2023年三角函数的图象与性质附超详细解析答案及作业题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数的图象与性质 1三角函数的图象和性质 函数 性质 ysin x ycos x ytan x 定义域 R R x|xk 2，kZ 图象 值域 1,1 1,1 R 对称性 对称轴：xk 2(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：k 2，0kZ 无对称轴 对称中心：k2，0(kZ)周期 2 2 单调性 单调增区间 2k 2，2k 2(kZ)；单调减区间 2k 2，2k 32(kZ)单调增区间2k ，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间 k 2，k 2(kZ)奇偶性 奇 偶 奇 学习必备 欢迎下载 方法与性质(1)周期性 yAsin

2、(x )和 yAcos(x )的最小正周期为2|，ytan(x )的最小正周期为|.(2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x或 yAtan x，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式(3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(4)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x )k的形式，再求最值(值域)；形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin

3、x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)考向一 三角函数的定义域与值域 例 1、(1)求函数 ylg sin 2x 9x2的定义域(2)求函数 ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 变式训练 1、(1)求函数 y sin xcos x的定义域(2)已知函数 f(x)cos2x32sinx4 sinx4，求函数 f(x)在区间12，2上的最大值与最小值 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函

4、数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 例 2、函数 y2cos2x41 是()A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 变式训练 2、函数 f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则 f(x)的最小正周期是_ 考向三 三角函数的单调性 例 3、已知 f(x)sin xsin2x，x0，求 f(x)的单调递增区间 变式训练 3、函数 f(x)sin2x3的单调减区间为_ 考向四 三角函数的对称性 例 4、(1)函数 ycos2x3图象的对称轴方程可能是()Ax6 Bx12 Cx6 Dx12(2)

5、若 0 2，g(x)sin2x4是偶函数，则 的值为_ 变式训练 4、(1)y2sin(3x)|2的一条对称轴为 x12，则 _(2)函数 ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则 _.本节重难点利用三角函数的性质求解参数问题 一、根据三角函数的单调性求解参数 例 1、已知函数 f(x)sinx 3(0)的单调递增区间为k 512，k 12(kZ)，单调递减区间为k 12，k 712(kZ)，则 的值为_ 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数

6、的学习必备 欢迎下载 二、根据三角函数的奇偶性求解参数 例 2、f(x)cos(3x)3sin(3x)为偶函数，则 可以取的一个值为()A.6 B.3 C 6 D 3 课堂检测 1函数 ycosx3，xR()A是奇函数 B是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数 ytan4x 的定义域为()A.x xk 4，kZ B.x x2k 4，kZ C.x xk 4，kZ D.x x2k 4，kZ 3 设函数 f(x)sin(x )cos(x )0，|2的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则()Af(x)在0，2单调递减 Bf(x)在4，34单调递减 Cf(x)在0，2单

7、调递增 Df(x)在4，34单调递增 4ysinx4的图象的一个对称中心是()A(，0)B.34，0 C.32，0 D.2，0 5函数 f(x)cos2x6的最小正周期为_ 考向一 三角函数的定义域与值域 例 1、(1)求函数 ylg sin 2x 9x2的定义域(2)求函数 ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 审题视点(1)由题干知对数的真数大于 0，被开方数大于等于零，再利用

8、单位圆或图象求 x 的范围(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决 解(1)依题意 sin 2x0，9x20 k xk 2，kZ，3x3，x 3x2，或0 x2.(2)设 sin xt，则 t22，22.y1sin2xsin xt12254，t22，22，故当 t12，即 x6时，ymax54，当 t22，即 x4时，ymin1 22.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x )k的形式，再求最值(

9、值域)；形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)变式训练 1、(1)求函数 y sin xcos x的定义域(2)已知函数 f(x)cos2x32sinx4 sinx4，求函数 f(x)在区间12，2奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数

10、的学习必备 欢迎下载 上的最大值与最小值 解(1)要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2 上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0,2 内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以定义域为 x 2k 4x2k 54，kZ.(2)由题意得：f(x)12cos 2x32sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)12cos 2x32sin 2xsin2xcos2x12cos 2x32sin 2xcos 2xsin2x6.又 x12，2，2x63，56，sin2x632，1.故

11、当 x3时，f(x)取最大值 1；当 x12时，f(x)取最小值32.考向二 三角函数的奇偶性与周期性 例 2、函数 y2cos2x41 是()A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 审题视点 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性 解析 y2cos2x41cos2x2sin 2x 为奇函数，T22.答案 A 求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最

