2023年一元一次方程知识点总结归纳及经典例题1.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 一、知识要点梳理 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是 1 次；（3）整式方程 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为

2、0 的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即：（其中 m0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6，将其化为：=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤 变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据 注 意 事 项 去分母 方程两边都乘以各个分母的最小公倍数 等式性质 2 1 不能漏乘不含分母的项；2 分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号 去括号 先去小括号，再去中

3、括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1 分配律应满足分配到每一项 2 注意符号，特别是去掉括号 移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边 等式性质 1 1 移项要变号；2 一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边 合并同 类 项 把方程中的同类项分 别 合 并，化 成“bax”的 形 式（0a）合并同类项法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变 未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a，得abx 等式性质 2 分子、分母不能颠倒 要点诠释：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0 时，方程有唯一

4、解；a=0，b=0 时，方程有无数个解；a=0，b0 时，方程无解。牛刀小试 例 1、解方程（1）y-52221yy 例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值 已知方程104xx 的解与方程522xm的解相同，求m的值.例 3、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|x 名师总结 优秀知识点 二、经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是()A、5 B、6 C、7 D、8 举一反三：变式 1 判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x

5、+=2（4）2x2-1=1-2(2x-x2)变式 2 已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程，求a的值。变式 3（2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是()A5 B5 C7 D2 类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程：2、举一反三：变式 解方程：2x5 2 巧去括号解方程：4、举一反三：变式 解方程

6、：4运用拆项法解方程：5、5巧去分母解方程：6、举一反三：变式（2011 山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为(_)去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1).(_)去括号，得 9x+15=4x-2.（_）(_),得 9x-4x=-15-2.(_)合并，得 5x=-17.(合并同类项)（_）,得 x=.（_）6巧组合解方程：7、思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数 3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数 4，移项局部通分化简，可简化解题过程

7、。7巧解含有绝对值的方程：8、|x 2|30 思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则 xm或 xm；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 举一反三：【变式 1】（2011 福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.；变式 2 5

8、|x|-16 3|x|-4 变式 3 8利用整体思想解方程：9、思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。参考答案 例 1：解：是方程的是，共六个，所以选 B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三 1.解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 2.解析：分两种情况：（1）只含字母 y，则有(a-3)(2a+5)0 且 a-30 （2）只含字母 x，则有 a-30 且(a-3)(2a+5)0 不可

9、能 综上，a的值为。3.答案：B 例 2.解：移项，得。合并同类项，得 2x1。系数化为 1，得 x。举一反三 解：原方程可变形为 2x5 整理，得 8x18(2 15x)2x5，去括号，得 8x18215x2x5 移项，得 8x15x2x5182 合并同类项，得9x21 系数化为 1，得 x。例 4 解：去括号，得 去小括号，得 去分母，得(3x 5)88 去括号、移项、合并同类项，得 3x21 两边同除以 3，得 x7 原方程的解为 x7 举一反三 解：依次移项、去分母、去大括号，得 依次移项、去分母、去中括号，得 依次移项、去分母、去小括号，得 ，x48 例 5 解：原方程逆用分数加减法

10、法则，得 移项、合并同类项，得。系数化为 1，得。是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 例 6 解：原方程化为 去分母，得 100 x(13 20 x)7 去括号、移项、合并同类项，得 120 x20 两边同除以 120，得 x 原方程的解为 总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三【答案】解：原方程可变形为(_ 分式的基本性质_)去分母，得 3（3x+5）=2(2x

11、-1).(_等式性质 2_)去括号，得 9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）(_ 移项_),得 9x-4x=-15-2.(等式性质 1_)合并，得 5x=-17.(合并同类项)（_系数化为 1_）,得 x=.（等式性质 2）例 7 解：移项通分，得 化简，得 去分母，得 8x1449x99。移项、合并，得 x45。例 8 解法一：移项，得|x 2|3 当 x20 时，原方程可化为 x23，解得 x5 当 x20 时，原方程可化为(x 2)3，解得 x1。所以方程|x 2|30 的解有两个：x5 或 x1。解法二：移项，得|x 2|3。因为绝对值等于 3 的数有两个：3 和3，所以

