2023年一元二次方程.pdf

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1、辽河教育学科教师辅导讲义 学员编号：LHJY000000 xxx 年 级：xxxxx 课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：潘雪 课 题 一元二次方程 授课时间：2015/00/00 备课时间：2015/00/00 教学目标 1 了解一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 2 解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 重点、难点 重点：1 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题2 判定一个数是否是方程的根；难点：1 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次

2、方程的概念 2 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学内容 一 一元二次方程的概念 1 概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程 一元二次方程有三个特征:是整式方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是 2(且二次项的系数不能为0).2 一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是

3、一次项系数；c 是常数项 例 1将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得：40-16x-10 x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22 例 2 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公

4、式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成 ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4 巩固练习 教材 P4 练习 1、2 例 3求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17 0 即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）2 0 （m-4）2+10，即（m-4）2+10

5、 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 课堂练习 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（）3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于 x 的一元二次方程，则（）Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数 二、填空题 1方程 3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_

6、 3关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_ 三、综合提高题 1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？答案:一、1A 2B 3C 二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0）3a1 是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含三、1化为：ax2+（a-3+1）x+1=0，所以，当

7、a0 时是一元二次方程 2可能，因为当21220mmm ，当 m=1 时，该方程是一元二次方程 二 一元二次方程的根 一复习引入 问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？108 设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 xm，则长为_m 根据题意，得_ 整理，得_ 列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二 探索新知 提问：（1）问题

8、1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？（1）问题 1 中 x=6 是 x2-36=0的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0的解 （2）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6的解；问题 2 中还有 x=-12的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是 6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12的

9、根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 三 经典例题 例 1下面哪些数是方程 2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可 是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以 x=-2或 x=-3是一元二次方程 2x2+10 x

10、+12=0 的两根 例 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义 解：（1）移项得 x2=64 根据平方根的意义，得：x=8 即 x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得 x2=2 根据平方根的意义，得 x=2 即 x1=2，x2=-2 （3）因为 x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-3=0 即 x1=0，x2=3 例 3要剪一块面积为 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应

11、该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解：（1）x 不可能小于 5理由：如果 x5，则宽（x-5）0，不合题意 x 不可能等于 10理由：如果 x=10，

12、则面积 x2-5x-150=-100，也不可能 （2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 x2-5x-150-100-84-66-46-24 0 26 54 （3）铁片长 x=15cm 例 4 关于 x 的一元二次方程22(1)10axxa 有一根为 0,求 a 的值?解：22(1)10axxa 有一根为 0,把 x=0 代入方程中得210a 1a .又此方程为一元二次方程,10a ,1a,1a .评注：根据方程根的定义,将 x=0 代入原方程变为关于 a 的一元二次方程,求得 a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为 0 的限制,从而确定 a 的值.是否是一个一元二次

13、方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含四 课堂练习 一、选择题 1方程 x（x-1）=2 的两根为（）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2=1a Cx1=a，x2=1a Dx1=a2，x2=b2 3已知 x=-1是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0），则acbb=（）A1 B-1 C0 D2 二、填空题 1如果 x2-8

14、1=0，那么 x2-81=0的两个根分别是 x1=_，x2=_ 2已知方程 5x2+mx-6=0的一个根是 x=3，则 m 的值为_ 3方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根 x1=_；x2=_ 三、综合提高题 1如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值 2如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根 3 在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx）2-221xx+1=0，令21xx=y，则有 y2-2y+1=0，根据上述变形数

15、学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0 中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0 的根 答案:一、1D 2B 3A 二、19，-9 2-13 3-1，1-2 三、1由已知，得 a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9 2a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1代入得 ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，-1必是该方程的一根 3设 y=x2-1，则 y2+y=0，y1=0，y2=-1，即当 x2-1=0，x1=1，x2=-1；当 y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，x3=x4=0，x1=1，x2=-1，x3=x4=0 是原

16、方程的根 是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含 三 课后作业 一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“”，不是一元二次方程的，在括号内划“”）15x2+1=0 （）23x2+x1+1=0 （）34x2=ax(其中a为常数)（）42x2+3x=0 （）55132x=2x （）622)(xx =2x （）7x2+2x=4 （）二、填空题 1一元二次方程的一般形式是_ 2将方程5x2+1=6x化为一般形式为_ 3将方程(x+1)2=2x化成

17、一般形式为_ 4方程 2x2=8 化成一般形式后，一次项系数为_，常数项为_ 5方程 5(x22x+1)=32x+2 的一般形式是_，其二次项是_，一次项是_，常数项是_ 6若ab0，则a1x2+b1x=0 的常数项是_ 7如果方程ax2+5=(x+2)(x1)是关于x的一元二次方程，则a_ 8关于x的方程(m4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m_时，是一元二次方程，当m_时，是一元一次方程 三、选择题 1下列方程中，不是一元二次方程的是_ A2x2+7=0 B2x2+23x+1=0 C5x2+x1+4=0 D3x2+(1+x)2+1=0 是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体

18、问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含2方程x22(3x2)+(x+1)=0 的一般形式是_ Ax25x+5=0 Bx2+5x+5=0 Cx2+5x5=0 Dx2+5=0 3一元二次方程 7x22x=0 的二次项、一次项、常数项依次是_ A7x2，2x，0 B7x2，2x，无常数项 C7x2，0，2x D7x2，2x，0 4方程x23=(32)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是_ A2 B2 C32 D 3221 5若关于x的方程（ax+b）(dcx)=m(ac0)的二次项系数是ac，则常数

19、项为_ Am Bbd Cbdm D(bdm)6若关于x的方程a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则a的值是_ A2 B2 C0 D不等于 2 7若x=1 是方程ax2+bx+c=0 的解，则_ Aa+b+c=1 Bab+c=0 Ca+b+c=0 Dabc=0 8关于x2=2 的说法，正确的是_ A由于x20，故x2不可能等于2，因此这不是一个方程 Bx2=2 是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 Cx2=2 是一个一元二次方程 Dx2=2 是一个一元二次方程，但不能解 四、解答题 现有长 40 米，宽 30 米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部

20、分面积之比为 32，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含 参考答案 一、1 2 3 4 5 6 7 二、1ax2+bx+c=0(a0)25x2+6x1=0 3x2+1=0 4 0 8 55x222x+3=0 5x2 22x 3 60 7 1 84 =4 三、1C 2 A 3 D 4 D 5 D 6 A 7 C 8 C 四、设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度 若设便道及休息区宽度为

21、x米，则游泳池面积为(40 2x)(30 2x)米2，便道及休息区面积为 240 x+(302x)x米2，依题意，可得方程：(40 2x)(30 2x)240 x+(30 2x)x=32 由此可求得x的值，即可得游泳池长与宽 是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含 学生签名：签字日期：是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重点一元二模型再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念由实际问题列的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特征是整式方程只含