2023年专题三柯西不等式的应用.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 专题三 不等式的证明 （柯西不等式）1下列不等式的证明明过程：若 a，bR，则 若 x，yR，则；若 xR，则；若 a，bR，ab0，则 其中正确的序号是 2设 a，bR+，a+b=1，则+的最小值为（）A.2+B.2 C.3 D.3已知 ab0，cd0，则与的大小关系为 4已知 a，b，cR，且 a+b+c=0，abc0，则+的值（）A.小于 0 B.大于 0 C.可能是 0 D.正负不能确定 5若不等式（1）na2+对任意 nN*恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A.2，）B.（2，）C.3，）D.（3，）6设 a，b，c（，0），则对于 a+，b+，c+，下列正确的

2、是 都不大于2 都不小于2 至少有一个不小于2 至少有一个不大于2 7定义在 R 上的函数 f（x）=mx2+2x+n 的值域是0，+），又对满足前面要求的任意实数 m，n 都有不等式恒成立，则实数 a 的最大值为（）A.2013 B.1 C.D.8已知 a、b、c 是ABC的三边长，A=，B=，则（）A.AB B.AB C.AB D.AB 9设正实数xyz、满足04322zyxyx，则当zxy取得最小值时，2xyz的最大值为（）A.0 B.2 C.98 D.94 学习必备 欢迎下载 10设正实数zyx,满足04322zyxyx,则当zxy取得最大值时，zyx212的最大值为（）A0 B1 C

3、49 D3 11（2012湖北）设 a，b，c，x，y，z 是正数，且 a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A.B.C.D.12用柯西不等式求函数 y=的最大值为（）A.B.3 C.4 D.5 13若23529xyz，则函数213456uxyz 的最大值为（）A.5 B.2 15 C.2 30 D.30 14对任意正数 x，y 不等式（k）x+ky恒成立，则实数 k 的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4 15已知 x2+4y2+kz2=36，且 x+y+z 的最大值为 7，则正数 k 等于（）A.1 B.4 C.8 D.9 16设 x、y、z

4、 是正数，且 x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则 x+y+z 等于（）A.B.C.D.17已知 x，y，z 均为正数，且 x+y+z=2，则+的最大值是（）A.2 B.2 C.2 D.3 18实数 ai（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1 则（a5+a6）（a1+a4）的最大值为（）A.3 B.2 C.D.1 19设a，b，c，x，y，z均为正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则abcxyz 等于()A.14 B.13 C.12 D.34 取值范围是设则对于下列正确的是都不

5、大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 参考答案 1、【解析】试题分析：依次分析 4 个命题：a0，b0 时，0，故不正确当 x=，y=时，检验不正确，利用基本不等式可得正确，综合可得答案 解：当 a，bR且 a 0，b0 时，0，故不正确 当 x=，y=时，lgx 和 lgy 都等于lg2，小于 0，故不正确|=|x|+|2=4，故正确 若 a，bR，ab0，则，故正确 故答案为 、点评：本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的

6、使用条件，属于中档题 2D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得 的最小值为 10，可得+的最小值 解：a，bR+，a+b=1，a2+b2=12ab，又=a2+b2+5+262ab+2=62ab+2（ab+2）=10，+，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D 点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题 3【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论 解：=因为 a b0，cd0，所以，ac0，bd0，ba0，又cd0，则有acbd，即 ac bd，则 bd ac0，所以（b+a）（ba）（bdac）0，取值范

7、围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 所以，=0，即 故答案为 点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键 当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系 4A【解析】试题分析：因为 a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把 a+b+c=0 变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断 解：a+b+c=0，abc0，a，b，c

8、中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设 a0，b0，c0 由 a+b+c=0 得 a=（b+c）代入得，+=+，（b）+（c）（）4，即，=0，故选 A 点评：本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断 a，b，c 的符号 5A【解析】试题分析：对 n 进行分类讨论，分离出参数 a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决 解：当 n 为正偶数时，a2 恒成立，又 2 为增函数，其最小值为 2=a 当 n 为正奇数时，a2+，即 a2 恒成立 而2 为增函数，对任意的正整数 n，有2 2，a2 故 a 2，）点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题 6【解析】试题分析

