2023年八下压轴题一次函数与几何动点问题教师版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 八年级下数学期末压轴题精选 1.等腰三角形存在性（2017 广西柳州）23（10 分）如图，在四边形 OABC 中，OA BC，OAB=90，O为原点，点 C的坐标为（2，8），点 B的坐标为（24，8），点 D从点 B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC向点 C运动，点 E同时从点 O出发，以每秒 3个单位长度的速度沿 OA向 A运动，当点 E达到点 A时，点 D也停止运动，从运动开始，设 D（E）点运动的时间为 t 秒（1）连接 AD，记ADE得面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，写出 t 的取值范围；（2）当 t 为何值时，四边形 ABDE 是矩形；（3）

2、在（2）的条件下，当四边形 ABDE 是矩形，在 x 轴上找一点 P，使得ADP为等腰三角形，直接写出所有满足要求的 P点的坐标 【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可；（2）当 BD=AE 时，四边形 ABDE 是矩形，由此构建方程即可解决问题；（3）分三种情形：当 AD=AP 时，当 DA=DP 时，当 PD=PA 时，分别求解即可；【解答】解：（1）如图 1 中，S=（243t）8=12t+96（0t 8）（2）OA BD，当 BD=AE 时，四边形 BDEA 是平行四边形，学习必备 欢迎下载 OAB=90，四边形 ABDE 是矩形，t=243t，t=6s，当 t=6s 时，四边形 A

3、BDE 是矩形 （3）分三种情形讨论：由（2）可知 D（18，8），A（24，0），AD=10，当 AD=AP 时，可得 P1（14，0），P2（34，0），当 DA=DP 时，可得 P3（12，0），当 PD=PA 时，设 PD=PA=x，在 RtDP4E中，x2=82+（x6）2，解得 x=，P4（，0），综上所述，满足条件的点 P 坐标为（14，0）或（34，0）或（12，0）或（，0）；【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题 达到点时点也停止运动从运动开

4、始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 2.直角三角形存在性（2017 深圳新华）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点 C的坐标为（8，8），顶点 A的坐标为（6，0），边 AB在 x 轴上，点 E为线段 AD的中点，点 F在线段 DC上，且横坐标为 3，直线 EF与 y 轴交于点 G，有一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A沿折线 ABCF 运动，当点 P 到达点 F时停止运动，设点 P运动时间为 t 秒（1）求直线 EF的

5、表达式及点 G的坐标；（2）点 P 在运动的过程中，设 EFP的面积为 S（P 不与 F 重合），试求 S 与 t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在点 P，使得PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据点 C的坐标可求出点 F的纵坐标，结合题意可得出点 F的坐标，过点 E作 EH x 轴于点 H，利用AHE AOD，可求出点 E的坐标，从而利用待定系数法可确定直线 EF的解析式，令 x=0，可得出点 G的坐标（2）延长 HE交 CD的延长线于点 M，讨论点 P的位置，当点 P在 AB上运动时，当点 P在 BC边上运动时，

6、当点 P在 CF上运动时，分别利用面积相减法可求出答案（3）很明显在 BC上存在两个点使PGF为直角三角形，这两点是通过过点 G作 GP EF，过点 F作 FPEF得出来的【解答】解：（1）C（8，8），DC x 轴，点 F的横坐标为 3，OD=CD=8 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 点 F的坐标为（3，8），A（6，0），OA=6，AD=10，过点 E作 EH x 轴于点 H，则AHE AOD 又E为 AD的中点，=A

7、H=3，EH=4 OH=3 点 E的坐标为（3，4），设过 E、F的直线为 y=kx+b，直线 EF为 y=x+6，令 x=0，则 y=6，即点 G的坐标为（0，6）（2）延长 HE交 CD的延长线于点 M，则 EM=EH=4 DF=3，SDEF=34=6，且 S平行四边形 ABCD=CDOD=88=64 当点 P在 AB上运动时，如图 3，S=S平行四边形 ABCDSDEFSAPES四边形 PBCF AP=t，EH=4，SAPE=4t=2t，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综

