2023年《全等三角形》知识要点全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第十一章全等三角形知识要点归纳 一、知识网络 对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定 角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理（一）基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和

2、它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且

3、至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误 在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。2、对全等三角形判

4、定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。三、证明全等三角形的常见思路 一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等，再用 SAS 证全等。例 1 已知：如图 1，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，B=C.求证：AF=DE.证明 BE=CF（已知），BE+EF=CF+EF，即 BF=CE.在ABF 和DCE 中，ABFDCE（SAS）。AF=DE（全等三角形对应边相等）。2.证已知边的另一邻角对应相等，再用 ASA 证全等。例 2 已知：如图 2，D 是ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC于点 E，D

5、E=FE，FCAB.求证：AE=CE 证明 FCAB（已知），ADE=CFE（两直线平行，内错角相等）。在ADE 和CFE 中，ADECFE（ASA）。AE=CE（全等三角形对应边相等）3.证已知边的对角对应相等，再用 AAS 证全等。例 3（同例 2）。证明 FCAB（已知），A=ECF（两直线平行，内错角相等）。在ADE 和CFE 中，ADECFE（AAS）。学习必备 欢迎下载 AE=CE（全等三角形对应边相等）。二、已知两边对应相等 1.证两已知边的夹角对应相等，再用 SAS 证等。例 4 已知：如图 3，AD=AE，点 D、E 在 BC 上，BD=CE，1=2.求证：ABDACE 证明

6、 1=2（已知），ADB=180-1，AEC=180-2（邻补角定义），ADB=AEC，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）。2.证第三边对应相等，再用 SSS 证全等。例 5 已知：如图 4，点 A、C、B、D 在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN.求证：AMCN，BMDN 证明 AC=BD（已知）AC+BC=BD+BC，即 AB=CD.在ABM 和CDN 中，ABM CDN（SSS）A=NCD，ABM=D（全等三角应角相等），AMCN，BMDN（同位角相等，两直行）。三、已知两角对应相等 1.证两已知角的夹边对应相等，再用 ASA 证全等。例 6 已知：如图 5，点

7、B、F、C、E 在同一条直线上，FB=CE，B=E，ACB=DFE.求证：AB=DE，AC=DF 证明 FB=CE（已知）FB+FC=CE+FC，即 BC=EF，ABCDEF（ASA）。AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2.证一已知角的对边对应相等，再用 AAS 证全等。例 7 已知：如图 6，AB、CD 交于点 O，E、F 为 AB 上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF.求证：ACEBDF.证明 OA=OB，OE=OFOA-OE=OB-OF，即 AE=BF，在ACE 和BDF 中，ACEBDF（AAS）。四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用

8、 AAS 证全等 例 8 已知：如图 7，在ABC 中，B、D、E、C 在一条直线上，AD=AE，B=C.求证：ABDACE.证明AD=AE（已知）1=2（等边对等角），ADB=180-1，AEC=180-2（邻补角定义），ADB=AEC，在ABD 和ACE 中，ABDACE（AAS）。四、常见全等三角形中添加辅助线方法（1）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 例如：如图，已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证 BECFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取

9、相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中：)()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN DBE DNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF 在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。ABCDEFN1234判定定理二基础知识梳理一基本概念全等的理解件和还缺少的条件并会一组边对应相等因此在寻找全等的条件时总是先应用寻找边相等的可能等角的对边相等已知条件中有两边对应相等可找夹角相等第三组边也相学习必备 欢迎下载

10、注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF 证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中，)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD BDECDM （SAS）又12，34（已知）1234180（平角的定义）32=90即：EDF90 FDMEDF 90 在EDF 和MDF 中 )()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMED

11、FMDED EDFMDF （SAS）EFMF（全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF 注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图，AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到：ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段

12、转移到同一个三角形中去。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE2AD AD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中 )()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD ACDEBD （SAS）BECA 在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。【思考练习】已知ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图，求证 EF2AD。（4）截长补短法作辅助线。例如：已知如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD上任一点。求证：ABACPBPC。分析：

13、要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN等于 AC，得 ABACBN，再连接 PN，则 PCPN，又在PNB 中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN,在APN 和APC 中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN APNAPC（SAS）PCPN 在BPN 中，有 PBPNBN（三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC 证明：（补短法）延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP 中 )(

14、)(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB ABPAMP（SAS）PBPM 又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。（5）延长已知边构造三角形。例如：如图，已知 ACBD，ADAC 于 A，BCBD 于 B，求证：ADBC 分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD CAEDBE 90 在DBE 与CAE

15、 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBECAE （AAS）ABCDEFM1234ABCDEABCDEFABCDNMP12ABCDEO判定定理二基础知识梳理一基本概念全等的理解件和还缺少的条件并会一组边对应相等因此在寻找全等的条件时总是先应用寻找边相等的可能等角的对边相等已知条件中有两边对应相等可找夹角相等第三组边也相学习必备 欢迎下载 EDEC EBEA（全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）（6）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 ABCD，ADBC 求证：

16、AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC 与CDA 中 )(43)()(21已证公共边已证CAAC ABCCDA （ASA）ABCD（7）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E。求证：BD2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFB

17、EC90 在BEF 与BEC 中，)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEFBEC （ASA）CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等）BAC=90 BECF（已知）BAC CAF90 1BDA901BFC90 BDABFC 在ABD 与ACF 中 )()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABDACF（AAS）BDCF（全等三角形对应边相等）BD2CE（8）连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图，AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有ABDC 和对顶角两个条件

18、，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 ABDC，ACBD，若连接 BC，则ABC 和DCB 全等，所以，证得AD。证明：连接 BC，在ABC 和DCB 中 )()()(公 共 边已知已知CBBCDBACDCAB ABCDCB (SSS)AD (全等三角形对应边相等)（9）取线段中点构造全等三有形。例如：如图，ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBM NCM，所以

19、NBCNCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN 中 )()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN ABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC 在NBM 与NCM 中)()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCMBMNCNB NMB NCM，(SSS)NBCNCB（全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。五、常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等

20、，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等ABCD123

21、4DCBAEF12DCBAODCBAMN判定定理二基础知识梳理一基本概念全等的理解件和还缺少的条件并会一组边对应相等因此在寻找全等的条件时总是先应用寻找边相等的可能等角的对边相等已知条件中有两边对应相等可找夹角相等第三组边也相学习必备 欢迎下载 于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 三角形证明思路口诀 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。判定定理二基础知识梳理一基本概念全等的理解件和还缺少的条件并会一组边对应相等因此在寻找全等的条件时总是先应用寻找边相等的可能等角的对边相等已知条件中有两边对应相等可找夹角相等第三组边也相