12、 x23 或 x23。分别解这两个一元一次方程，得解为 x5 或 x1。举一反三 1.【答案】2.解：5|x|-3|x|16-4 2|x|12|x|6 x6 3.解：|3x-1|8 3x-18 3x18 3x9 或 3x-7 x3 或 例 9 解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化 1 得：总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习 一、选择题 1、已知下列方程：（1）x-2=x3;(

13、2)0.3x=1;(3)2x=5x-1;(4)x2-4x=3;(5)x=0;(6)x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列四组变形中，正确的是（）A 由 5x+7=0,得 5x=-7 B 由 2x-3=0,得 2x-3+3=0 C 由6x=2,得 x=31 D 由 5x=7,得 x=35 3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头 2 小时可把空池灌满；单独开乙水龙头 3 小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）A56小时 B65小时 C2 小时 D3 小时 是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同

14、一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 4、下列方程中，是由方程 7x-8=x+3变形而得到的是（）A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的变形中，是移项的是（）A 由 3=25x，得25x=3 B 由 6x=3+5x，得 6x=5x+3 C 由 2x=-1，得 x=-21 D 由 2x-3=x+5，得 2x-x=5+3 6、方程 6x=3+5x 的解为（）A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3 7、方程 4(a-x)-4(x+1)=60 的解

15、是 x=-1，则 a 为（）A -14 B 20 C 14 D -16 8、动物园的门票售价：成人 50 元张，儿童 30 元张。某日动物园售出门票 700 张，共得 29000 元。设儿童票售出 x 张，依题意可列出下列哪个一元一次方程（）A、30 x+50(700-x)=29000 B、50 x+30(700-x)=29000 C、30 x+50(700+x)=29000 D、50 x+30(700+x)=29000 9、解方程31x-24x=1，去分母正确的是（）A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1 C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12-3X

16、=6 10、如果615 x-2 的倒数是 3，那么 x 的值是（）A、-3 B、-1 C、1 D、3 11、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖 960 元，以成本计算，其中一台盈利 20，另一台亏本 20，则这次出售中商场（）A 不赔不赚 B 赚 160 元 C 赚 80 元 D 赔 80 元 12、笼中有鸡兔共 12 只，共 40 条腿，设鸡有 X只，根据题意，可列方程为（）A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D240-4(20-X)=X 12、已知下列方程：22xx；0.31x；512xx；243xx；6x；20 xy其中一元一次方程的个数是 （

17、）A2 B3 C4 D5 13、已知关于x的方程5(21)axax 的解是1x ，则a的值是 （）A-5 B-6 C-7 D8 14、方程3521xx 移项后，正确的是 （）A325 1xx B 321 5xx C321 5xx D 321 5xx 15、方程2412332xx，去分母得 （）A22(24)33(1)xx B 123(24)183(1)xx C12(24)18(1)xx D 62(24)9(1)xx 16、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 km的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 25 km，则乙的时速是 （）A125 km B15 km C175 km D20

18、km 17、某商店卖出两件衣服，每件 60 元，其中一件赚 25，另一件赔 25，那么这两件衣服售出后商店是 （）A不赚不赔 B 赚 8 元 C亏 8 元 D 赚 15 元 二、填空题：1、圆的周长为 4，半径为 x,列出方程为 。2、已知方程（m-2）x1m+5=9是关于 x 的一元一次方程，则 m=.3、已知代数式 x+2y 的值是 3，则代数式 2x+4y+1 的值是 。是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 4、3a32

19、mb4与 2am6b4是同类项，则 m=.5、若yx+（y+1）2=0,则 x-y=.6、某商品的进价为 250 元，为了减少库存，决定每件商品按标价打 8 折销售，结果每件商品仍获利 10 元，那么原来标价为 。7、当 x=时，1528x的值是 0.8、7.1 班发作业本，若每人发 4 本，则还余 12 本，若每人发 5 本，则还少 18 本，那么该班有 名学生。9、使(1)60ax 为关于x的一元一次方程的a_（写出一个你喜欢的数即可）10、当m_ 时，式子273m的值是-3 11、若3122mxy与224nx y在某运算中可以合并，则_m，_n 12、设某数为x，根据下列条件列出方程：（

