2023年一次函数与反比例函数知识点总结归纳复习与练习中考题选及超详细解析答案1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第三讲 一次函数与反比例函数 第一部分 知识梳理 一、一次函数和反比例函数的解析式 1一次函数的定义：函数 y=kx+b (k、b 为常数，k0，自变量 x 的次数是 1 次)叫做一次函数。2一般地，函数xky（k 是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。二、一次函数和反比例函数的图像 1一次函数 y=kx+b 的 k、b 的值对一次函数图象的影响。y y y y o x o x o x o x k0，b0，ykx+b 的图象在一、二、三象限；k0，b0，ykx+b

2、 的图象在一、三、四象限；k0，b0，ykx+b 的 图象在一、二、四象限；k0，b0，ykx+b 的图象在二、三、四象限。2反比例函数的性质 反比例函数)0(kxky k 的符号 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随 x 的增大而增大。对称性)0(kxky的图象是轴对称图形，对称轴为)0(kxy或)0(kxy )0(kxky的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；xkyxky 和(k0)在同一坐标系中的图象关于

3、 x 轴对称，也关于 y 轴对称 3反比例函数中反比例系数的几何意义 过双曲线xky(k0)上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。第二部分 例题与解题思路方法归纳 类型一 一次函数的图像与性质【例题 1】已知一次函数 y=（6+3m）x+n4（1）当 m、n 为何值时，函数的图象过原点？（2）当 m、n 满足什么条件时，函数的图象经过第一、二、三象限？选题意图本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系解答本题注的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随

4、的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 意理解：直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系k0 时，直线必经过一、三象限k0 时，直线必经过二、四象限b0 时，直线与 y 轴正半轴相交b=0 时，直线过原点；b0 时，直线与 y 轴负半轴相交 解题思路（1）将点（0，0）代入一次函数解析式 y=（6+3m）x+n4 求得 n 值，利用一次函数的性质知系数 6+3m0求得 m 值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、三象限时，6+3m0，且 n40，据此求 m、n 的值 参考答案解：（1）一次函数 y=（6+3m）x+n4 的图象过原

5、点，6+3m0，且 n4=0，解得，m 2，n=4；（2）该函数的图象经过第一、二、三象限，6+3m0，且 n40，解得 m2，n4【课堂训练题】1如图，直线 y=x+4 与 y 轴交于点 A，与直线 y=x+交于点 B，且直线 y=x+与 x 轴交于点 C，则 ABC 的面积为 参考答案解：因为直线 y=x+4 中，b=4，故 A 点坐标为（0，4）；令x+4=0，则 x=3，故 D 点坐标为（3，0）令 x+=0，则，x=1，故 C 点坐标为（1，0），因为 B 点为直线 y=x+4 直线 y=x+的交点，故可列出方程组，解得，故 B 点坐标为（，2），故 S ABC=S ACDS BCD

6、=CDAO CDBE=4 4 2=4 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 2如图，有一种动画程序，屏幕上正方形 ABCD 是黑色区域（含正方形边界），其中 A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线 y=2x+b 发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的 b 的取值范围为 参考答案解：由题意可知当直线 y=2x+b 经过 A（1，1）时 b 的值最小，即2 1+b=1，

7、b=3；当直线 y=2x+b 过 C（2，2）时，b 最大即 2=2 2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的 b的取值范围为 3b6 3已知直线 ln：y=+（n 是不为零的自然数）当 n=1 时，直线 l1：y=2x+1 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A1和 B1，设 A1OB1，（其中 O 是平面直角坐标系的原点）的面积为 S1；当 n=2时，直线 l2：y=x+与 x 轴和 y 轴分别交于点 A2和 B2，设 A2OB2的面积为 S2；依此类推，直线 ln与 x 轴和 y 轴分别交于点 An和 Bn，设 AnOBn的面积为 Sn则s1+s2+s3+s4+s5=；Sn=参考答案解出 l1

8、、l2、l3、l4ln的解析式为 l1：y=2x+1，l2：y=x+，l3：y=x+，l4：y=x+，l5：y=x+ln：y=+（n 是不为零的自然数）于是 S1=1 =；S2=；S3=；S4=；S5=的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 Sn=s1+s2+s3+s4+s5=+=4（2011 绍兴）在平面直角坐标系中过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点例如图中过点 P 分別作 x 轴，

