2023年三角形中线与面积问题精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 课题 应用三角形中线解决图形面积问题 教师 杜浩洋 北京一零一中学 教学目标 1、使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；2、使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。培养学生发现、猜想和论证的能力；3、应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；教学重点 探究三角形重心的相关结论.教学难点 1、论证三角形重心的结论；2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题.教学过程 教学设计 师生活动 设计意图 一、问题引入 问题：园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同

2、的花卉，应该如何分配该花坛？(1)(2)(3)二、深入探究 在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。学生展示自己的划分结果。通 过 对 第（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。并提醒学生在划分时三等分点要标注。通过第（1）（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。通过学生在的展示，提升学生自信心。该 环 节的设计主要有两个目的：学习必备 欢迎下载 做法：证明：13ABDADCGBDGCDABDGBDADCGCDAGBAGCAGBCGBAGBAGCCGBABCADABCBCS

3、SSSSSSSSSSSSSSS是中边的中线同理，同理，猜想：三角形的重心将中线分为长度为 2:1 的两条线段。证明：12=1212:2:1GDCCGBCGBAGCGDCAGCGDBGCBCSSSSSSGDAGAG GD是中边的中线又即：结论：三角形的重心将中线分为长度为 2:1 的两条线段。老师提问：（1）该图形是如何作图得到的？其中点G 是怎样确定的？（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？学 生 讲 述 自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。教 师 板 书 证明过程。教师提问：重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何

4、数量关系？（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。培 养 学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。规 范 学生几何证明的书写过程。GCBADGFECBA三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展学习必备 欢迎下载 小结：（1）三角形的中线将三角形面积等分；（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（3）三角形的重心将中线分为 2：1 的两部分。三、应用练

5、习 练习 1：如图，在ABC中，点 D，E，F，G 分别为线段BC，AD，BE，CE的 中 点，,EFDSa(1):_.EDGABCEFDGSSS四边形求=_；（2）练习 2：如图，在ABC中，点 D 是 BC 边上任意一点，点 E，F，G 分别为线段 AD，BE，CE 的中点，则:_.ABCEFDGSS四边形 证明：,2EFDEDGBDFEFDABEBEDSa SbFBESSaEADSSa设为的中点为的中点 444(),:1:4ABDADCABCEFDGABCEFDGSaSbSab SabSS 四边形四边形同理，学 生 讲 述 证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。教师提问：（1）中线对三

6、角形面积的作用？（2）学到了哪些有关于重心的知识？学 生 思 考 并口述证明过程，教 师 板 书 和 修正。教师提问：此时图形中EFD与EGD的面积是否依然相等？该如何设参数？通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。将所得结论应用到图形面积的求解。通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。FGEDABCFGEABCD三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展学习必备

7、欢迎下载 练习 3：如图，在ABC中，点 D 是 BC 边上任意一点，点 E 是线段 AD 的中点，点 F，G 分别为ABD与ADC的重心，则:_.ABCEFDGSS四边形 ,EFDEDGSa Sb设 解法 1：直接应用结论：重心分中线为 2：1,得到面积关系。解法 2：连接 AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。四、拓展 现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？方法一：（做三条辅助线）学 生 用 两 种方法求解。老师提问：这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？几 何

8、 题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。使 学 生感受用代数法解决几何问题的简便。在学习AGFEBCDABCDAGFEBCD三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展学习必备 欢迎下载 方法二：(做两条辅助线)引入：教师提示：三角形的面积等分的 方 法 是 做 中线。而四边形可以怎样划分呢？学生做法：连接一条对角线将四边形分成两个三角形。连 接 两 条 对角线可以将四边形分成四个三角形。这 些 做 法 实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三

9、角形面积等分。本节课之前学生对重心的认识只是三条中线的交点，而本节课后再看到重心时还应想到：（1）重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（2）重心将中线分为 2：1 的两部分。AEBCDEFABCDEABCDEGFABCD三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展学习必备 欢迎下载 由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有AFENMEGCEFBGNEMDSSSS四边形四边形四边形四边形 证明：方法三：（做一条辅助线）教师提问：可否直接连接四边形对边

10、中点，将面积进行划分在重组？教师提示：前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。拓 展 学 生的思维能力。EGMNFABCDEGMNFABCDEGMNFABCD三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展学习必备 欢迎下载 五、课堂小结 知识方面：1、三角形中线等分三角形的面积。2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。3、三角形的重心将三角形的中线分为 2:1 两部分。数学学习方法：1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。2、用代数方法解决几何问题。3、转化的思想。六、作业 1、如何将三角形面积四等分。2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。FEABCD三角形重心的重要结论培养学生发现猜想和论证的能力应用本节课所得学过程教学难点教学设计一问题引入问题园艺工人要将一块三角形花坛升学生与人交流与协作的能力通过学生在的展示提升学生自信心学生展