8、上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 S四边形 PBCF=（5+8t）8=524t S=6462t（524t），即：S=2t+6 当点 P在 BC边上运动时，S=S平行四边形 ABCDSDEFSPCFS四边形 ABPE 过点 P作 PN CD于点 N C=A，sin A=，sin C=PC=18 t，PN=PCsin C=（18t）CF=5，SPCF=5（18t）=362t 过点 B作 BK AD于点 K AB=CD=8，BK=ABsin A=8=PB=t8，S四边形 ABPE=（t 8+5）=t S=646（362t）（t），即 S=t+（8 分）当点 P在 CF上运动时，P

9、C=t18，PF=5（t 18）=23t EM=4，SPEF=4（23t）=462t 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 综上：S=（3）存在 P1（，）P2（，）3.一次函数与平行四边形：（2016 山西晋中）（1）在直角坐标系中，A（1，2），B（4，0），在图 1 中，四边形 ABCD 为平行四边形，请写出图中的顶点 C的坐标（5，2）达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即

10、可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 （2）平面内是否存在不同于图 1 的点 C，使得以 O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，请在图 2 中画出满足情况的平行四边形，并在图中直接标出点 C的坐标（3）如图 3，在直角坐标系中，A（1，2），P 是 x 轴上一动点，在直线 y=x 上是否存在点 Q，使以 O、A、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的 Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题（2）存在注意有两种情形点

11、 C坐标根据平行四边形的性质即可解决（3）存在如图 3 中所示，平行四边形 AQ1P1O，平行四边形 AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2点 Q的坐标根据平行四边形的性质即可解决 【解答】解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 是平行四边形，OB=AC，OB AC，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 A（1，2），B（4，0），AC=4，点 C坐标（5，2）故点 C坐标为（5，2）（2）存在点 C坐标如图 2 中所示，（3）

12、存在如图 3 中所示，平行四边形 AQ1P1O，平行四边形 AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2 点 Q1（2，2），点 Q2（2，2）【点评】本题考查四边形综合题、点与坐标的关系等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型 （2017 襄阳）25（11 分）如图，平面直角坐标系中，直线 l：y=x+分别交 x 轴，y 轴于 A，B两点，点 C在 x 轴负半轴上，且ACB=30（1）求 A，C两点的坐标（2）若点 M从点 C出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB运动，连接 AM，设ABM 的面积为 S，点 M的运动时间为 t，求出 S 关于 t 的函数

13、关系式，并写出自变量的取值范围（3）点 P是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A，B，P，Q为顶点达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q点的坐标；若不存在，说明理由 【分析】（1）由直线方程易得点 A的坐标在直角BOC中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 BC的长，利用勾股定理求出 OC的长，确定出 C的坐标即可；（2）先求出ABC=90，分两种情况考虑：当M在线

14、段 BC上；当 M在线段 BC延长线上；表示出 BM，利用三角形面积公式分别表示出 S 与 t 的函数关系式即可；（3）点 P是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点 Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况，如图所示，利用菱形的性质求出 AQ的长，根据 AQ与 y 轴平行得到 Q与 A横坐标相同，求出满足题意 Q得坐标即可【解答】解：（1）当 x=0 时，y=；当 y=0 时，x=1 点 A坐标为（1，0），点 B坐标为（0，），在 RtBOC中，OCB=30，OB=，BC=2 OC=3 点 C坐标为（3，0）（2）如图 1 所示：OA=1，OB=，AB=2，ABO=30，同理：

15、BC=2，OCB=30，OBC=60，ABC=90，分两种情况考虑：若 M在线段 BC上时，BC=2，CM=t，可得 BM=BC CM=2t，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 此时 SABM=BMAB=（2t）2=2t（0t 2）；若 M在 BC延长线上时，BC=2，CM=t，可得 BM=CMBC=t2，此时 SABM=BMAB=（t 2）2=t2（t 2）；综上所述，S=；（3）P是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点 Q，

