2023年不等式推理与证明知识点总结归纳1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 课题名称 不等式 教学目标 同步教学知识内容 1、不等式的性质 2、一元二次不等式及其解法 3、二元一次不等式与平面区域 4、线性规划问题 5、基本不等式定理及重要的不等式 6、各类型不等式的解法 个性化学习问题解决 重视对基本定义、概念的理解，掌握基本的运算公式，掌握中等难度的常规题目的解题思路与方法并进行归纳总结。教学重点 1、线性规划问题的求解 2、基本不等式的灵活用 3、掌握各类型不等式的解法 4、不等式的证明 教学难点 线性规划问题的求解；灵活运用不等式的性质、基本不等定理及重要不等式证明不等式 教务部主办审批 一、基本知识点讲解 1、实数a、b大小的比较：0ab

2、ab ；0abab ；0abab 比较两个数的大小可以用相减法、相除法、平方法、开方法、倒数法等。学习必备 欢迎下载 2、不等式的性质：对称性 abba 传递性,ab bcac 加法单调性 abacbc 乘法单调性,0ab cacbc；,0ab cacbc 同向不等式相加,ab cdacbd 异向不等式相减 dbcadcba,同向不等式相乘 0,0abcdacbd 异向不等式相除 dbcacdba 0,0 倒数关系babababa110;110 平方法则)1,(0nNnbabann 开方法则 0,1nnabab nn 3、一元二次不等式及其解法：（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次

3、数是2的不等式。（2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系 判别式24bac 0 0 0 二次函数2yaxbxc 0a 的图象 一元二次方程20axbxc 0a 的根 有两个相异实数根 1,22bxa 12xx 有两个相等实数根122bxxa 没有实数根 一元二次不等式的解集 20axbxc 0a 12x xxxx或 2bx xa R 20axbxc 0a 12x xxx 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢

4、迎下载 4、线性规划问题：（1）二元一次不等式 1定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式 2二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组 3二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对,x y，所有这样的有序数对,x y构成的集合（2）在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC ，坐标平面内的点00,xy 1若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的上方 2若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的下方（3）在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC 1 若0，则0 xyC 表 示 直 线0 xyC 上 方 的 区 域；

5、0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域 2 若0，则0 xyC 表 示 直 线0 xyC 下 方 的 区 域；0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域（4）线性规划相关概念 线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解：满足线性约束条件的解,x y 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 （5）解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中

6、作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。5、基本不等式 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载（1）设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b 的几何平均数（2）均值不等式：若0a，0b，则：2abab（当且仅当 a=b 时取等号）注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针 （3）基本不等式定理的形式 1整式

7、形式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR 2根式形式：2abab（0a，0b）a+b)a222b（3分式形式：ab+ba2（a、b 同号）4倒数形式：a0a+a12 ；ab 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则：0)()(0)()(xgxfxgxf；0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 )()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf 2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf或0)(0)(

8、xgxf 2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式 )10()()()1()()()()(axgxfaxgxfaaxgxf )0,0(lglg)()(babaxfbaxf （5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不

9、等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载 （7）含参不等式解法 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注:1,解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。2,按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集 二、基础训练 A 1若 b0，则 ab 的值()A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定 2已知 Mx2y24x2y，N5，若 x2 或 y1，则()AMN BM0 的解集是()A(3,2)B(2，)C(，3)(2，)D(，2)(3，)4函数 y

10、x x1 x的定义域为()Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0 x1 5不论 x 为何值，二次三项式 ax2bxc 恒为正值的条件是()A a0，b24ac0 B a0，b24ac0 C a0，b24ac0 Da0，b24ac1 的解集是x|x 1 B不等式44xx20 的解集是 R C不等式44xx20 的解集是空集 D不等式 x22axa540 的解集是 R 7若关于 x 的不等式 2x1a(x2)的解集是 R，则实数 a 的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca10 B3x02y08 D3x02y08 9不等式组 xy1xy1 00 x2，表示的平面区域的面积是()A2 B4 C6

