2023年三角函数+立体几何知识点总结归纳1.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 三角函数 解三角形 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk 第二象限角的集合为36090360180,kkk 第三象限角的集合为360180360270,kkk 第四象限角的集合为360270360360,kkk 终边在x轴上的角的集合为180,kk 终边在y轴上的角的集合为18090,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk 3、与角终边相同的角的集合为360,kk 4、已知是

2、第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr 7、弧度制与角度制的换算公式：2360，弧度180，1180弧度，1弧度)180(1857 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 sin 0 21 22 23 1 0 cos 1 23

3、22 21 0 1 tan 0 33 1 3 0 8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr 9三角函数定义：,cos,sinrxryxytan 10 三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线 OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线 AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.名师总结 优秀知识点 11 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 sinyr cosxr tanyx,12.同角三角函数的基本关系：221 sincos1 2222s i n1c o s,c o s1s i n

4、；sin2tancos sinsintancos,costan 13.角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tank 2 sinsin ，coscos ，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos ，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 14两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sincoscossin cos()coscossinsin tantantan()1tantan 。sin22sin

5、cos；2222cos2cossin2cos112sin ；2tan1tan22tan。15三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。（1）巧变角：如()()，2()()，2()()，22 ，222 等；(2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos2，21cos 2sin2与升幂公式：21cos22cos，21 cos22sin)。（3）设置辅助角：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由 a,b 的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、

6、化简时起着重要作用。16.图像变换 法一：函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍y T A x B S O M P 一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 法二：函数sinyx的图

7、象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 17 函数图像的性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22

8、2kk k上是增函数；在32,222kk k上是减函数 在2,2kkk 上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 18.函数sin0,0yx 的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx ，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则函 数 性 质 一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正

9、角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点 maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx 19 五点描点法 x 0 2 23 2 x y 20.正弦定理：在ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin（1）可解决问题：已知两边和一角 已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。（2）正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC 21.三角形解的个数的讨论 方法一：画图看 方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与

10、三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。(1)若时 ab 时有一解a b 时无解.（2absinA，则无解absinA，则有一解 若 bsinAab，则有两解ab，则有一解.22.余弦定理：2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC（1）余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab（2）可解决问题：已知三边求三角 已知两边及夹角，解三角形 23.三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac 24.在ABC 中：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC

11、，sin2BA=cos2C，cos2BA=sin2C 若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C A、B、C成等差数列的充要条件是 60B ABC是正三角形的充要条件是 A、B、C成等差数列且 a、b、c 成等比数列 等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边。三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点 六 常规函数的图像 常规函数图像主要

12、有：指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针旋转，底数越来越大 底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.第九章 直线、平面、简单几何体、平行与垂直位置关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线 线面 面面 公理

13、 4 ab bcac/,/线面平行判定 /,/abab 面面平行判定 1 ababa/,/面面平行性质 ababAab,/,/线面平行性质 aabab/面面平行性质 1/aa 面面平行性质/A b a a b 2、线线、线面、面面垂直关系的转化：一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点 线线 线面 面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPOaaOAaPOaPOaAO,为在 内射影则 线面垂直判定 1 面面垂直判定 a babOl a

14、l bl,aa 线面垂直定义 lal a 面面垂直性质，推论2 baaba,aa 面面垂直定义 ll，且二面角成直二面角 3、平行与垂直关系的转化：线线 线面 面面 线面垂直判定2 面面平行判定2 线面垂直性质2 面面平行性质3 abab/abab/aa/aa 4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。”其中核心的位置关系是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时，尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系、空间中的角与距离的数量关系的求法 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算”即：（1）；（2）；（3）（4）1

15、、异面直线所成的角：（1）定义：如图（2）范围：（3）求法：注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的名师总结 优秀知识点（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得到 90的数量关系 2、直线与平面所成的角：（1）定义：如图（2）范围：（时，或）0bb（3

16、）求法：即三余弦定理：（其中、分 别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)3、二面角：（1）定义：（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法 另外，还有 公式法：、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）、利用异面直线上任意两点间的距离公式cos22222mndnml 向量法：最后是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后判定，若方向是同进同出，则是其补角，若是一进一出，则就是此角 注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线 （2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形 （3）若是无棱二面角，一种办法是作出交线，利用结论：若三个平面两两相交于在三条直线，则三条直线平行或相交于一点，即要么作平行线，要么延长相交，就能作出交线。另外，也可用面积射影公式 一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角把各象限均分等份再从轴的正半轴终边所落在的的上方起依次将各区域度制与角度制的换算公式弧度弧度弧度注意正角的弧度数为正数负角的