9、y 轴的垂线与坐标轴围成矩形 OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是和谐点（1）判断点 M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点 P（a，3）在直线 y=x+b（b 为常数）上，求 a，b 的值 参考答案（1）解：122（1+2），4 4=2（4+4），点 M 不是和谐点，点 N 是和谐点（2）解：由题意得：当 a0 时，（a+3）2=3a，a=6，点 P（a，3）在直线 y=x+b 上，代入得：b=9 当 a0 时，（a+3）2=3a，a=6，点 P（a，3）在直线 y=x+b 上，代入得：b=3，a=6，b=9 或 a=6，b=3 类型二 一次函数图像与几何变换

10、【例题 2】（2011 咸宁）在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 2 个单位长度或向右平移 1 个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点 P 从点 O 出发，平移 1 次后，2 次后，3 次后可能到达的点，并的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 把相应点的坐标填写在表格中：P 从点 O 出发平移次数 可能到达的点的坐标 1 次（0，2），（1，0）2 次 3 次 （2）观察发现：任意一次平移，点

11、 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 的图象上；平移 2 次后在函数 的图象上由此我们知道，平移 n次后在函数 的图象上（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 y=x 上的点 Q，且平移的路径长不小于 50，不超过 56，求点 Q 的坐标 选题意图本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 解题思路（1）根

12、据点的平移特点描出每次平移后 P 点的位置即可；（2）先根据 P 点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点 Q 的坐标为（x，y），求出 Q 点的坐标，得出 n 的取值范围，再根据点 Q 的坐标为正整数即可进行解答 参考答案解：（1）如图所示：的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 P 从点 O 出发平移次数 可能到达的点 的坐标 1 次 2 次（0，4），（1，2），（2，0）3

13、 次（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b（k0），则，解得，故第一次平移后的函数解析式为：y=2x+2；答案依次为：y=2x+2；y=2x+4；y=2x+2n（3）设点 Q 的坐标为（x，y），依题意，解这个方程组，得到点 Q 的坐标为 平移的路径长为 x+y，505637.5n42 点 Q 的坐标为正整数，点 Q 的坐标为（26，26），（28，28）【课堂训练题】1（1）点（0，1）向下平移 2 个单位后的坐标是 ，直线 y=2x+1 向下平移 2 个单位后的解析式是 ；（2）直线 y=2x+1 向右平移 2 个单位后

14、的解析式是 ；（3）如图，已知点 C 为直线 y=x 上在第一象限内一点，直线 y=2x+1 交 y 轴于点 A，交 x轴于 B，将直线 AB 沿射线 OC 方向平移个单位，求平移后的直线的解析式 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 参考答案解：（1）（0，1），y=2x+12=2x1；（2）y=2（x2）+1=2x3；（3）y=2（x3）+1+3，即 y=2x2 2如图，将直线 y=2x 沿 y 轴向下平移后，得到的直线与

15、x 轴交于点，与双曲线在第一象限交于点 B，且 OAB 的面积（1）求直线 AB 的解析式（2）求双曲线的解析式 参考答案解：（1）直线 AB 的解析式为 y=2xb，把 A（，0）代入得，0=2 b，解得 b=5，故此直线的解析式为：y=2x5；（2）作 BDx 轴，OAB 的面积，即 OABD=，A（，0），BD=3，B 点在直线 y=2x5 上，3=2x5，解得 x=4，B（4，3）B 点在反比例函数 y=上，的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对

16、称轴为学习必备 欢迎下载 k=3 4=12，此反比例函数的解析式为：y=3如图，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 OB 上，若将 ABC 沿AC 折叠，使点 B 恰好落在 x 轴上的点 D 处，则点 C 的坐标是（0，1.5）参考答案解：由题意得：A（3，0），B（0，4）；OA=3，OB=4那么可得 AB=5 易得 ABCADC，AD=AB=5，OD=AD OA=2 设 OC 为 x那么 BC=CD=4 x那么 x2+22=（4x）2，解得 x=1.5，C（0，1.5）类型三 反比例函数的图像与性质【例题 3】（2011 防城港）如图，是反比例函数 y=

