2023年三角函数周期题库.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数周期的求法 高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1求函数 y=3sin（332x）的周期 解：y=f（x）=3sin（332x）=3sin（332x+2）=3sin（3232x）=3si

2、n3)3(32x =f（x+3）这就是说，当自变量由增加到 x+3，且必增加到 x+3时，函数值重复出现。函数 y=3sin（332x）的周期是 T=3。例 2：求 f（x）=sin6x+cos6x 的周期 解f（x+2）=sin6（x+2）+cos6（x+2）=cos6x+sin6x=f（x）f（x）=sin6x+cos6x 的周期为 T=2 例 3：求 f（x）=xxxx3coscos3sinsin的周期 解：f（x+）=)cos()cos()(3sin)sin(xxxx 学习必备 欢迎下载=xcoxxx3cos3sinsin=xxxx3coscos3sinsin=f（x）求 f（x）=x

3、xxx3coscos3sinsin的周期：T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为 y=Asin（x）、y=Acos（x）、tg（x）形成（其中 A、为常数，且 A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：2、2、。例 4：求函数 y=1-sinx+3cosx 的周期 解：y=1-2（21 sinx-23cosx）=1-2（cos3sinx-sin3 cosx）=1-2sin（x-3）这里=1 周期 T=2 例 5：求：y=2（23sinx-21cos3x）-1 解：y=2（23sinx-21cos3x）-1 =2sin（3x-6）-1 这里=3 周期为 T=32 例 6：求 y=tg（1+5

4、3 x）的周期 解：这里=53，周期为：T=/53=35（2）如果 f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成 sinx、cosx、tgx 的形式，再确定它的周期。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 例 7：求 f（x）=sinx cosx 的周期 解：f（x）=sinx cosx=21sin2x 这里=3，f（x）=sinx cosx 的周期为 T=例 8：求 f（x）=sin2x 的周期 解：f（x）=sin2x=

5、22cos1x 而 cos2x 的周期为，f（x）=sin2x 的周期为 T=注：以上二题可以运用定义求出周期。例 9：求 y=sin6x+cos6x 的周期 解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+cos6x =（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）=(sin2x+cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1-43 sin22x =85+83cos4x 而 cos4x 的周期为 T=42=2,y=sin6x+cos6x 的周期为 T=2 例 10：函数 y=3sin2x-23sinx cosx+5co

6、s2x 的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x =3-23sinx cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1 =4+2(21cos2x-23sin2x =4+2cos(2x+3)么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x 的周期为 T=22 3定理法：如果 f(x)是几个周期函数代数和形式的

7、，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而 f1(x)的周期为 T1,f2(x)的周期为 T2，则 f(x)的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（P1、P2）=1 事实上，由2121PPTT（既约分数），得 T=P2T1=P1T2 f（x+P1T2）=f1（x+P1T2）+f2（x+P1T2）=f1（x+P2T1）+f2（x+P1T2）=f1（x）+f2（x）=f（x）P1T2是 f（x）的周期，同理 P2T1也是函数 f（x）的周期。例 11：求函数 y=tg6x+ctg8x的周期。解：y=tg6x 的周期为 T1=6，tg8x 的周期为 T2=8 由 P1T2=P

8、2T1，得21TT=21PP=34，取 P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x的周期为 T=P1T2=2。例 12：求函数 y=sin2x+sin3x的周期 解：sin2x 的周期为 T1=，sin3x 的周期为 T2=32 而21TT=23，即是 T=2T1=3T2，y=sin2x+sin3x的周期为 T=2T1=2 例 13：求函数 y=cos3x+sin4x的周期 的恒等式，即对于自变量x取定义域内的每个值时，上式都成立 2、根据公式求周期 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期

9、解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是|2T，对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是|T 例 3 求函数)623sin(3xy的周期 解：34232T 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例 4 求函数xxxy2sin2cossin32的周期 解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy 1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx 22T 例 5 已知函数),3cos3(sin3sin)(xxxxf求周期 解：32sin21)32cos1

