2023年不等式知识点总结归纳全面汇总归纳1.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 新课标回归教材 不等式 1、不等式的性质:名称 不等式 名称 不等式 对称性 abba(充要条件)传递性,ab bcac 可加性 abacbc (充要条件)同向不等式可加性:,ab cdacbd 异向不等式可减性:,ab cdacbd 可乘性,0,0ab cacbcab cacbc 同向正数不等式可乘性:0,0abcdacbd 异向正数不等式可除性:0,0ababcdcd 乘方法则 0(,2)nnababnN n 开方法则 0(,2)nnabab nN n 倒数法则 110,ababab 常用结论 33abab(充要条件)注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的

2、仅仅是证明不等式的依据.典例:1)对于实数,a b c中,给出下列命题:22abacbc;22acbcab;220abaabb ;110abab ;0baabab ;0|abab ;0abcabcacb ;11,0,0ababab.其中正确的命题是 .2)已知11xy ,13xy ,则3xy的取值范围是1,7;3)已知abc,且0,abc 则ca的取值范围是1(2,)2.2、不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中

3、间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)设01,0aat且,比较11loglog22aatt和的大小 答案:当1a 时,11loglog22aatt(在1t 时取“=”);当01a 时,11loglog22aatt(在1t 时取“=”);2)已知0,1aa,试比较3211,aapaqa的大小.(答:pq)3)设2a,12paa,2422aaq,试比较,p q的大小(答:pq);4)比较 1+log 3x与2log 2(01)xxx且的大小.答:当01x 或43x 时,1+log 3x2log 2x;名师总结 优秀知识点 当413x 时,1+log 3x2l

4、og 2x;当43x 时,1+log 3x2log 2x 5)若,a b cR,且0.50.522log,(0.5)log,(0.5)logabcabc,比较,a b c的大小.(答:cba)3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”.典例:1)下列命题中正确的是(B)A.1yxx 的最小值是 2 B.423(0)yxxx 的最大值是24 3 C.2232xyx的最小值是 2 D.423(0)yxxx 的最小值是24 3;2)若21xy,则24xy的最小值是2 2;3)已知,x yR,且1xy,则82xy的最小值为 18;变式:已知01x,则821xx的最小值为

5、18 ;:已知,x yR,且419xy,则xy的最大值为 1 ;:已知,x yR,且4xyxy,则xy的最小值为 9 ;4.常用不等式有:(1)2221122abababab(,a bR当ab时取=号)(2)222()2(,2ababab a bR当ab时取=号)上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.(3)真分数性质定理:若0,0abm,则bbmaam(糖水的浓度问题).典例:若,a bR,满足3abab ,则ab的取值范围是9,.5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与

6、 1 的大小,然后作出结论.)常用的放缩技巧有:211111111(1)(1)1nnn nnn nnn(右边当2n 时成立)11111121kkkkkkkkk 典例:1)已知abc,求证:222222a bb cc aabbcca;2)已知,a b cR,求证:222222()a bb cc aabc abc;3)已知,a b x yR,且11,xyab,求证:xyxayb;4)若,a b c是不全相等的正数,求证:lglglglglglg222abbccaabc;5)若*nN,求证:2(1)1(1)nn 21nn;倒数法则常用结论充要条件注表中是等价关系的是解证明不等式的依据差后通过分解因式

7、配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指在时取当时在时取已知试比较的大小答设与时试比较的大小答比较且的名师总结 优秀知识点 6)求证:2221111223n.6.常系数一元二次不等式的解法:判别式图象法 步骤:(1)化一般形式:20(0)axbxc ,其中0a;(2)求根的情况:200(0,0)axbxc 能否因式分解;(3)由图写解集:考虑2(0)yaxbxc a图象得解.典例:解不等式2620 xx .(答:21,)32x)注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应

8、一元二次方程(函数)的根(零点).典例:若关于x的不等式20axbxc 的解集为|,(0)x xmxn nm 或,解关于x的不等式20cxbxa .(答:11|,x xxnm 或)7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回);(3)根据曲线显现()f x的符号变化规律,写出不等式的解集.典例:1)解不等式2(1)(2)0 xx.(答:|1x x 或2x );2)不等式2(2)230 xxx 的解集是|3,1x xx 或;3)设函数()f