17、和 y=（k1k2）在第一象限的图象，直线 ABx 轴，并分别交两条曲线于A、B 两点，若 S AOB=2，则 k2k1的值是（）A1 B2 C4 D8 选题意图本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出 cdab=4 是解此题的关键 解题思路设 A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到 k1=ab，k2=cd，根据三角形的面积公式求出 cdab=4，即可得出答案 参考答案解：设 A（a，b），B（c，d），代入得：k1=ab，k2=cd，S AOB=2，cdab=2，cdab=4，k2k1=4，故选 C【课堂训练题】1（2

18、011 东营）如图，直线 l 和双曲线交于 A、B 两的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 点，P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合），过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D、E，连接 OA、OB、0P，设 AOC 的面积为 S1、BOD 的面积为 S2、POE 的面积为 S3，则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S2S3 参考答案解：结合题意可得：AB 都在双曲线

19、 y=上，则有 S1=S2；而 AB 之间，直线在双曲线上方；故 S1=S2S3故选 D 2如图，点 A 是反比例函数 y=的图象上任意一点，延长 AO 交该图象于点 B，ACx 轴，BCy 轴，求 Rt ACB 的面积 参考答案解：设点 A 的坐标为（x，y），则点 B 坐标为（x，y），所以 AC=2y，BC=2x，所以 Rt ACB 的面积为 ACBC=2x2y=2xy=2|k|=24 类型四 反比例函数与一次函数的交点问题【例题 4】（2011 雅安）如图，过 y 轴上点 A 的一次函数与反比例函数相交于 B、D 两点，B（2，3），BCx 轴于 C，四边形 OABC 面积为 4（1）

20、求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）当 x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值（直接写出结果）的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 选题意图 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握 解题思路（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式：y=和 y=ax+b，把点 B 的坐标代入反比例函数的解析式求出 k

21、即可；（2）两个解析式联立，求得点 D 的坐标即可；（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 参考答案解：（1）设反比例函数的解析式 y=和一次函数的解析式 y=ax+b，图象经过点B，k=6，反比例函数解析式为 y=，又四边形 OABC 面积为 4（OA+BC）OC=8，BC=3，OC=2，OA=1，A（0，1）将 A、B 两点代入 y=ax+b 有，解得 一次函数的解析式为 y=x+1，（2）联立组成方程组得，解得 x=2 或 3，点 D（3，2）（3）x2 或 0 x3【课堂训练题】1（2011 潼南县）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx

22、+b（k0）的图象与反比例函数（m0）的图象相交于 A、B 两点求：（1）根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当 x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 参考答案解：（1）由图象可知：点 A 的坐标为（2，）点 B 的坐标为（1，1）反比例函数（m0）的图象经过点（2，），m=1 反比例函数的解析式为：一次函数 y=kx+b（k0）的

23、图象经过点（2，）点 B（1，1）解得：k=b=一次函数的解析式为（2）由图象可知：当 x2 或1x0 时一次函数值大于反比例函数值 2如图，已知一次函数 y1=x+m（m 为常数）的图象与反比例函数（k 为常数，k0）的图象相交点 A（1，3）（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点 B 的坐标；（2）观察图象，写出使函数值 y1y2的自变量 x 的取值范围 参考答案解：（1）由题意，得 3=1+m，的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习

24、必备 欢迎下载 解得：m=2 所以一次函数的解析式为 y1=x+2 由题意，得 3=，解得：k=3 所以反比例函数的解析式为 y2=由题意，得 x+2=，解得 x1=1，x2=3 当 x2=3 时，y1=y2=1，所以交点 B（3，1）（2）由图象可知，当3x 0 或 x1时，函数值 y1y2 类型五 函数的应用【例题 5】（2011 岳阳）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共 240 个 厂方计划由 20 个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件根据下表提供的信息，解答下列问题：配件种类 甲 乙 丙 每人可加工配件的数量（个）16 12 10 每个配件获利（元）6 8

25、5（1）设加工甲种配件的人数为 x，加工乙种配件的人数为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （2）如果加工每种配件的人数均不少于 3 人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值 选题意图此题主要考查了一次函数的应用，一次函数的应用是中考中的重点题型，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键 解题思路（1）根据图表得出 16x+12y+10（20 xy）=240，从而求出 y 与 x 的关系式的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取

