2023年全等三角形模型精品讲义1.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 全等三角形模型 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 江苏 课时时长（分钟）60 知识点 全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定 教学目标 熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。教学重点 熟练掌握三角形全等的判定定理 教学难点 能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理 优秀教案 欢迎下载 教学过程 一、课堂导入【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？【思考】ABDACE 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习

2、优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM=ON 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合则过角尺顶点 P 的射线 OP 便是 AOB 的角平分线，为什么？请你说明理由 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【解答】OP 平分 AO

3、B 理由如下：OM=ON，PM=PN，OP=OP MOP NOP（SSS）MOP=NOP OP 平分 MON（即 OP 是 AOB 的角平分线）理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 三、知识讲解 考点 1 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由

4、解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 考点 2 全等三角形的判定：所有三角形 SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形 HL 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 四、例题精析【例题 1】【题干】如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AEBF，垂足为点 G 求证：AE=BF 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二

5、复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】证明：正方形ABCD，ABC=C=90，AB=BC AEBF，AGB=BAG+ABG=90，ABG+CBF=90，BAG=CBF 在 ABE 和 BCF 中，BAECBFABCBABEBCF ，ABEBCF（ASA），AE=BF【解析】根据正方形的性质，可得 ABC 与 C 的关系，AB 与 BC 的关系，根据两直线垂直，可得 AGB 的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得 ABG 与 BAG 的关系，根据同角的余角相等，可得 BAG 与 CBF 的关系，根据 ASA，

6、可得 ABEBCF，根据全等三角形的性质，可得答案 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【例题 2】【题干】如图，四边形 ABCD 是正方形，BEBF，BE=BF，EF与 BC 交于点 G（1）求证：AE=CF；（2）求证：AECF 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢

7、迎下载【答案】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，FBE=90，ABE+EBC=90，CBF+EBC=90，ABE=CBF，在 AEB 和 CFB 中，ABBCABECBFBEBF AEBCFB（SAS），AE=CF （2）延长 AE 交 BC 于 O，交 CF 于 H，AEBCFB，BAE=BCF，ABC=90，BAE+AOB=90，AOB=COH，BCF+COH=90，CHO=90，AECF 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载

8、平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 【解析】（1）利用 AEBCFB 来求证 AE=CF （2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【例题 3】【题干】（2014顺义区一模）已知：如图1，MNQ 中，MQNQ （1）请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与 MNQ 全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问

9、题：如图 2，在四边形 ABCD 中，ACB+CAD=180，B=D求证：CD=AB 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】：（1）如图 1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求 主要根据“SSS”判定三角形的全等 （2）如图 3，理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分

10、理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 延长 DA 至E，使得 AE=CB，连结 CE ACB+CAD=180，DACDAC+EAC=180 BACBCA=EAC 在 EAC 和 BAC 中，AECEACCAEACBCN AECEACBCA（SAS），B=E，AB=CE B=D，D=E，CD=CE，CD=AB 【解析】（1）以点 N 为圆心，以 MQ 长度为半径画弧，以点 M 为圆心，以 NQ 长度为半径画弧，两弧交于一点 F，则 MNF 为所画三角形（2）延长 DA 至E，使得 AE=CB，连结 CE证明 EAC BCA，得：B=E，AB=CE，根据等量代换可以求

11、得答案 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【例题 4】【题干】问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90 E，F 分别是 BC，CD 上的点 且EAF=60 探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE 连结 AG，先证明 ABEADG，再证明 AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图 2，若在四边形

12、 ABCD 中，AB=AD，B+D=180 E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 EAF=12 BAD，上述结论理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80

13、 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF 仍然成立 证明如下：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在 ABE 和 ADG 中，DGBEBADGABAD ，AB

14、EADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=12 BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF，理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 EAF=GAF，在 AEF 和 GAF 中，AEAGEAFGAFAFAF，AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，AOB=30+90+（90-70）=140

15、，EOF=70，EOF=12 AOB，又 OA=OB，OAC+OBC=（90-30）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论 EF=AE+BF 成立，即 EF=1.5（60+80）=210 海里 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里 【解析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，根据同角的补角相等求出 B=ADG，然后利用“边角边”证明 ABE和 ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AG，BAE=DAG，再求出 EAF=GAF，然后利用“边角边”理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复

16、杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 证明 AEF 和 GAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，然后求出 EAF=12 AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 五、课堂运用【基础

17、】1.在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M 求证：（1）BH=DE （2）BHDE 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】证明：（1）在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中，BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90，BCD+DCH=ECH+DCH，即 BCH=DCE，在 BCH 和 DCE 中，BCCDBCHDCECECH，BCHDCE（SAS），BH=DE；（2）B

