2023年三角函数角的概念课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数精品课程 三角函数 1 1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴 3“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或 可以简记成 4由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1 角有正负之分 如：=210 =150 =660 2 角可以任意大 实例：体操动作：旋转 2 周（360 2=720）3 周（360 3=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象

2、限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 330 是第象限角 300 60 是第象限角 585 1180 是第象限角 2000 是第象限角等 四、关于终边相同的角 1观察：390，330 角，它们的终边都与 30 角的终边相同 2终边相同的角都可以表示成一个 0 到 360 的角与)(Zkk个周角的和 390=30+360 )1(k 330=30360 )1(k 30=30+0360 )0(k 1470=

3、30+4360 )4(k 1770=305360 )5(k 3所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 ZkkS,360|即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 弧度制 弧度制另一种度量角的单位制 它的单位是 rad 读作弧度 学习必备 欢迎下载 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。如 图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2 rad 1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0 2角 的弧度数的绝对值 rl（l为弧长，r为半径）3用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非

4、零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2 rad 180=rad 1 =radrad01745.0180 185730.571801rad 例一 把3067化成弧度 解：21673067 radrad8321671803067 例二 把rad53化成度 解：1081805353rad 例三 用弧度制表示：1 终边在x轴上的角的集合 2 终边在y轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1 终边在x轴上的角的集合 ZkkS,|1 2 终边在y轴上的角的集合 ZkkS,2|2 3 终边在坐标轴上的角的集合 ZkkS,2|3 o r C 2rad 1rad r l

5、=2r o A A B 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 由公式：rl rl 比相应的公式180rnl简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一利用弧度制证明扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：221R 弧长为l的扇形圆心角为radRl lRRRlS21212 比较这与扇形面积公式 3602RnS扇 要简单 例二 直径为 20cm 的圆中，求

6、下列各圆心所对的弧长 34 165 解：cmr10：)(3401034cmrl ：radrad1211)(165180165 )(655101211cml 例三 如图，已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形 的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有 22162lrrllr 扇形的面积2)(221cmrlS 例四 计算4sin 解：454 2245sin4sin 例五 将下列各角化成 0 到2的角加上)(2Zkk的形式 o R S l o A B 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角

7、的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 319 315 解：63319 2436045315 例六 求图中公路弯道处弧 AB的长l（精确到 1m）图中长度单位为：m 解：360 )(471514.3453mRl 函数意义 1设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离02222yxyxr（图示见 P13 略）2比值ry叫做 的正弦 记作：rys in 比值rx叫做 的余弦 记作：rxc o s 比值xy叫做 的正切 记作：xyt a n 比值yx叫做 的余切 记作：yxc o t 比值xr叫做 的正割

8、记作：xrs e c 比值yr叫做 的余割 记作：yrc s c 注意突出几个问题：角是“任意角”，当=2k+(k Z)时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数 0r，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确R=45 60 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 定（今后将专

9、题研究）定义域：t a nc o ss inyyy )(2ZkkRR c s cs e cc o tyyy )()(2)(ZkkZkkZkk 二、例一 已知 的终边经过点 P(2,3)，求 的六个三角函数值 解：13)3(2,3,222ryx sin =13133 cos=13132 tan=23 cot=32 sec=213 csc=313 例二 求下列各角的六个三角函数值 0 23 2 解：的解答见 P16-17 当=2时 ryx,0 sin2=1 cos2=0 tan2不存在 cot2=0 sec2不存在 csc2=1 例三 已知角 的终边经过 P(4,3),求 2sin +cos 的值

10、 已知角 的终边经过 P(4a,3a),(a 0)求 2sin +cos 的值 解：由定义：5r sin=53 cos=54 2sin +cos =52 若0a ar5 则 sin=53 cos=54 2sin +cos =52 若0a ar5 则 sin=53 cos=54 2sin +cos =52 x o y P(2,-3)合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 三角函数线 1（定义）“单位圆”圆心在原点 O，半径等于单位长

11、度的圆 设任意角 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角 的终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B 两点 过 P(x,y)作 PM x 轴于 M，过点 A(1,0)作单位圆切线，与 角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B(0,1)作单位圆的切线，与 角的终边或其反向延长线交于 S 2简单介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段 OM，OP 长度分别为yx,当 OM=x 时 若0 x OM 看作与 x 轴同向 OM 具有正值 x 若0 x OM 看作与 x 轴反向 OM 具有负值

12、 x 3MPyyry1sin OMxxrx1cos 有向线段MP,OM,AT,BS 分别称作 ATOAATOMMPxytan 角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 BSOBBSMPOMyxcot 四、例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 32s in与54sin 2 tan32与 tan54 3 cot32与 cot54 解：如图可知：32sin54sin tan32 tan54 cot32 cot54 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的 0 到 360 的角 1 sin21 2 tan 33 解：1 2 A B o T2 T1 S2 S1 P2 P1 x y o T A 210 30 x