9、x、()g x的定义域都是R,且()0f x 的解集为|12xx,()0g x 的解集为,则不等式()()0f xg x的解集为(,1)2,);4)要使满足关于x的不等式2290 xxa(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式2430 xx 和2680 xx 中的一个,则实数a的取值范围是817,)8.8.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.典例:1)解不等式25123xxx(答:(1,1)(2,3);2)关于x的不等式0

10、axb 的解集为(1,),则关于x的不等式02axbx的解集为(,1)(2,).注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.9.绝对值不等式的解法:(了解)(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)典例:解不等式31|2|2|42xx ;(答:xR);(3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;倒数法则常用结论充要条件注表中是等价关系的是解证明不等式的依据差后通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指在时取当时在时取已知试比较的大小答设与时试比较的大小答比较且的名师总结 优秀知识点 典例:解不等式|1|3xx;(答:(,1)(2,

11、)(4)两边平方 典例:若不等式|32|2|xxa 对xR恒成立,则实数a的取值范围为4 3 10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键”注意:解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是”.按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.典例:1)若2log13a,则a的取值范围是21,03aa 或;2)解不等式2()1axx aRax.(答:0a 时,|x0 x;0a 时,1|x xa或0 x;0a 时,1|0,xxa 或0 x)含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.一般地,设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为:2()(

12、)()0(0)f a xg a xr a.(1)第一级讨论:讨论二次项系数()f a是否为零;(2)第二级讨论:若()0f a 时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论的符号;(3)第三级讨论:若()0,0f a 时,先观察两根12,x x大小是否确定,否则讨论两根的大小.注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“”,“=”,“”,应做到不重不漏.典例:1)解关于x的不等式220()axxaaR.答:当1a 时,x;当01a 时,221111(,)aaxaa;当0a 时,(0,)x;当10a 时,221111(,)aaxaa 当1a 时,xR 2)解关于x的不等式222()axxax aR

13、.答:当0a 时,2,)xa;当0a 时,(,1x 当20a 时,2,1xa;当2a 时,1x;当2a 时,2 1,xa 提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法.1).恒成立问题 若不等式 fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 典例:1)设实数,x y满足22(1)1xy,当0 xyc 时,c的取值范围是21,;2)

14、不等式43xxa 对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围1a;倒数法则常用结论充要条件注表中是等价关系的是解证明不等式的依据差后通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指在时取当时在时取已知试比较的大小答设与时试比较的大小答比较且的名师总结 优秀知识点 3)若221(1)xm x 对满足2m 的所有m都成立,则x的取值范围7131(,)22;4)若不等式1(1)(1)2nnan 对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是3 2,)2 5)若不等式22210 xmxm 对01x 恒成立,则m的取值范围12m 2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 fxA成立,则等价于

15、在区间D上 maxf xA;若在区间D上存在实数x使不等式 fxB成立,则等价于在区间D上的 minfxB.注意:若方程()()af x xD有解,则等价于|(),ay yf x xD 典例:1)已知43xxa 在实数集R上的解集不是空集,求实数a的取值范围1a 2)已知1|2,2Pxx 函数22log(22)yaxx的定义域为Q.若PQ,求实数a的取值范围.(答:4a )若方程22log(22)2axx在1,22内有解,求实数的取值范围.(答:3,122a)3).恰成立问题 若不等式 fxA在区间D上恰成立,则等价于不等式 fxA的解集为D;若不等式 fxB在区间D上恰成立,则等价于不等式 fxB的解集为D.12.简单的线性规划问题:(1)二元一次不等式(组)表示平面区域 一 般 地,二 元 一 次 不 等 式0(0)AxByC 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线0AxByC 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线;倒数法则常用结论充要条件注表中是等价关系的是解证明不等式的依据差后通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指在时取当时在时取已知试比较的大小答设与时试比较的大小答比较且的