPCDP（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等 例 2 已知如下图（1），在四边形 ABCD 中，BCBA，AD

2、CD，BD 平分ABC求证：AC180 （1）证法一：过 D 作 DEAB交 BA 的延长线于 E，DFBC 于 F，BD 平分ABC，DEDF，在 RtEAD 和 RtFCD 中，.DFDEDCAD，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明）RtEADRtFCD（HL），学习必备 欢迎下载 CEAD，EAD BAD180，AC180 证法二：如下图（2），在 BC 上截取 BEAB，连结 DE，证明ABDEBD 可得 （2）证法三：如下图（3），延长 BA 到 E，使 BEBC，连结 ED，以下同证法二 （3）注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离

3、相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法 例 3 已知，如下图，AD 为ABC 的中线，且 DE 平分BDA 交 AB于 E，DF 平分ADC交 AC 于 F 求证：BECFEF 证法一：在 DA 截取 DNDB，连结 NE、NF，则 DNDC，在BDE 和NDE 中，.DEDENDEBDENDBD，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）BDENDE（SAS），BENE（全等三角形对应边相等），同理可证：CFNF，在EFN 中，ENFNEF（三角形两边之和大于第三边），BECFEF 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形

4、全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 证法二：延长 ED 至 M，使 DMED，连结 CM、MF，在BDE 和CDM 中，.DMDECDMBDECDBD，（从另一个角度作辅助线）BDENDE（SAS），CMBE（全等三角形对应边相等），又 BDE=ADE，ADFCDF，而BDEADEADFCDF180，ADE+ADF90，即EDF90，FDMEDF90，在EDF 和MDF 中，.DFDFMDFEDFMDED，EDFMDF（SAS），EFMF（全等三角形对应边相等），在CMF 中，

5、CFCM EF，BECF EF 注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中 例 4 已知，如下图，P、Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 BPPQQCAPAQ求：BAC 的度数 解：APPQAQ（已知），可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 APQAQPPAQ60（等边三角形三个角都是 60），APBP（已知），（注意观察图形和条件）PBAPAB（等边对等角），APQPBAPAB60 （三角形的一个

6、外角等于和它不相邻的两个内角和），PBAPAB30，同理QAC30，BACBAPPAQQAC306030120 注 本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程 例 5 已知，如下图，在ABC 中，ABAC，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心，EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DFDE，连结 FC 求证：FA 证明：ABAC，BACB（等边对等角），EBED，BEDB，ACBEDB（等量代换），E

7、DAC（同位角相等，两直线平行），在BDE 和AED 中，BEAE=ED，连结 AD 可得，EADEDA，EBDEDB，EDAEDB90，即 ADBC，EDAEDB90，即 ADBC，（用什么定理判定三角形全等的？）D 为 BC 的中点，BDECDF，BEDF，而BEDA，FA 例 6 已知，如下图，ABC 中，ABAC，E 在 CA 的延长线上，AEFAFE 求证：EFBC 证法一：作 BC 边上的高 AD，D 为垂足，可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结

8、则在和中遇到学习必备 欢迎下载 ABAC，ADBC，BADCAD（等腰三角形三线合一），又 BACEAFE，AEFAFE，CADE，ADEF，ADBC，EFBC 证法二：过 A作 AGEF 于 G，AEFAFE，AGAG，AGEAGF90，AGEAGF（ASA），ABAC，BC，又EAFBC，（请对比多种证法的优劣）EAGGAFBC，EAGC，AGBC，AGEF，EFBC 证法三：过 E 作 EHBC 交 BA 的延长线于 H，可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截

9、取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 ABAC，BC，HBCAEH，AEFAFE，HAFEFEH180，HAEHAEFAFE180，AEFAEH90，即FEH90，EFEH，又 EHBC，EFBC 证法四：延长 EF 交 BC 于 K，ABAC，BC，B21（180 BAC），AEFAFE，AFE21（180 EAF），BFKAFE，BFK21（180 EAF），BBFK21（180 BAC）21（180 EAF）21 360（EAF BAC），EAFBAC180，BBFK90，即 FKB90，EFBC 注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立 EF 与 BC 的联系

10、，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法 例 7 如下图，ABAC，DBDC，P 是 AD 上一点 求证：ABPACP 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 证明：连结 BC，ABAC（已知），ABCACB（等边对等角），又 点 A、D 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线，AD 就是线段 BC 的垂直平分线，PBPC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

11、等），PBCPCB（等边对等角），（线段垂直平分线的性质）ABCPBCACBPCB（等式性质），即ABPACP 注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁 例 8 如下图，ABAC，DE 垂直平分 AB 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若ABC 的周长为 28，BC8，求BCE 的周长 解：等腰ABC 的周长28，BC8，2ACBC28，AC10，（理由是什么？）DE 垂直平分 AB，AEBE，BCE 的周长BEECBC AEECBC ACBC10818 注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系

12、 例 9 已知，如下图，ABC 中，ABAC，BAC120，EF 为 AB 的垂直平分线，EF交 BC 于 F，交 AB于 E，求证：FCBF21 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 证法一：连结 AF，则 AFBF，BFAB（等边对等角），ABAC，BC（等边对等角），BAC120，BC302180 BAC（三角形内角和定理），FAB30，FACBACFAB1203090，又 C30，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）F