10、(213cos3sin3sin)(2xxxxxxf )432sin(2221)32cos32(sin2121xxx 3322T 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 4、遇到绝对值时，可利用公式 2|aa,化去绝对值符号再求周期 例 6 求函数|cos|xy 的周期 解：22cos1cos|cos|2xxxy 22T 例 7 求函数|cos|sin|xxy的周期 解：xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos|sin|cos

11、|sin|22 )4cos1(21124cos11xx 函数|cos|sin|xxy的最小正周期 242T 5、若函数)()()(21xfxfxfyk，且)(,),(),(21xfxfxfk，都是周期函数，且最小正周期分别为kTTT,21，如果找到一个正常数T,使kkTnTnTnT2211，(knnn,21均为正整数且互质)，则T就是)()()(21xfxfxfyk的最小正周期 例 8 求函数xxy21cossin的周期 解：xsin的最小正周期是21T，x21cos的最小正周期是42T 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且

12、必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 函数y的周期2211TnTnT，把21TT，代入得 21 4 2nn，即212nn，因 为21,nn为 正 整 数 且 互 质，所 以 1 ,221nn 函数xxy21cossin的周期42211 TnT 例 9 求函数xxy43cos32sin的周期 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 函数的周期性-函数的周期性不仅存在于三角

13、函数中，在其它函数或者数列中突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络 1.函数的周期性定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的 2.若 T 是周期，则 kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(

14、x)=C；3.若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+a)=f(x a),则 2a为函数 f(x)的周期。（若 f(x)满足 f(a+x)=f(a x)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b，（ab），则 2（b-a）么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 是 f（x）的一个周期 5.若函数 f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0

15、）（ab），则 2（b-a）是 f（x）的一个周期。(证一证)6.若函数 f（x）有一条对称轴 x=a 和一个对称中心（b，0）（a0,使，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 是对称轴，则周期是 4；4、，；5、；由已知，周期为6。四.经典例题做一做【例 1】已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数，且

16、当 x(0,1)时，f(x)=x+1.求 f(x)在(1,2)上的解析式。解法 1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）x(1,2),则-x(-2,-1),2-x(0,1),T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x(1,2).解法 2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x(0,1),f(x)=x+1.是偶函数 x(-1,0)时 f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为 2，x(1,2)时 x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思

17、想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例 2】f(x)的定义域是 R，且 f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 解：周期为 8，法二：依次计算 f(2、4、6、8)知周期为 8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例 3】若函数 在 R 上是奇函数，

18、且在 上是增函数，且.求 的周期；证明 f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线 x=2k+1轴对称,(kZ);讨论 f(x)在(1,2)上的单调性；解:由已知 f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期 T=4.设 P(x,y)是图象上任意一点,则 y=f(x),且 P 关于点(2k,0)对称的点为 P1(4k-x,-y).P关于直线 x=2k+1 对称的点为P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点 P1 在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又 f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-

19、x)=f(x)=y,点 P2 在图象上,图象关于直线2k+1 对称.么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 设 1x1x22,则-2-x2-x1-1,02-x22-x11.f(x)在(-1,0)上递增,f(2-x1)f(2-x2)(*)又 f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2).(*)为 f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对

20、称性的方法。【研究.欣赏】已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知 y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值-5.证明：；求 的解析式；求 在 上的解析式.解：是以 为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数，.当 时，由题意可设，由 得，.是奇函数，又知 在 上是一次函数，可设，而，当 时，从而 时，故 时，.当 时，有，.当 时，么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期

21、例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 .五提炼总结以为师 1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f（）的值为 A.0 B.C.T D.2.（2004 天津）定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数.若 f（x）的最小正周期是，且当 x0，时，f（x）=sinx，则 f（）的值为 A.B.C.D.【填空题】3.设 是定义在 上，以 2 为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间2，3上，=,则 =4.已知函数

22、f(x)是偶函数，且等式 f(4+x)f(4-x)，对一切实数 x 成立，写出 f(x)的一个最小正周 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 5.对任意 xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)=6.设 f(x)定义在 R 上的偶函数，且，又当 x(0，3时，f(x)=2x，则 f(2007)=。答案提示：1、A；由 f（）=f（+T）=f（）=f（），知 f（）=0.（或取特殊函