9、：因为 a，b，c（，0），所以 a+b+c+6，再假设三个数都小于取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 2，则 a+b+c+6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于2 解：因为 a，b，c（，0），所以 a+b+c+6 假设三个数都小于2 则 a+b+c+6 所以假设错误 所以至少有一个不小于2 故正确的序号为，故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题 7A【解析】试题分析：根据已

10、知条件可以得到 m 0，mn=1，n0由已知的不等式可得：只要让小 于 等 于的 最 小 值 即 可 因 为m，n 0，所 以 有=，所以只要求的最大值即可，所以只要求 m2+n2的最小值即可，根据 m2+n22mn=2知 m2+n2的最小值为 2，这样即可求出的最小值为 1，所以，所以就能得到 a 的最大值了 解：定义在 R上的函数 f（x）=mx2+2x+n 的值域是0，+）；m 0，mn=1，n0；=；m2+n22mn=2，2+m2+n24，；即的最大值为 1；，即的最小值是 1；，a2013，实数 a 的最大值为 2013 故选 A 点评：考查二次函数：y=ax2+bx+c 值域的求法

11、，利用基本不等式：a+b，a2+b22ab 求最值 8A 取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载【解析】试题分析：由题意得 c a+b，故 B=，变形后再放大，可证小于 A 解：a、b、c 是ABC的三边长，ca+b，B=+=A，BA，故选 A 点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式 9B【解析】试题分析：由已知得1342344322xyyxxyyxxyyxyxxyz，yx2时等号成立，代入已知得2yz，则222=4

12、22(1)22xyzyyy 。10B 【解析】试题分析：134213414322xyyxxyyxyxyxxyzxy，当且仅当yx2时成立，因此 22222464yyyyz，所以11)11(1221222yyyzyx.考点：（1）基本不等式的应用，（2）利用二次函数求最值。11C【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可 解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立 a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，等号成立 =取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不

13、小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 故选 C 点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造 12C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数 y=，从而求得函数的最大值 解：由 柯 西 不 等 式 可 得，函 数 y=4，当且仅当=时，等号成立，故函数 y 的最大值为 4，故选：C 点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2），在

14、求解函数最值中的应用，属于基础题 13C【解析】试题分析：由柯西得不等式，222(213456)(121 134156)uxyzxyz 122(111)(223456)3(23511)3(2911)120 xyzxyz ，2 30u，选 C.考点：柯西不等式.14A【解析】试题分析：根据题意可得（k）x+ky2，不等式（k）x+ky恒成立，可得 2，化简可得（2k+1）（k1）0，由此求得 k 的最小值 解：由所给的选项可得 k1，（k）x+ky2，x、y 都是正实数，不等式（k）x+ky恒成立，2，2，化简可得（2k+1）（k1）0 取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不

15、小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 解得 k （舍去），或 k1，故 k 的最小值为 1，故选：A 点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题 15D【解析】试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，再根据 x+y+z 的最大值为 7，可得 36（1+）=49，由此求得正数 k 的值 解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，即 36（1+）（x+y+z）2 再根据

16、x+y+z 的最大值为 7，可得 36（1+）=49，求得正数 k=9，故选：D 点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题 16A【解析】试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立 解：x、y、z 是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=94（2x+4y+3z）2=36，可设，（k 为常数），代入 2x+4y+3z=6，得 k=，x+y+z=故选 A 点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题 17C【解析】试题分析：利用柯西不等式，可得

17、（1+2+3）（x+y+z）（+）2，结合 x+y+z=2，即可求出+的最大值 解：x、y、z 是正数，（1+2+3）（x+y+z）（+）2，x+y+z=2，+=2，+的最大值是 2 故选：C 取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正学习必备 欢迎下载 点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题 18B【解析】试题分析：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+

18、1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2，结合条件，即可得出结论 解：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2=（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）28，（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）的最大值为 2，故选 B 点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2，是解题的关键 19C【解析】柯西不等式，(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)等号成立的条件是axbycz.又a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)，因此axbycz12，故abcxyz 12.取值范围是设则对于下列正确的是都不大于都不小于至少有一个不小于时的最大值为设正实数满足则当取得最大值时的最大值为学习必备欢迎且则等于已知均为正数且则实数满足的最大值为的最大值是则设均为正