12、大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解 变式训练 2、函数 f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则 f(x)的最小正周期是_ 解析 由 f(x)(sin xcos x)sin xsin2xsin xcos x1cos 2x212sin 2x22sin2x412.最小正周期为.答案 考向三 三角函数的单调性 例 3、已知 f(x)sin xsin2x，x0，求 f(x)的单调递增区间 审题视点 化为形如 f(x)Asin(x)的形式，再求单调区间 解 f(x)sin xs

13、in2x sin xcos x 2sinx4.由22k x422k，kZ，得：342k x42k，kZ，又 x0，f(x)的单调递增区间为0，4.求形如 yAsin(x )k的单调区间时，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，若 为负则要先把 化为正数 变式训练 3、函数 f(x)sin2x3的单调减区间为_ 解析 f(x)sin2x3sin2x3，它的减区间是 ysin2x3的增区间 由 2k 22x32k 2，k Z，得：k 12xk 512，k Z.故所求函数的奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种

14、类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 减区间为k 12，k 512(k Z)答案 k 12，k 512(kZ)考向四 三角函数的对称性 例 4、(1)函数 ycos2x3图象的对称轴方程可能是()Ax6 Bx12 Cx6 Dx12(2)若 0 2，g(x)sin2x4是偶函数，则 的值为_ 审题视点(1)对 ycos x 的对称轴为 xk，把“x ”看作一个整体，即可求(2)利用4 k 2(k Z)，求解限制范围内的 .解析(1)令 2x3k(k Z)，得 xk26(k Z)，令 k0 得该函数的一条对称轴为 x6.本题也可用

15、代入验证法来解(2)要使 g(x)cos2x4为偶函数，则须4 k 2，k Z，k 4，k Z，0 2，4.答案(1)A(2)4 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用 变式训练 4、(1)y2sin(3x)|2的一条对称轴为 x12，则 _(2)函数 ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则 _.解析(1)由 ysin x 的对称轴为 xk 2(k Z)，奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求

16、函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 即 312 k 2(k Z)，得 k 4(k Z)，又|2，k0，故 4.(2)由题意，得 ycos(3x)是奇函数，k 2，k Z.答案(1)4(2)k 2，kZ 本节重难点利用三角函数的性质求解参数问题 一、根据三角函数的单调性求解参数 例 1、已知函数 f(x)sinx 3(0)的单调递增区间为k 512，k 12(kZ)，单调递减区间为k 12，k 712(kZ)，则 的值为_ 二、根据三角函数的奇偶性求解参数 例 2、f(x)cos(3x)3sin(3x)为偶函数，则 可以取的一个值为()A.6 B.3 C6 D3

17、 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)【示例】(2011 合肥模拟)若函数 ysin x sinx 2(0)的最小正周期为7，则 _.根据三角函数的最值求参数(教师备选)【示例】(2011 洛阳模拟)若函数 f(x)asin xbcos x 在 x3处有最小值2，则常数 a、b 的值是()Aa1，b 3 Ba1，b 3 Ca 3，b1 Da 3，b1 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和

18、的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 双基自测 1函数 ycosx3，xR()A是奇函数 B是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 答案 C 2函数 ytan4x 的定义域为()A.x xk 4，kZ B.x x2k 4，kZ C.x xk 4，kZ D.x x2k 4，kZ 答案 A 3 设函数 f(x)sin(x )cos(x )0，|2的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则()奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小

19、正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的学习必备 欢迎下载 Af(x)在0，2单调递减 Bf(x)在4，34单调递减 Cf(x)在0，2单调递增 Df(x)在4，34单调递增 解析 f(x)sin(x )cos(x )2sinx 4，由最小正周期为 得 2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)为偶函数，因此 4k 2(k Z)，又|2可得 4，所以 f(x)2cos 2x，在0，2单调递减 答案 A 4ysinx4的图象的一个对称中心是()A(，0)B.34，0 C.32，0 D.2，0 解析 ysin x 的对称中心为(k，0)(k Z)，令x4k(k Z)，xk 4(k Z)，由 k1，x34 得 ysinx4的一个对称中心是34，0.答案 B 5函数 f(x)cos2x6的最小正周期为_ 解析 T22.答案 奇学习必备欢迎下载方法与性质周期性和的最小正周期为的最小正周期解求解三角函数的值域最值常见到以下几种类型的题目形如的三角函数域与值域例求函数的定义域求函数的最大值与最小值变式训练求函数的