23、数 f（x）=sinx）2、D；f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.3、;4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)=-f(x+3)f(x)=-f(x+3)=f(x+6).周期是 6；f(69)=f(3)=f(-3)=-f(-3+3)=-6 6、，周期 T=6，F(2007)=f(3)=6 【解答题】7.设函数 f(x)的最小正周期为 2002，并且 f(1001+x)=f(1001x)对一切 xR 均成立，试讨论 f(x)的奇偶性.解:周期是 2002,f(2002+x)=f(x),又由 f(100

24、1+x)=f(1001 x)得 f(2002-x)=f(x)对任意的 x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设 f(x)为定义在实数集上周期为 2 的函数，且为偶函数，已知 x2,3时 f(x)=x，求 x-2,0时 f(x)的解析式。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 分析：由 T=2 可得 x-2,-1 和 x0,1时的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。解：因为函数 f(x)是

25、T=2 的周期函数，所以 f(x+2)=f(x).又由于 f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设 f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切 xR 均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1 时，f(x)=2x-1，求当 1x3 时，函数 f(x)的解析式。思路分析：f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2)该式对一切 xR 成立，以 x-2代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当 1x3 时，-1x-2 1，f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5，f(x)=-2x+5（10)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T

26、=a；（2）()()f xaf x，或()()f xaf xa或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x ()0)f x,则)(xf的周期T=2a；例 1：设()f x是定义在R上的奇函数，(4)()f xf x 且(3)f5，则(21)f_，(2005)f_ 答：5，5 例 2：设()f x是定义在R上的偶函数，且满足1(2)()f xf x，当0 x 1，()f x 2x，则(7.5)f_ 答：1 例 3：设()f x是定义在R上的奇函数，且(2)(2)f xf x，(1)f2，则(2)(7)ff_ 答：2(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=

27、3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，或()()f xaf x a则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载(6)()()(axfxfaxf，

28、则)(xf的周期 T=6a.(7)若 f(a+x)=f(a x)且 f(x)是偶函数,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数；若 f(a+x)=f(a x)且 f(x)是奇函数,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数。（8）若 f(a+x)=f(ax)且 f(x)是偶函数,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数；若 f(a+x)=f(ax)且 f(x)是奇函数,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。（9）若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2ba 的周期函数；（10）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a b)对称，则函数 y=f(

29、x)是周期为 2ba 的周期函数；（11）如果函数()yf x的图像有一个对称中心(,0)A a和一条对称轴()xb ab，则函数()yf x必是周期函数，且一周期为4|Tab；三.练习 1、函 数 f x对 于 任 意 实 数x满 足 条 件 12fxfx，若 15,f 则 5ff_ 2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载(A)1 (B)0

30、(C)1 (D)2 3已知函数)(xfy 是一个以 4 为最小正周期的奇函数，则)2(f（）A0 B4 C4 D 不能确定 4定义在 R上的函数)(xfy 为周期函数，最小正周期为 T，若函数)(xfy，),0(Tx时有反函数Dxxfy),(1，则函数)(xfy，)3,2(TTx的反函数为（）ADxxfy),(1 BDxTxfy),2(1 CDxTxfy),2(1 DDxTxfy,2)(1 6函数 f(x)为奇函数且 f(3x+1)的周期为 3，f(1)=1，则 f(2006)等于 A0 B1 C一 1 D2 7 设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)

31、5.47(f等于_(答：5.0)；8 定义在R上的偶函数()f x满足(2)()f xf x，且在 3,2 上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为_(答：(sin)(cos)ff)；9 已知()f x是偶函数，且(1)f=993，()g x=(1)f x是奇函数，求(2005)f的值(答：993)；么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 10 设 f x是 定 义 域 为 R 的 函 数，

32、且 21f xf x 1f x，又 222f，则2006f=(答：222)11 已知定义在R上的函数()f x是以 2 为周期的奇 函 数，则 方 程()0f x 在 2,2上 至 少 有_个实数根（答：5）12 已知()f x是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则()f x 是（）A.周期为20 的奇函数 B.周期为 20 的偶函数 C.周期为 40 的奇函数 D.周期为40 的偶函数（答：C）13.()(5)()0,(2)1(2008)f xxf xf xff RR为 上的奇函数，对任意，都有若，函数周期性分类解析 一定义：若 T为非零常数，对于定义域内

