2023年一元二次方程的根与系数的关系教学案二1.pdf

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1、一元二次方程的根与系数的关系教学案（二）一、素质教育目标（一）知识教学点：1熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；2灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题（二）能力训练点：提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力（三）德育渗透点：知识来源于实际，最后应用于实际 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用 2教学难点：某些代数式的变形 3教学疑点：正确理解根与系数关系的作用通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便 三、教学步骤（一）明确目标 一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅

2、在验根，已知一根求另一根及待定系数 k 的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用，本节课将学习如下两个问题中的应用：（1）不解方程，求某些代数式的值；（2）已知两个数，求作以这两个数为根的新的一元二次方程（二）整体感知 本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用通过本节课

3、的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用 2本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值 例：不解方程，求方程 2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和 分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为 x1、x2，则两个根的平方和便可表示为 x12+x22，如果将此代数式用 x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决 解：

4、设方程的两个根是 x1，x2，那么 （1）（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22 力三德育渗透点知识来源于实际最后应用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的应用不解方程求某些代数式的值已知 教师板书，引导，学生回答，体会 启发学生，总结以下两点：1运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用 x1+x2和 x1x2表示的代数式 2格式、步骤要求规范 第一步：求出 x1+x2，x1x2的值 第二步：将所求代数式用 x1+x2，x1x2的代数式表示 第三步：将 x1+x2，x1x2的值代

5、入求值 练习：设 x1，x2是方程 2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23 学生板书、笔答、评价（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程 如果方程 x2+px+q=0的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1x2=q，p=-（x1+x2），q=x1x2 x2-（x1+x2）x+x1x2=0 力三德育渗透点知识来源于实际最后应用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的

6、应用不解方程求某些代数式的值已知由此得到结论：以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2-（x1+x2）x+x1x2=0 解：所求方程是 教师引导、板书，学生回答 练习：教材 P.34 中 4 学生笔答、板书、评价 例 已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数 分析：此题可以通过列方程求得 但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决 设两个数分别为 x1，x2，则 x1+x2=8，x1x2=9 又方程 x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2 所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根 解此方程的两个根便是所求的两个数 解：根

7、据根与系数的关系可知，这两个数是方程 x2-8x+9=0的两个根 解这个方程，得 教师板书，学生回答，评价，体会 力三德育渗透点知识来源于实际最后应用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的应用不解方程求某些代数式的值已知以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程 x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题 练习：教材 P.34 中 5 学生板书、笔答、体会、评价，教师引导 通过例题的讲解，一则

8、引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来（四）总结、扩展 1本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程 2通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力 四、布置作业 教材 P.33 中 A 3、4；B 1 教材 P.34 中 B 2（学有余力的同学做）五、板书设计 12.4 一元二次方程根与系数关系（二）应用 1验根 例：例：2已知一根，求另一根 解：解：3求某些代数式值 力三德育渗透点知识来源于实际最后应

9、用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的应用不解方程求某些代数式的值已知4求作一个新方程 六、作业参考答案 教材 P.35 中 A2 A3 x1+x2=-1，x1x2=-1 所求的方程是 x2+x-1=0 力三德育渗透点知识来源于实际最后应用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的应用不解方程求某些代数式的值已知（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2 B2解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两根为 x12，x22 x1+x2=2，x1x2=-1 又 x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4+2=6 x12x22=1 所求的方程是 y2-6y+1=0 力三德育渗透点知识来源于实际最后应用于实际二教学重点难点疑点及系数关系给解决数学问题带来的方便三教学步骤一明确目标一元二次方应用本节课将学习下两个问题中的应用不解方程求某些代数式的值已知