26、值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 即可；（2）利用（1）中关系式即可得出方案；（3）分别求出（2）中方案的利润即可 参考答案解：（1）厂方计划由 20 个工人一天内加工完成，设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为 y，加工丙种配件的人数为（20 xy）人，16x+12y+10（20 xy）=240，y=3x+20；（2）设加工丙种配件的人数为 z=（20 xy）人，当 x=3 时，y=11，z=6，当 x=4 时，y=8，z=8，当 x=5 时，y=5，z=10，其他都不符合题意，加工配件的人数安排方案有三种；（3）由图表得：方案

27、一利润为：3 16 6+11 12 8+10 6 5=1644 元，方案二利润为：4 16 6+8 12 8+10 8 5=1552 元，方案三利润为：5 16 6+5 12 8+10 10 5=1460 元，应采用（2）中方案一，最大利润为 1644 元 【课堂训练题】1（2011 孝感）健身运动已成为时尚，某公司计划组装 A、B 两种型号的健身器材共 40 套，捐给社区健身中心组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B型健身器材需甲种部件 3 个和乙种部件 6 个公司现有甲种部件 240 个，乙种部件 196 个 （1）公司在组装 A、B 两种型号的健身器材

28、时，共有多少种组装方案？（2）组装一套 A 型健身器材需费用 20 元，组装一套 B 型健身器材需费用 18 元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？参考答案解：（1）设该公司组装 A 型器材 x 套，则组装 B 型器材（40 x）套，依据题意得，解得 22x30，的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 由于 x 为整数，所以 x 取 22，23，24，25，26，27，28，29，30 故组装 A、B 两种型号的健

29、身器材共有 9 套组装方案；（2）总的组装费用 y=20 x+18（40 x）=2x+720，k=20，y 随 x 的增大而增大，当 x=22 时，总的组装费用最少，最少组装费用是 2 22+720=764 元，总的组装费用最少的组装方案为：组装 A 型器材 22 套，组装 B 型器材 18 套 2为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客门票定价为 50 元/人，非节假日打 a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即 m 人以下（含 m 人）的团队按原价售票；超过 m 人的团队，其中 m 人仍按原价售票，超过 m 人部分 的游客打 b 折售票设某旅游团人数为 x 人，非节假

30、日购票款为 y1（元），节假日购票款为 y2（元）y1与 y2之间的函数图象如图所示（1）观察图象可知：a=6；b=8；m=10；（2）直接写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式；（3）某旅行社导游王娜于 5 月 1 日带 A 团，5 月 20 日（非节假日）带 B 团都到该景区旅游，共付门票款 1900 元，A，B 两个团队合计 50 人，求 A，B 两个团队各有多少人？参考答案解：（1）门票定价为 50 元/人，那么 10 人应花费 500 元，而从图可知实际只花费 300 元，是打 6 折得到的价格，所以 a=6；从图可知 10 人之外的另 10 人花费 400 元，而原价是 500

31、元，可以知道是打 8 折得到的价格，所以 b=8，看图可知 m=10；（2）设 y1=kx，当 x=10 时，y1=300，代入其中得，k=30 y1的函数关系式为：y1=30 x 同理可得，y2=50 x（0 x10），的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 当 x10 时，设其解析式为：y2=（x10）50 0.8+500，化简得：y2=40 x+100；（3）设 A 团有 n 人，则 B 团有（50n）人，当 0n10 时，

32、50n+30（50n）=1900 解得，n=20 这与 n10矛盾，当 n10 时，40n+100+30（50n）=1900，解得，n=30，5030=20 答：A 团有 30 人，B 团有 20 人【例题 6】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约 10 升），小敏每次用半盆水（约 5 升），如果她们都用了 5 克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有 1.5 克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有 2 克（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量 y 与漂

33、洗次数 x 的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至 0.5 克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？选题意图 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式 解题思路（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出 k1和 k2即可；（2）当 y=0.5 时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可 参考答案 解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，将和分别代入两个关

34、系式得：1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2 小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是（2）把 y=0.5 分别代入两个函数得：=0.5，=0.5，解得：x1=3，x2=4，10 3=30（升），5 4=20（升）答：小红共用 30 升水，小敏共用 20 升水，小敏的方法更值得提倡 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载【课堂训练题】1一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，当 V=10