33、的任一 x，使 恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 二重要结论 1、，则 是以 为周期的周期函数；2、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、若函数，则 是以 为周期的周期函数 4、y=f(x)满足 f(x+a)=(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。5、若函数 y=f(x)满

34、足 f(x+a)=(a0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。6、，则 是以 为周期的周期函数.7、，则 是以 为周期的周期函数.8、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=(xR，a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、若 函 数y=f(x)的 图 像 关 于 直 线x=a,x=b(ba)都对称,则 f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数 的图象关于两点、都对称，则函数 是以 为周期的周期函数；11、函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的周期函数；12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a么就把函数叫做周期函数不为零的常

35、数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 对称，则 f(x)为周期函数且 2 是它的一个周期。13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 4 是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(xR，T0),则 f()=0.三、典例讲解 例 1（05.福建 12）是定义在 R上的以 3

36、 为周期的奇函数，且 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （）A6 B7 C4 D5 例 2.设函数 的定义域为 R，且对任意的 x，y 有，并存在正实数 c，使。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 例 3.已知 是定义在 R 上的函数，且满足：，求 的值。例 4.（2009 江西卷文）已知函数 是 上的偶函数，若对于，都有，且当 时，则 的值为 （）A B

37、C D 例 5.（天津卷 05）设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 y=f(x)的图象关于直线 对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_ 例 6（07 安徽）定义在 R上的函数 既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程 在闭区间 上的根的个数记为，则 可能为 （）A.0 B.1 C.3 D.5 四、巩固练习 已知偶函数 是以 为周期的周期函数，且当 时，则 的值为 2 设函数 是定义在 上的奇函数，对于任意么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期

38、例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 的，都有，当 时，则 3 知 是定义在实数集 上的函数，满足，且 时，.求 时，的表达式；证明 是 上的 （一）奇偶性周期性对称性全总结（二）奇偶函数定义、判断（前提是定义域须关于原点对称）（2010 广东理数）若函数 f（x）=3x+3-x与 g（x）=3x-3-x的定义域均为 R，则 D A f（x）与 g（x）均 为 偶 函 数 B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C f（x）与 g（x）均 为 奇 函 数 D.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（二）奇偶函数性质（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有0)0(f（3）两个偶

39、函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数（6）任意函数么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载)(xf均可表示成一个奇函数)()(21)(xfxfxg与一个偶函数)()(21)(xfxfxh的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性 例 1：（2009 重庆卷理）若1()21xf xa是奇函数，则a 变式：(

40、江西师大附中 20XX届高三上期中)已知定义域为R的函数abxfxx 122)(是奇函数.求a,b的值；例 2：（08 上海卷）若函数()()(2)f xxa bxa（常数abR，）是偶函数，且它的值域为4，则该函数的解析式()f x 224x 练习：（2010 山东）设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则 f(-1)=D (A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3（三）周期性：定义、判断 常见具有周期性的函数)()(xfaxf )(1)()(1)(xfaxfxfaxf或 )(1)(1)(xfxfaxf或)(1)(1)(xfxfaxf（四

41、）对称性：判断、性质（1）一个函数的对称性：么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 1、函 数)(xfy 关 于ax 对 称)()(xafxaf或)2()(xafxf 或)2()(xafxf 显然：特殊的有偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，则有关系式)()(xfxf；一般的有)()(xbfxaf，函数)(xfy 关于直线22)()(baxbxax 对称 2、函数)(xfy 关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf

42、2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf 一般的有cxbfxaf)()(，函数)(xfy 关于点)2,2(cba 对称 3、函数自身不可能关于by 对称，曲线则可能 例：（2010 四川理数）函数 f(x)x2mx1的图像关于直线 x1 对称的充要条件是 A（A）2m （B）2m （C）1m （D）1m （2）两个函数的对称性：1、)(xfy 与)(xfy关于 X 轴对称。2、)(xfy 与)(xfy关于 Y 轴对称。3、)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。4、)(xfy 与)(2xfay关于直线