20、1）某数的23比它的相反数大 5_；（2）某数的13与12的差刚好等于这个数的 2 倍_ 13、某次数学竞赛共出了 15 道选择题，选对一题得 4 分，选错一题扣 2 分若某同学得 36 分，他选对了_道题（不选算错）14、某商场对某种商品作调价，按原价 8 折出售，此时商品的利润率为 10，此商品的进价是 1000元，则商品的原价是_.15、某人将 1000 元存入银行，定期两年，若年利率为 2.27，则两年后利息为_元，若扣除 20的利息税，则实际得到的利息为_元，银行应付给该储户本息共_元 16、根据你们班男、女生人数编一道应用题：_ _.假设适当的未知数，列出方程 _ 三、解答题：1、

21、解方程（1）6x-3(5x-2)=0 (2)20-2x=x-1 （3）412 x=32x-2 (4)2.04.0 x-5.03x=2 （5）(1)2(1)1 3xxx （6）321123xx （7）xx212 （8）42312yy 四、家庭练习 一、填空题：1、已知方程（a-2）x|a|-1=1 是一元一次方程，则 a=_，x=_ 是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 2、下列说法：、等式是方程；、x=4 是方程 5x+20=

22、0 的解；、x=-4和 x=6 都是方程x-1=5 的解其中说法正确的是_ _（填序号）3、已知代数式87x与62x的值互为相反数，那么x的值等于_ 4、如果方程 _ 5、三个连续奇数的和是 75，则这三个数分别是_。6、我校球类联赛期间买回排球和足球共 16 个，花去 900 元钱，已知排球每个 42 元，足球每个 80元，设排球买了 x 个。则可列程为 ，7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为 22，这四个数为 8、数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得 5 分，不答或答错一道题倒扣 3 分，要得到 34 分必须答对的题数是 ，9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下

23、方式收取：用水不超过 10 吨，每吨按 0.8 元收费，超过 10 吨的部分按每吨 1.5 元收费，王老师三月份平均水费为每吨 1.0 元，则王老师家三月份用水_吨.二、选择题：1、若ab，则下列式子正确的有（）a2b2 13a12b 34a34b 5a15b1 （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 2、下列变形中，正确的是 A、若 ac=bc，那么 a=b。B、若cbca，那么 a=b C、ab，那么 a=b。D、若 a2=b2那么 a=b 3、给出下面四个方程及其变形：48020 xx 变形为；xxx 75342变形为；253215xx变形为；422xx变形为；其中变形正确的是

24、（）A B C D 4、如果方程 6x+3a=22 与方程 3x+5=11 的解相同，那么 a=（）A.103 B.310 C.-103 D.-310 5、将方程131212xx去分母，得到62236xx，错在（）A、最简公分母找错 B、去分母时，漏乘 3 项 C、去分母时，分子部分没有加括号 D、去分母时，各项所乘的数不同 6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人 3 张多 24 张，比平均每人 4 张少26 张，这个班共展出邮票的张数是（）A.164 B.178 C.168 D.174 7、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了 1200 元，其中一个盈利 50%，另一个亏本

25、 20%，在这次买卖中，这家商场（）A.不赔不赚 B.赔 100 元 C.赚 100 元 D.赚 360 元 8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70 只,已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196 条,则鸵鸟的头数比奶牛多 ()A、20 只 B、14 只 C、15 只 D、13 只 三、运算题：1、)()(1161232xxx 2、32)4(212xxx 3、151423xx 4、21101211364xxx 5.)()(1161232xxx 6.151423xx 四当 x 为何值时，代数式12x与113x 的值大 2.是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数

26、结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程

27、，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 1、数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9，0 b9，0 c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。例 1、若三个连续的偶数和为 18，求这三个数。例 2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此

28、数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程 2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差_。例 1、如果今天是星期三，那么一年（365 天）以后的今天是星期_ 例 2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2 个数，则它们的和一定能被_整除。A 3 B 4 C 5 D 6 例 3、如果某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，且它们的日期之和为 80，那么这个月的 4 号是星期几？3、等积变形问题 常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例 1、用直径为 4cm的圆钢，锻造一个重 0.