13、CAF21（直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半），FCBF21 证法二：连结 AF，过 A作 AGEF 交 FC 于 G，EF 为 AB的垂直平分线，AFBF，又 B30，AFG60，BAG90，AGB60，AFG 为等边三角形，又 C30，GAC30，AGGC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）BFFGGCFC21 例 10 已知，如下图，ABBC，CDBC，AMB75，DMC45，AMMD求证：ABBC 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在

14、截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 思路分析 从结论分析，要证 ABBC，可连结 AC，使 BC 与 AB 能落在一个三角形内，再看BAC 与BCA 能否相等？证明：连结 AC，交 DM 于 H，AMB75，DMC45（已知），AMD60（平角定义）又 AMMD，AMD 为等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形），AMAD（等边三角形三边相等），CDBC，DCM90，DMC45，MDC45（三角形内角和定理），CDCM（等角对等边），AC 是 DM 的垂直平分线（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），MHC90，HCM45，B90，BAC45，ABBC（等角对等边）

15、【典型热点考题】例 1 如图 7 15，等腰 ABC的对称轴与底边 BC相交于点 D，请回答下列问题：(1)AD 是哪个角的平分线；(2)AD 是哪条线段的垂直平分线；(3)有哪几条相等的边；(4)有哪几对相等的角 点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征 所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题 解：等腰三角形是轴对称图形，直线 AD是它的对称轴(1)AD 是顶角 BAC的平分线 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载(

16、2)AD 是线段 BC的垂直平分线(3)ABAC，BD DC (4)BAD CAD，ABC ACB，ADB ADC 例 2 如图 7 16，已知 PB AB，PC AC，且 PBPC，D是 AP上一点求证：BDP CDP 点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明：PB AB，PC AC，且 PBPC，PAB PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)APB PAB 90，APC PAC 90，APB APC 在 PDB和 PDC中，PDPDAPCAPBPCPB PDB PDC(SAS)BDP CDP 例

17、 3 如图 7 17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来 解：(1)是，它有 3 条对称轴(2)是，它有 2 条对称轴(3)是，它有 2 条对称轴(4)是，它只有一条对称轴 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴(6)它是轴对称图形，有一条对称轴图均略 例 4 如图 7 18，ABC中，A

18、B AC，D在 BC上，且 BD AD，DC AC，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出 B的度数 点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏在计算 B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和 解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：ABC，ABD，CAD 设 Bx，则 Cx BAD，ADC DAC 2x B C BAC B C BAD DAC xxx2x5x180 365180 xB 例 5 如图 7 19，在金水河的同一侧居住两个村庄 A、B要从河边同一点修两条水渠到 A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河 MN何处两条水渠最短?点悟：先将具

19、体问题抽象成数学模型河流为直线 MN，在直线 MN的同一侧有 A、B两点在直线 MN上找一点 P，使 P点到 A、B两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决 解：如图 7 19 所示作 B点关于直线 MN的对称点 B，连结 AB ，与 MN相交于 P，则 P点即为所求 事实上，如果不是 P点而是P点时，则连结BP、PA和BP 由轴对称性知道，BPPBBPBP,，所以P到 A、B的距离之和，BPPABPPA，而 P到 A、B的距离之和BABPAPPBAP 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结

20、以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 在PBA 中，三角形两边之和大于第三边，BABPPA 所以 P点即为所求的点 例 6 如图 7 20，已知，AD为 ABC的中线，且 DE平分 BDA交 AB于 E，DF平分 ADC交 AC于 F 求证：BE CFEF 点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题 证法一：在 DA上截取 DN DB 连结 NE、NF 则 DN DC 在 BDE和 NDE中，,DEDENDEBDENDBD BDE NDE BE NE 同理可得，CFNF 在 EFN中，EN FN EF(三角形两边之和大

21、于第三边)BE CFEF 证法二：如图 7 21，延长 DE至 M，使 DM ED，连结 CM、MF 在 BDE和 CDM 中，,DMDECDMBDECDBD BDE CDM(SAS)CMBE(全等三角形对应边相等)又 BDE ADE，ADF CDF，而 BDE ADE ADF CDF 180 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 ADE ADF 90，即 EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF和 MDF 中，,DFDF

22、MDFEDFMDED EDF MDF(SAS)EF MF(全等三角形对应边相等)在 CMF中，CFCM MF，BE CFEF 点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用 【易错例题分析】例 已知如图 7 22，在四边形 ABCD 中，BC BA，AD CD，BD平分 ABC 求证：A C180 证法一：如图 7 22，过 D作 DE AB交 BA的延长线于 E，DF BC于 F BD 平分 ABC，DE DF 在 Rt EAD和 Rt FCD中，AD DC，DE DF，Rt EAD Rt FCD(HL)C EAD，EAD BA

23、D 180，A C180 证法二：如图 7 23，在 BC上截 BE AB，连结 DE，证明 ABD EBD可得 证法三：延长 BA到 E，使 BE BC，连结 ED，以下同证法二，如图 7 24 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到学习必备 欢迎下载 警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区 本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握 可以通过距离相等直接得到角相等而不用再证明两个三角形全等例已知下载证法二如下图在上截取连结证明可得证法三如下图延长到使连结以下图为的中线且平分交于平分交于求证证法一在截取连结则在和中遇到