16、使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，如 2 图所示，当 P 在 y 轴正半轴上，四边形 ABPQ 为菱形，可得 AQ=AB=2，且 Q与 A的横坐标相同，此时 Q坐标为（1，2），AP=AQ=，Q与 A的横坐标相同，此时 Q坐标为（1，），当 P 在 y 轴负半轴上，四边形 ABPQ 为菱形，可得 AQ=AB=2，且 Q与 A横坐标相同，此时 Q坐标为（1，2），BP垂直平分 AQ，此时 Q坐标为（1，0），综上，满足题意 Q坐标为（1，2）、（1，2）、（1，）、（1，0）【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含 30 度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求

17、一次函数解析式，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 4.一次函数与矩形:（2017 重庆江津）26（12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=mx+n（m 0）的图象与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，且与正比例函数y=2x 的图象交于点 C（3，6）（1）求一次函数 y=mx+n的解析式；（2）点 P在 x 轴上，当 PB+P

18、C最小时，求出点 P的坐标；（3）若点 E是直线 AC上一点，点 F 是平面内一点，以 O、C、E、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 F的坐标 【分析】（1）由 A、C坐标，可求得答案；（2）由一次函数解析式可求得 B点坐标，可求得 B点关于 x 轴的对称点 B的坐标，连接 BC与 x 轴的交点即为所求的 P点，由 B、C坐标可求得直线 BC的解析式，则可求得 P点坐标；（3）分两种情形分别讨论即可当 OC为边时，四边形 OCFE是矩形，此时 EO OC，当 OC为对角线时，四边形 OECF是矩形，此时OE AC；【解答】解：（1）一次函数 y=mx+n（m 0）的图象经过点 A（3

19、，0），点 C（3，6），解得，一次函数的解析式为 y=x+3 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载（2）如图 1 中，作点 P关于 x 轴的对称点 B，连接 CB交x 轴于 P，此时 PB+PC的值最小 B（0，3），C（3，6）B（3，0），直线 CB的解析式为y=3x3，令 y=0，得到 x=1，P（1，0）（3）如图，当 OC为边时，四边形 OCFE是矩形，此时 EO OC，直线 OC的解析式为 y=2x，直线 OE的解

20、析式为 y=x，由，解得，E（2，1），EO=CF，OE CF，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 F（1，7）当 OC为对角线时，四边形 OECF是矩形，此时 OE AC，直线 OE的解析式为y=x，由，解得，E（，），OE=CF，OECF，F（，），综上所述，满足条件的点 F的坐标为（1.7）或（，）【点评】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论

21、的思想思考问题，属于中考压轴题 5.一次函数与正方形 如图（1），四边形 AOBC 是正方形，点 C的坐标是（，0），（1）求点 A的坐标点和正方形 AOBC 的面积；（2）将正方形绕点 O顺时针旋转 45，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）如图（2），动点 P 从点 O出发，沿折线 OACB方向以 1 个单位/每秒匀速运动；另一动点 Q从点 C出发，沿折线 CBOA方向以 2 个单位/每秒匀速运动P、Q两点同时出发，当 Q运动到点 A 时 P、Q同时停止运动设运动时间为 t 秒，是否存在这样的 t 值，使OPQ成为等腰三角形？若存在，直接写出达到点时点也停止运动从运动开始设点

22、运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接 AB，根据OCA为等腰三角形可得 AD=OD 的长，从而得出点 A的坐标，则得出正方形 AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得 OA的长，从而得出AC，AE，再求出面积即可；（3）存在，从 Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：当 Q点在 BC上时，使 OQ=QP，则有 OP=2BQ，而 OP=t，BQ=4 2t，列式可得出t；当 Q点在 OB上时，使 OQ=OP，而