29、62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重 7.8g，应截圆钢多长？例 2.用直径为 90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252mm内高为 81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数314.）4、和、差、倍、分问题：倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.例 1.某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

30、例2甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。（2）配套问题：例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 例 2.机械厂加工车间有 85 名工

31、人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 85x人 10 85x 等量关系：小齿轮数量的2 倍大齿轮数量的 3 倍 解：设分别安排 x 名、85x名工人加工大、小齿轮 3 162 10 85()()xx 4817002068170025xxxx 8560 x人 答：略.（3）分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的

32、个数和学生的人数。例2.三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题 常用等量关系：各部分之和总量。）（4）年龄问题：例 1、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄。5、工程问题 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 1.一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程

33、由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，(115+112)3+x12=1，.例 2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长 6500 米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成 480 米，乙队平均每天比甲队多完成 220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？6、打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）基本关系式：利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/

34、进价 。由可得出利润标价折数进价。由可得出利润率 。市场经济问题 （1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率商品利润商品成本价100%（3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售 例 1、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是 115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那

35、么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 例 2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以 135 元售出，若按成本计算，其中一件赢利 25%，另一件亏损 25%，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 同地不同时；甲的时间

36、=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开

37、出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲 乙 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140 x+90(x+1)=480 解这个方程，230 x=390 x=11623 答：略.（2）分析：相背而行，画图表示为：600 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230 x

38、=120 x=1223 答：略.（3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。解：设x小 时 后 两 车 相 距600公 里，由 题 意 得，(140 90)x+480=600 50 x=120 x=2.4 答：略.（4）分析：追及问题，画图表示为：甲 乙 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得，140

39、x=90 x+480 解这个方程，50 x=480 x=9.6 答：略.（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140 x=90(x+1)+480 50 x=570 解得，x=11.4 答：略.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，

40、求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 1、A、B两地相距 150 千米。一辆汽车以每小时 50 千米的速度从 A地出发，另一辆汽车以每小时40 千米的速度从 B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距 30 千米？2、甲、乙两人练习 100 米赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，如果甲让乙先跑 1 秒，那么甲经过几秒可以追上乙？3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2 小时 45 分，逆风要 3 小时，已知风速是 20 千米小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥，

41、用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？5、火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求列车的长度。8、银行储蓄问题。顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%）利润每个期数内的利息本金100%利息本金利率期数 注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率12日利率365。本息和本金_本金_（1_）本金（不考虑利息税）本息和本金_本

42、金_（1_）（考虑利息税）例 9.某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 x，250（1+x）=252.7，x=0.0108 所以年利率为 0.0108 2=0.0216 1、张先生于 1998 年 7 月 8 日买入 1998 年中国工商银行发行的 5 年期国库券 20000 元，若在 2003年 7 月 8 日可获得利息数为 2790 元，则这种国库券的年利率是多少？是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或

43、除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般名师总结 优秀知识点 2、小明的爸爸前年存了年利率为 2.25 的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值 576 元的 CD机，问小明爸爸前年存了多少钱？3、教育储蓄年利率为 1.98，免征利息税，某企业发行的债券月利率为 2.15，但要征收 20的利息税，为获取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄呢？某人存入 28000 元，一年到期后可以多收益多少元？4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约470

44、0 元，问这种债券的年利率是多少？（精确到 0.01）5、某人将 20000 元钱分成两部分，按两种不同方式存入银行，其中 10000 元按活期方式存一年，另 10000 元按定期存一年，一年后共取回 21044 元，又已知定期一年存款约利率为 0.63，求活期存款月利率是多少？6、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？7、将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80 毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱

45、形水桶的高（精确到 0.1 毫米，3.14）8、某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件 已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一共获利 1440 元，求这一天有几个工人加工甲种零件 9、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超过部分按基本电价的 70%收费 （1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？是否是某方程的解将其代入方程两边看两边是否相等知识点二一元一次一个数或除以同一个不为的数结果仍相等如果那么如果那么要点诠释分移到另一边把方程中的同类分别合并化成的形式等式性质移要变号一般