2023年八年级数学上册第二章实数知识点总结归纳全面汇总归纳+练习1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3

2、.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、75、252.、32、0.3030003000003（相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,4,32其中无理数有()个【算术平方根】：1.定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即ax2，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a”，

3、读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根是3，即39。特别规地，0 的算术平方根是 0，即00，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数 a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例：（1）下列说法正确的是 （）学习必备 精品知识点 A1 的立方根是1；B24；（C）、81的平方根是3；（D）、0 没有平方根；（2）下

4、列各式正确的是（）A、981 B、14.314.3 C、3927 D、235（3）2)3(的算术平方根是 。（4）若xx有意义，则 1x_。（5）已知ABC的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，求 c 的取值范围。（6）（提高题）如果 x、y 分别是 4 3 的整数部分和小数部分。求x y 的值.平方根：1.定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即ax2，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x是 a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，它是 0 本身；（3）负数没有平方根 例（1）

5、若x的平方根是2，则 x=；16的平方根是 （2）当 x 时，x23有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和 m-4，则 m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa （1）77)0()22）如：（aaa（2）|2aa中，a 可以取任意实数。如5|5|52 3|3-|3-2）（例：1.求下列各式的值 （1）27 （2）27-）（3）249-）（2.已 知1)12aa（，那 么 a的 取 值 范 围 是 。3.已 知 2 x 3,化 简|3|)-22xx（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次

6、方根）记为3a，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0。2.性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个学习必备 精品知识点 例：（1）64 的立方根是 （2）若9.28,89.233aba，则 b 等于 （3）下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是 2，4832。其中正确的有 （）A、1 个

7、 B、2 个 C、3 个 D、4 个 比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3104 方法二：作差法。如 ab 则 a-b0.方法三：乘方法.如比较3362与的大小。例：比较下列两数的大小 （1）2123-10与 （2）5325与【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是a1（a0）；实数 a 的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的

8、法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有2；

9、D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()a 0 b 两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个学习必备 精品知识点 A、ba B、ab C、ba D、ab （3）比较大小(填“”或“0，则 ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234，227,0，9,318,2,8,(2 3)0，32，ctg45,1.2121121112 中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3

10、已知 1x2，则|x 3|+(1-x)2=。4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3,2 1，3，0 3，31，1+2，313 互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数，且（X 2）2和2互为相反数，求，y 的值 6.,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m的绝对值是 2，求|a+b|2m2+1+4m-3cd=。*7已知（3）224a+2 0，求=。三、解题指导：1下列语句正确的是（）A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数 两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的

11、有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个学习必备 精品知识点 C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2零是（）A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数，（2），那么一定是负数，（3）的倒数是1a，（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个*5比较下列各组数的大小：(1)32 3 12 (2)ab0时,1a 1b 6若 a,b 满足|4-a2|+a+ba+2=0,则2a+3ba 的值是 *7实数

12、 a,b,c在数轴上的对应点如图，其中 O是原点，且|a|=|c|（1）判定 a+b,a+c,c-b的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点 A表示数1，若 AB 3，则点 B所表示的数为 9已知 x0，且 y|x|，用连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数 ；（2）a、b 两数异号 ；（3）a、b 互为相反数 ；（4）a、b 互为倒数 ；(5)x 与 y 的平方和是非负数 ；（6）c、d 两数

13、中至少有一个为零 ；（7）a、b 两数均不为 0 。*13.数轴上作出表示 2，3，5 的点。四独立训练：两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个学习必备 精品知识点 1 0 的相反数是 ，3的相反数是 ，38 的相反数是 ；的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，2 3 的倒数是 2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是 。A表示的数是12，且 AB 13，则点 B表示的数是 。3 33,(1 2),227,0 1313,2cos60,31,1 10100

14、1000 (两 1 之间依次多一个 0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4.若 a 的相反数是27，则a|；5若|a|2，则a=5若实数x，y 满足等式（x3）24y0，则xy 的值是 6实数可分为（）A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数 *7若2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于a=8当a 为实数时，a2=a 在数轴上对应的点在（）A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9代数式 的所有可能的值有 个。10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小 （2）化简|b a|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中 试化简：2 *12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920。求它的周长。两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个学习必备 精品知识点 13若 3，5 为三角形三边，化简：（2）2 （8）2 两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数数的区别有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循是无理数的有填序号有五个数其中无理数有个算术平方根定义如果一个