23、OP=t，OQ=8 2t，列式可得出 t；当 Q点在 OA上时，使 OQ=PQ，列式可得出 t 【解答】解：（1）如图 1，连接 AB，与 OC交于点 D，由OCA为等腰 Rt，得 AD=OD=OC=2，故点 A的坐标为（2，2），故正方形 AOBC 的面积为：44=16；（2）如图 1，旋转后可得 OA=OB=4，则 AC=44，而可知CAE=90，OCB=45，故AEC是等腰直角三角形，则 AE=AC=4 4，故 S四边形 OAEB=SOBCSAEC=1616 （3）存在，从 Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：如图 2，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根

24、据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 当 Q点在 BC上时，使 OQ=QP，QM为 OP的垂直平分线，则有 OP=2OM=2BQ，而 OP=t，BQ=4 2t，则 t=2（42t），解得：t=如图 3，当 Q点在 OB上时，使 OQ=OP，而 OP=t，OQ=8 2t，则 t=82t，解得：t=当 Q点在 OA上时，如图 4，使 OQ=PQ，t224t+96=0，解得：t=12+4（舍去），t=124 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当

25、时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大 6.四边形综合（1）（2017 武汉新洲）如图，正方形 ABCD 中，P 为 AB边上任意一点，AE DP于 E，点 F 在 DP的延长线上，且 EF=DE，连接 AF、BF，BAF的平分线交 DF于G，连接 GC （1）求证：AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=DG 【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到 AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；

26、（2）作 CH DP，交 DP于 H点，证明ADE DCH（AAS），得到 CH=DE，DH=AE=EG，证明 CG=GH，AG=DH，计算即可【解答】（1）证明：DE=EF，AE DP，AF=AD，AFD=ADF，ADF+DAE=PAE+DAE=90，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 AFD=PAE，AG平分BAF，FAG=GAP AFD+FAE=90，AFD+PAE+FAP=90 2GAP+2 PAE=90，即GAE=4

27、5，AGE为等腰直角三角形；（2）证明：作 CH DP，交 DP于 H点，DHC=90 AE DP，AED=90，AED=DHC ADE+CDH=90，CDH+DCH=90，ADE=DCH 在ADE和DCH 中，ADE DCH（AAS），CH=DE，DH=AE=EG EH+EG=EH+HD，即 GH=ED，GH=CH CG=GH AG=EG，AG=DH，CG+AG=GH+HD，CG+AG=（GH+HD），即 CG+AG=DG 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点

28、坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 （2）（2017 天津）24（8 分）如图（1），正方形 ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，E是 AC上一点，连结 EB，过点 A作 AM BE，垂足为 M，AM与 BD相交于点F（1）求证：OE=OF；（2）如图（2）若点 E在 AC的延长线上，AM BE于点 M，AM交 DB的延长线于点 F，其他条件不变，结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 OB=OA，又因为 AM BE，所以MEA+MAE=90=AFO+MAE，从而求证出 RtBOE RtAOF，得到

29、OE=OF （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到 OB=OA，再根据已知条件求证出 RtBOE RtAOF，得到 OE=OF 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形 BOE=AOF=90，OB=OA 又AM BE，MEA+MAE=90=AFO+MAE，MEA=AFO 在BOE和AOF中，达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 BOE AOF OE=OF （2）OE=OF 成立 四边形 ABCD 是正方形，BOE=A

30、OF=90，OB=OA 又AM BE，F+MBF=90，E+OBE=90，又MBF=OBE，F=E 在BOE和AOF中，BOE AOF OE=OF 【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键 7.动点问题：（1）（2017 黄石大冶）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 F 从点 B出发，沿射线 AB方向以 1cm/秒的速度移动，点 E从点 D出发，向点 A以 1cm/秒的速度移动（不到点 A）设点 E，F同时出发移动 t 秒（1）在点 E，F 移动过程中，连接 CE，CF，EF，则CEF的形状