35、m3时，=1.43kg/m3（1）求 与 V 的函数关系式；（2）求当 V=2m3时求氧气的密度 参考答案解：（1）设=，当 V=10m3时，=1.43kg/m3，所以 1.43=，即 k=14.3，所以 与 V 的函数关系式是=；（2）当 V=2m3时，把 V=2 代入得：=7.15（kg/m3），所以当 V=2m3时，氧气的密度为 7.15（kg/m3）类型六 一次函数与反比例函数的综合题【例题 7】（2011 宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 A 点，与 y 轴、x 轴分别相交于 B、C 两点，且 C（2，0）当 x1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x1 时，一次

36、函数值小于反比例函数值（1）求一次函数的解析式；（2）设函数 y2=的图象与的图象关于 y 轴对称，在 y2=的图象上取一点 P（P 点的横坐标大于 2），过 P 作 PQ 丄 x 轴，垂足是 Q，若四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标 选题意图此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标同时要注意运用数形结合的思想 解题思路（1）根据 x1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x1 时候，一次函数值小于反比例函数值得到点 A 的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求得 B 点的坐标后设出 P 点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P 的坐标

37、即可 参考答案解：（1）x1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x1 时候，一次函数值小于反比例函数值 A 点的横坐标是1，A（1，3），设一次函数的解析式为 y=kx+b，因直线过 A、C，的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 则，解之得，一次函数的解析式为 y=x+2；（2）y2=的图象与的图象关于 y 轴对称，y2=（x0），B 点是直线 y=x+2 与 y 轴的交点，B（0，2），设 p（n，）n2，S四边形BCQP=

38、S四边形OQPBS OBC=2，（2+）n 2 2=2，n=，P（，）【课堂训练题】1（2011 成都）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线 y=x+b 经过该反比例函数图象上的点 Q（4，m）（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P，连接 0P、OQ，求 OPQ 的面积 参考答案解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得 k=8=4，反比例函数的解析式为 y=；又点 Q（4，m）在该反比例函数图象上，4m=4，解得 m=1，即 Q 点的坐标为（4，1），的形式自变量的取值范围是的一切实数函数

39、的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 而直线 y=x+b 经过点 Q（4，1），1=4+b，解得 b=5，直线的函数表达式为 y=x+5；（2）联立，解得或，P 点坐标为（1，4），对于 y=x+5，令 y=0，得 x=5，A 点坐标为（0，5），S OPQ=S AOBS OBPS OAQ=555151=2（2010 苏州）如图，四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，函数（x0）的图象经过点 B、（1）求 k 的值；（2）将正方形 OABC 分别沿直线 AB、B

40、C 翻折，得到正方形 MABC、NABC 设线段 MC、NA 分别与函数（x0）的图象交于点 E、F，求线段 EF 所在直线的解析式 参考答案解：（1）四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，OA=OC=2，点 B 坐标为（2，2），k=xy=2 2=4（2）正方形 MABC、NABC 由正方形 OABC 翻折所得，ON=OM=2OA=4，点 E 横坐标为 4，点 F 纵坐标为 4 点 E、F 在函数 y=的图象上，当 x=4 时，y=1，即 E（4，1），的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而

41、减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 当 y=4 时，x=1，即 F（1，4）设直线 EF 解析式为 y=mx+n，将 E、F 两点坐标代入，得，m=1，n=5 直线 EF 的解析式为 y=x+5 第三部分 课后自我检测试卷 A 类试题：1（2011 阜新）反比例函数 y=与 y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 AOB 的面积为（）A B2 C3 D1 2如图，直线 y=x+2 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B（1）直线 AB 关于 y 轴对称的直线解析式为 ；（2）直线 AB 绕原点旋转

42、 180 度后的直线解析式为 ；（3）将直线 AB 绕点 P（1，0）顺时针方向旋转 90 度，求旋转后的直线解析式 3将一次函数 y=kx1 的图象向上平移 k 个单位后恰好经过点 A（3，2+k）（1）求 k 的值；（2）若一条直线与函数 y=kx1 的图象平行，且与两个坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式 4（2011 肇庆）如图一次函数 y=x+b 的图象经过点 B（1，0），且与反比例函数（k 为不等于 0 的常数）的图象在第一象限交于点 A（1，n）求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当 1x6 时，反比例函数 y 的取值范围 的形式自变量的取值范围是的一切