43、ay 对称。么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。7、)()(1xfyxfy与关于直线xy 对称 例：（08 全国 2）函数1()f xxx 的图像关于（C ）Ay轴对称 B 直线xy对称 C 坐标原点对称 D 直线xy 对称 练习：（2010 重庆理数）函数 412xxfx的图象 D A.关于原点对称 B.关于直线 y=x

44、 对称 C.关于 x轴对称 D.关于 y 轴对称（2009 全国卷）函数22log2xyx的图像 （A）关于原点对称（B）关于主线yx 对称（C）关于y轴对称（D）关于直线yx对称（四）三性的综合应用（08湖 北 卷6）已 知()f x在R上 是 奇 函 数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f xf xxf xxf当时，则A A.-2 B.2 C.-98 D.98（08 四川卷）函数 f x满足 213f xf x，若 12f，则99f(C)（）13 （）2 （）132 （）213 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到

45、且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载（2010 安徽理数）若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1，f(2)=2 则)4()3(ff的值为（）A、1 B、1 C、2 D、2（09 江西卷）已知函数()f x是(,)上的偶函数，若对于0 x，都有(2()f xf x），且当0,2)x时，2()log(1f xx），则(2008)(2009)ff的值为(C )A2 B1 C1 D2 (09 东兴十月)定义在 R上的函数)(xf的图象关于点o,43对称，且满足)23()(xfxf，1)1(f，2)0(f，则)20

46、06(.)2()1(fff_ 2009 广东三校一模）定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 741fff等于 (B )A.-1 B.0 C.1 D.4 （2009 全国卷理）函数()f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都 是 奇 函 数，2)1(f则)2009(f(D )A、2009 B、-2009 C、-2 D.、2 么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载 熟悉并理解上述结论，可帮助我们快速完

47、成下列习题。若)x2(fy 的图象关于直线2ax 和)ab(2bx对称，则)x(f的一个周期为 A.2ba B.)ab(2 C.2ab D.)ab(4 设函数)x(fy 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x 对称，已知2,2x时，函 数1x)x(f2，则2,6x时，)x(f .（2007 天津，7）在R上定义的函数)x(f是偶 函 数，且)x2(f)x(f，若)x(f在 区间2,1上是减函数，则)x(f A.在区间1,2上是增函数，在区间4,3上是增函数 B.在区间1,2上是增函数，在区间4,3上是减函数 C.在区间1,2上是减函数，在区间4,3上是增函数 D.在区间1,2上是减函数，在

48、区间4,3上是减函数（2005 天津，16）设)x(f是定义在 R 上的奇 函 数，且)x(fy 的 图 象 关 于 直 线21x 对称，则)5(f)4(f)3(f)2(f)1(f .么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载（2006 山东，6）已知定义在 R 上的奇函数)x(f满足)x(f)2x(f，则)6(f的值为 A.1 B.0 C.1 D.2 已知偶函数)x(fy 满足)1x(f)1x(f，且当0,1x时，943)x(fx，

49、则)5log(f31的值等于 A.1 B.5029 C.45101 D.1 （2006 广东佛山）设)x(f为 R 上的奇函数，且0)3x(f)x(f，若1)1(f，2log)2(fa，则a的取值范围是 .函 数)x(f对 于 任 意 实 数x满 足 条 件)x(f1)2x(f，若5)1(f，则)5(f(f等于 A.5 B.5 C.51 D.51 （山东临沂）已知定义在 R 上的函数)x(fy 满足下列三个条件：对于任意的Rx，都有)x(f)4x(f；对于任意的2xx021，都有)x(f)x(f21；函数)2x(fy的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是 A.)5.15(f)5(f)5.6(f

50、 B.么就把函数叫做周期函数不为零的常数叫做这个函数的周期对于一个周期例求函数的周期解这就是说当自变量由增加到且必增加到时函数值重别是例求函数的周期解这里周期例求解例求这里周期为的周期周期为解学习必备 欢迎下载)5.15(f)5.6(f)5(f C.)5.6(f)5.15(f)5(f D.)5.6(f)5(f)5.15(f （江苏盐城）定义在),(上的偶函数)x(f满足)x(f)1x(f，且在0,1 上是增函数，下面是关于)x(f的判断：)x(f是周期函数；)x(f的图象关于直线1x 对称；)x(f在1,0上是增函数；).0(f)2(f 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。（200