31、是 ，始终保持不变；（2）如图 2，连接 EF，设 EF交 BD于点 M，当 t=2 时，求 AM的长；（3）如图 3，点 G，H分别在边 AB，CD上，且 GH=3cm，连接 EF，当 EF与 GH的夹角为 45，求 t 的值 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如图 1，在正方形 ABCD 中，DC=BC，D=ABC=90 依题意得：DE=BF=t 在CDE与CBF中，CDE CB

32、F（SAS），CF=CE，DCE=BCF，ECF=BCF+BCE=DCE+BCE=BCD=90，CEF是等腰直角三角形 故答案是：等腰直角三角形 （2）如图 2，过点 E作 EN AB，交 BD于点 N，则NEM=BFM END=ABD=EDN=45，EN=ED=BF 在EMN 与FMB中，EMN FMB（AAS），EM=FM RtAEF中，AE=4，AF=8，=EF=4，AM=EF=2；达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 （

33、3）如图 3，连接 CE，CF，EF与 GH交于 P 由（1）得CFE=45，又EPQ=45，GH CF，又AF DC，四边形 GFCH 是平行四边形，CF=GH=3，在 RtCBF中，得 BF=3，t=3 【点评】本题考查了四边形综合题解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评

34、学习必备 欢迎下载 质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题（2）（2017 成都金堂）28（12 分）如图，边长为 a 正方形 OABC的边 OA、OC在坐标轴上在 x 轴上线段 PQ=a（Q在 A的右边），P 从 A出发，以每秒 1 个单位的速度向 O运动，当点 P到达点 O时停止运动，运动时间为 t 连接 PB，过 P作 PB的垂线，过 Q作 x 轴的垂线，两垂线相交于点 D连接 BD交 y 轴于点 E，连接 PD交 y 轴于点 F，连接 PE（1）求PBD的度数（2）设POE的周长为 l，探索 l 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 （3）令 a=4，当PBE为等腰三角形时

35、，求 EFD的面积 【分析】（1）先判断出PBA=DPQ，进而判断出BAP PQD即可得出结论；（2）先判断出BAM BCE，进而判断出BPM BPE，即可得出 EP=MP=CE+AP，即可；（3）分三种情况讨论计算即可【解答】解：（1）APB+PBA=APB+DPQ=90 PBA=DPQ 又BAP=PQD=90，BA=PQ=a BAP PQD BP=PD 又BPPD PBD=45 （2）如图 1，延长 PA至 M，使得 AM=CE 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足

36、条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 在BAM 与BCE中 BAM BCE MBA=EBC EBC+ABP=45 MBP=MBA+ABP=45=EBP 在BPM与BPE中，BPM BPE EP=MP=MA+AP=CE+AP 又l=EP+PO+EO=（CE+EO）+（AP+PO）=2AO l=2a 是定值，（0t a）（3）当EP=EB时，如图 2，PBD=45 EPEB，E为 BD中点，即 E与 C重合，P与 O重合 此时，SEFD=8 当 PB=PE时，PBD=45 EPPB（不存在）当BP=BE时，BA=BC BAP BCE，CE=AP=t，PE=2t 又OE=OP=4 t，PE=（

37、4t），（4t）=2t 解得：t=44 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评学习必备 欢迎下载 BAP PQD，AP=QD，D（44，44），P（48，0），直线 PD的解析式为 y=（1）x+1216，F（1216，0）EF=24 16 此时，SEFD=16（57）综上所述：SEFD=8 或 SEFD=16（7）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，解（1）的关键是判断出BAPPQD，解（2）的关键是判断出BAM BCE，解（3）的关键是分类讨论的思想的应用，是一道中等难度的中考常考题 达到点时点也停止运动从运动开始设点运动的时间为秒连接记得面积为根据三角形面积公式计算即可当时四边形是矩形由此构建方即可解决问可得当时可得当时设在中解得综上所述满足条件的点坐标为或或或点评