43、实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 5 如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx3的图象在第一象限内相交于点A（4，m）（1）求 m 的值及一次函数的解析式；（2）若直线 x=2 与反比例和一次函数的图象分别交于点 B、C，求线段 BC 的长 B 类试题：6已知直线 x2y=k+6 和 x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内（1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为非整数，点 A 的坐标（2，0），点 P 在直线 x2y=k+6 上，求使 P

44、AO 为等腰三角形的点的坐标 7在 ABC 中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D 为 BC 的中点，动点 P 从 B 点出发，以每秒1cm 的速度沿 BAC 的方向运动设运动时间为 t，那么当 t=秒时，过 D、P 两点的直线将 ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2 倍 8如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 B，与反比例函数在第一象限的图象交于点 c（1，6）、点 D（3，n）过点 C 作 CE 上 y 轴于 E，过点 D 作DF 上 x 轴于 F（1）求 m，n 的值；（2）求直线 AB 的函数解析式；（3）求证：AECDF

45、B 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 C 类试题：9如图，双曲线 y=（k0，x0）的图象上有两点 P1（x1，y1）和 P2（x2，y2），且 x1x2，分别过 P1和 P2向 x 轴作垂线，垂足为 B、D过 P1和 P2向 y 轴作垂线，垂足为 A、C （1）若记四边形 AP1BO 和四边形 CP2DO 的面积分别为 S1和 S2，周长为 C1和 C2，试比较S1和 S2，C1和 C2的大小；（2）若 P 是双曲线 y=

46、（k0，x0）的图象上一点，分别过 P 向 x 轴、y 轴垂线，垂足为M、N试问当 P 点落在何处时，四边形 PMON 的周长最小？10（2011 曲靖）如图：直线 y=kx+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，OAOB=，点 C（x，y）是直线 y=kx+3 上与 A、B 不重合的动点（1）求直线 y=kx+3 的解析式；（2）当点 C 运动到什么位置时 AOC 的面积是 6；（3）过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 D 点，是否存在点 C 使 BCD 与 AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也

47、是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 课后自我检测试卷参考答案 A 类试题：1解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BCy 轴，点 C 为垂足，由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S AOE=3，S BOC=，S AOB=S四边形OEACS AOES BOC=63=故选 A 2解：由题意得：A（4，0），B（0，2），（1）关于 y 轴对称则：此直线过点（0，2）和（4，0），可得函数解析式为 i：y=x+2（2）关于原点

48、对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，可得函数解析式过点（0，2）和（4，0），函数解析式为：y=x2（3）设函数解析式为 y=2x+b，又过点（1，0），函数解析式为：y=2x+2 3解：（1）根据平移规律可知，平移后解析式为 y=kx1+k，将点 A（3，2+k）代入，得 3k1+k=2+k，解得 k=1；（2）设所求直线解析式为 y=x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（b，0），（0，b），由三角形面积公式得|b|b|=，解得 b=1，y=x+1 或 y=x1（不合题意，舍去），的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图

49、像的取值范围是内随的增大而减小随的增大而增大对称性的图象是轴对称图形对称轴为学习必备 欢迎下载 故所求直线的函数关系式为 y=x+1 4解：（1）把点 B（1，0）代入一次函数 y=x+b 得：0=1+b，b=1，一次函数解析式为：y=x+1，点 A（1，n）在一次函数 y=x+b 的图象上，n=1+1，n=2，点 A 的坐标是（1，2）反比例函数的图象过点 A（1，2）k=1 2=2，反比例函数关系式是：y=，；（2）反比例函数 y=，当 x0 时，y 随 x 的增大而减少，而当 x=1 时，y=2，当 x=6 时，y=，当 1x6 时，反比例函数 y 的值：y2 5解：（1）点 A（4，m

50、）在反比例函数 y=的图象上，m=1，A（4，1），把 A（4，1）代入一次函数 y=kx3，得 4k3=1，k=1，一次函数的解析式为 y=x3，（2）直线 x=2 与反比例和一次函数的图象分别交于点 B、C，当 x=2 时，yB=2，yC=23=1，线段 BC 的长为|yByC|=2（1）=3 B 类试题：6解：（1）由题可得：，解得：，两直线的交点坐标为（k+4，k1），又交点在第四象限，解得：4k1；（2）由于 k 为非负整数且4k1，k=0，的形式自变量的取值范围是的一切实数函数的取值范围也是一切非零实比例函数的性质反比例函数的符号学习必备欢迎下载图像的取值范围是内随的增大而减小随的