11、 D8 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载 10 在 直 角 坐 标 系 内，满 足 不 等 式 x2 y20 的 点(x，y)的 集 合(用 阴 影 表示)是()11一个两位数个位数字为 a，十位数字为 b，且这个两位数大于 50，可用不等关系表示为 _ 12已知 x1，则 x22 与 3x 的大小关系为_ 13设集合 Ax|(x1)20 的解集是_ 15原点 O(0,0)与点集 A(x，y)|x2y10，yx2,2xy50

12、所表示的平面区域的位置关系是_，点 M(1,1)与集合 A 的位置关系是_ 三、基础训练 B 1若02522xx，则221442xxx等于（）A54 x B3 C3 Dx45 2下列各对不等式中同解的是（）A72 x与 xxx72 B0)1(2x与 01x C13 x与13 x D33)1(xx与 xx111 3若122x()142x，则函数2xy 的值域是（）A1,2)8 B1,28 C1(,8 D2,)4设11ab ,则下列不等式中恒成立的是()Aba11 Bba11 C2ab D22ab 5如果实数,x y满足221xy,则(1)(1)xyxy有()A最小值21和最大值 1 B最大值 1

13、 和最小值43 C最小值43而无最大值 D最大值 1 而无最小值 6二次方程22(1)20 xaxa ,有一个根比1大,另一个根比1小,则a的取值范围是 ()A31a B20a C10a D02a 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载 7 若方程2222(1)34420 xmxmmnn 有实根，则实数m _；且实数n _。8一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为_。9设函数23()lg()4f

14、xxx，则()f x的单调递减区间是 。10当x_时，函数)2(22xxy有最_值，且最值是_。11若22*1()1,()1,()()2f nnn g nnnnnNn ,用不等号从小到大 连结起来为_。12解不等式（1）2(23)log(3)0 xx （2）2232142xx 13不等式049)1(220822mxmmxxx的解集为R,求实数m的取值范围。14（1）求yxz2的最大值，使式中的x、y满足约束条件.1,1,yyxxy（2）求yxz2的最大值，使式中的x、y满足约束条件2212516xy 15已知2a，求证：1loglog1aaaa 四、综合训练 1一元二次不等式220axbx 的

15、解集是1 1(,)2 3，则ab的值是（）。A.10 B.10 C.14 D.14 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载 2设集合等于则BAxxBxxA,31|,21|（）A2131，B，21 C，3131 D，2131 3关于x的不等式22155(2)(2)22xxkkkk的解集是()A12x B12x C2x D2x 4下列各函数中，最小值为2的是()A1yxx B1sinsinyxx，(0,)2x C2232xyx D21

16、yxx 5如果221xy,则34xy的最大值是()A3 B51 C4 D5 6已知函数2(0)yaxbxc a的图象经过点(1,3)和(1,1)两点,若01c,则a的取值范围是 ()A(1,3)B(1,2)C2,3 D1,3 7设实数,x y满足2210 xxy，则xy的取值范围是_。8若|3,Ax xababa bR ，全集IR，则IC A_。9若121logaxa 的解集是1 1,4 2,则a的值为_。10当02x 时，函数21cos 28sin()sin2xxf xx的最小值是_。11设,x yR 且191xy,则xy的最小值为_.12不等式组222232320 xxxxxx 的解集为_

17、。基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关学习必备 欢迎下载 13已知集合23(1)23211331|2,|log(9)log(62)2xxxAxBxxx ,又2|0ABx xaxb,求ab等于多少？14函数4522xxy的最小值为多少？15已知函数224 31mxxnyx的最大值为7，最小值为1，求此函数式。16设,10a解不等式：2log220 xxaaa 基本的运算公式掌个性化学习问题解决握中等难度的常规题目的解题思式的性质基本不等定理及重要不等式证明不等式教务部主办审批一基本同向不等式相加异向不等式相减同向不等式相乘异向不等式相除倒数关