13、 y o P1 P2 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 30150 3090 或 210270 例三 求证：若2021时，则 sin 1sin 2 证明：分别作1,2的正弦线 x 的终边不在 x 轴上 sin 1=M1P1 sin 2=M2P2 2021 M1P1 M2P2 即 sin 1sin 2 三角函数的值在各象限的符号 1第一象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,cot0,sec 0,csc 0 第二象限：

14、0,0.yxsin0,cos0,tan0,cot0,sec 0,csc 0 第三象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,cot0,sec 0,csc 0 第四象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,cot0,sec 0,csc 0 记忆法则：cscsin为正 全正 cottan为正 seccos为正 2由定义：sin(+2k)=sin cos(+2k)=cos tan(+2k)=tan cot(+2k)=co sec(+2k)=sec csc(+2k)=csc 例 1 求证角 为第三象限角的充分条件是0tan0sin )2()1(证：必要性：若 是第三象限角，则必有sin0,t

15、an0 x y o P1 P2 M1 M2 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 充分性：若 两式成立 若 sin0 则 角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于 y 轴的非正半轴 若 tan0，则角 的终边可能位于第一或第三象限 都成立 角的终边只能位于第三象限 角 为第三象限角 练习：1若三角形的两内角，满足 sin cos0，则此三角形必为（B）A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能 2若

16、是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B）A：sin+cos0 B：tansin0 C：coscot0 D：cot csc 0 3已知 是第三象限角且02cos，问2是第几象限角？解：2)12()12(kk )(Zk 4322kk )(Zk 则2是第二或第四象限角 又02cos 则2是第二或第三象限角 2必为第二象限角 4已知1212sin，则 为第几象限角？解：由1212sin sin20 2k22k+)(Zk kk+2 为第一或第三象限角 同角三角函数的基本关系 1cossin22 t a nc o ss in 1c o tt a n 2理论证明：（采用定义）合于轴正半轴正角与负角这是由旋

17、转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 1c o tt a n,23t a nc o ss in)(221c o ss inc o s,s in122222yxxykkxyxrryrxryZkkrxryryx时且当时，当且 3 推 广：这 种 关 系 称 为 平 方 关 系。类 似 的 平 方 关 系 还 有：1t a ns e c22 1c o tc s c22 t a nc o ss in这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：c o ts inc o

18、s 1cottan这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：1sincsc 1c o ss e c 4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。5注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos3sin22 2t a n2c o s2s in 2 上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。3 据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。实际上：1tansec22 即 22t a n11c o s 为 第 二、三 象 限 角当为 第 一、四 象 限 角当

19、22t a n11t a n11c o s 而 c o st a ns in 为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan1tantan1tancos 同角三角函数的基本关系(2)求值 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 练习：已知的其他三角函数值。求),1,0(cosmmm 解：若 在第一、二象限，则 22221cot1tan11csc1sin1secmmmmmmm 若 在第三、四象限，则 22221cot1tan11cs

20、c1sin1secmmmmmmm 三、1 化简：440sin12 解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222 2、已知cos2sin，求的值。及cossin2sincos2sin5cos4sin2 解：2tancos2sin 611222tan54tancos2sin5cos4sin 5614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222 强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化 1 法”例三、已知33cossin，求的值。及cossincottan 解：将 33cossin 两边平方，得：31

21、cossin 3c o ss in1c o tt a n 35321cossin21)cos(sin2 315cossin 例四、已知,1225cottan cossin,cottan,cottan,cottan3322求 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 解：由题设：,2144625cottan22 1274144625cottan 1 4 41 7 5)127(1225)cot)(tancot(tancottan22 1

22、72848251441931225)1144337(1225)cottancot)(tancot(tancottan2233 57251221cossin21cossin (2512cossin1225cossin1cottan)例五、已知)0(51cossin，求的值。及33cossintan 解：1 由),2(0cos,0,2512cossin得：由57cossin,2549)cos(sin2得：联立：34tan53cos54sin57cossin51cossin 2 12591)53()54(cossin3333 例六、已知是第四象限角，,53cos,524sinmmmm 求的值。tan

23、 解：sin2 +cos2 =1 1)53()524(22mmmm 化简，整理得：8,00)8(21mmmm 当 m=0 时，是第四象限角不合）与，(53cos,54sin 合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的学习必备 欢迎下载 当 m=8 时，512tan135cos,1312sin，合于轴正半轴正角与负角这是由旋转的方向所决定的记法角或可以简记们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点角的始边合第象限角是第象限角等四关于终边相同的角观察角它们的终边都与角的