18、CHDCE，CBH=CDE，又 CGB=MGD，DMB=BCD=90，理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 BHDE 【解析】（1）根据正方形的性质可得 BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90，然后求出 BCH=DCE，再利用“边角边”证明 BCH 和 DCE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得 CBH=CDE，然后根据三角形的内角和定理求出 DMB=BCD=90，再根据垂直的定义证

19、明即可 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 2.（1）操作发现 如图 1，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B，C），连接 AM，以 AM 为边作等边 AMN，连接CN，猜想 ABC 与 ACN 有何数量关系？并证明你的结论；（2）类比探究 如图 2，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 理能够灵活运用这些定理

20、进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】（1）在等边 ABC 中，AB=AC，BAC=BAM+MAC=60 在等边 AMN 中，AM=AN，MAN=NAC+MAC=60BAM=NAC=60-MAC，在 ABM 和 ACN 中，ABACBAMNACAMAN，ABM ACN（SAS），ABC=ACN （2）在等边 ABC 中，AB=AC，BAM=BAC+MAC=60+MAC 在等边 AMN 中，AM=AN，NAC=NAM+MAC=60+MAC，BAM

21、=NAC=60+MAC，在 ABM 和 ACN 中，ABACBAMNACAMAN，ABM ACN（SAS），ABC=ACN 【解析】（1）由全等三角形可以判定 AB=AC，AM=AN，即可求证 ABM ACN，即可求得 ABC=ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定 AB=AC，AM=AN，即可求证 ABM ACN，即可求得 ABC=CAN.理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【巩固】1.如图，ABC 和 ADE 都是

22、等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D 在同一条直线上求证：BD=CE 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，AD=AE，AB=AC，又EAC=90+CAD，DAB=90+CAD，DAB=EAC，在 ADB 和 AEC 中ABACBADCAEADAE，ADBAEC（SAS），BD=CE 【解析】求出 AD=AE，AB=AC，DAB=EAC，根据 SAS 证出 ADBAE

23、C 即可 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 2.如图，ABC 与 BEF都是等边三角形，D 是 BC 上一点，且 CD=BE，求证：EDB=CAD 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 【答案】如图，过点 D 作 DG AB 交 AC 于 G，ABC 是等边三

24、角形，GDC=ABC=C=60，AC=BC，CDG 是等边三角形，DG=CD=CG，AGD=120，BD=AG，CD=BE，BE=DG，又 BEF是等边三角形EBF=60，EBD=DGA=120，在 EBD 和 DGA 中BDAGEBDAGDEBDG EBDDGA（SAS），EDB=CAD 【解析】过点 D 作 DG AB 交 AC 于 G，求出 EBD=AGD=120，BD=AG，根据 SAS 证 EBDDGA，根据全等三角形的性质推出即可 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教

25、案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【拔高】正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、AB 的中点，连接 EF（1）如图 1，若点 G 是边 BC 的中点，连接 FG，则 EF与 FG 关系为：；（2）如图 2，若点 P 为 BC 延长线上一动点，连接 FP，将线段 FP 以点 F 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到线段 FQ，连接 EQ，请猜想 BF、EQ、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论（3）若点 P 为 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图 3 中补全图形，并直接写出 BF、EQ、BP 三者之间的数量关系：理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够

26、从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载【答案】（1）点E、F 分别是边 AD、AB 的中点，G 是 BC 的中点，AE=AF=BF=BG，在 AEF 和 BFG 中，AEBGABAFBF ，AEFBFG（SAS），EF=FG，AFE=BFG=45，EFFG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP 理由：如图 2，取 BC 的中点 G，连接 FG，则 EFFG，EF=FG，1+2=90，又2+3=90，1=3，理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两

27、个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 在 FQE 和 FPG 中，13FQFPEFFG ，FQEFPG（SAS），QE=PG 且 BF=BG，BG+GP=BP，BF+EQ=BP；（3）如图 3 所示，BF+BP=EQ 【解析】（1）根据线段中点的定义求出 AE=AF=BF=BG，然后利用“边角边”证明 AEF 和 BFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=FG，全等三角形对应角相等可得 AFE=BFG=45，再求出EFG=90，然后根据垂直的定义证明即可；（2）取 BC 的中点 G，连

28、接 FG，根据同角的余角相等求出 1=3，然后利用“边角边”证明 FQE 和 FPG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 QE=FG，BF=BG，再根据 BG+GP=BP等量代换即可得证；（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识优秀教案 欢迎下载 课程小结 1.全等三角形的性质 2.全等三角形的判定 理能够灵活运用这些定理进行推理和证明能够从模型的观点去理解复杂哪两个三角形全等吗思考二复习预习优秀教案欢迎下载问题工人师傅常明理由解答平分理由如下优秀教案欢迎下载平分即是的角平分线三知识