2023年八年级数学上期末复习精品讲义1.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 2 1DCBADCBADCBA八年级上期末复习 第一章 三角形的初步知识 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类：(1)按角分类：(2)按边分类：3、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法：AD 是ABC的 BC上的中线.BD=DC=12BC.BC 2BD 2DC 注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交

2、点之 间的线段 表示法：AD 是ABC的BAC的平分线.1=2=12BAC.BAC 21=22 注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 表示法：AD 是ABC的 BC上的高线.ADBC 于 D.ADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条高所在直线交于一点 4、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关

3、系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边 三角形 直角三象形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 优秀教案 欢迎下载 5、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7、全等三角形 （1）全等三角形的概念

4、：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）角角边定理：有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）8、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换

5、叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。9、线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。10、角的平分线的性质：线上的点到角的两边的距离相等。典例分析 例 1 如图，已知1=2，则不一定能使ABDACD 的条件是（）A、AB=AC B、BD=CD C、B=C D、BDA=CDA 例 2 （1）在ABC 中，已知B=40，C=80，则A=。（2）在ABC 中，A=60，C=

6、50，则B 的外角=。（3）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm（4）小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ _._.例 3 如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，则EDF 的面积为（）A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 例 1 例 3 例 4 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角

7、三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 4 如图，在下列条件中，不能证明ABDACD 的是（）A.BD=DC，AB=AC B.ADB=ADC，BD=DC C.B=C，BAD=CAD D.B=C，BD=DC 例 5 如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，点 A、D 在直线 BE 的 两侧，ABDE，BF=CE，请添加一个适当的条件：，使得 AC=DF.例 6如图所示，已知，AD 为ABC 的高，E为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD，求证：BEAC 例

8、 7如图所示，已知ABC和BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD；BF=BG；BH平分AHD；AHC=60；BFG是等边三角形；FG AD，其中正确的有（）A3 个 B.4个 C.5个 D.6个 例 8如图：在ABC中，BE、CF分别是 AC、AB两边上的高，在 BE上截取 BD=AC，在 CF的延长线上截取 CG=AB，连结 AD、AG 求证：（1）AD=AG （2）AD与 AG的位置关系如何 例 9 如图，在 RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点 D是 AB的中点，AF CD于 H，交 BC于 F，BE AC交 AF的 延长线于 E，求证：BC垂直且平分 DE.FB

9、CADEHGFADCEBEBCAGDFPEFBCAED要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 10 在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线 MN经过点 C，且 AD MN于 D，BE MN于 E（1）当直线 MN绕点 C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线 MN绕点 C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线 MN绕点 C 旋转到图的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这

10、个等量关系。例 11 如图（1）所示，OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：（1）如图（2），在ABC中，ACB=90，B=60，AC、CE分别是BAC，BCA的平分线交于F，试判断 FE与 FD之间的数量关系 （2）如图（3），在ABC中，若ACB 90，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由 M图1ACNEDN图 2ACBDEMDN图3ACBME要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角

11、形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 第二章 特殊三角形 知识点概要 1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形 2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）。3、等边三角形的性质：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。4、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（4）

12、勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba（5）常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC（6）如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，则ACD=B，DCB=A 5、等腰三角形的判定：等角对等边.6、等边三角形的判定：（1）三个角都相等（都是 60），（2）有一个角等于 60的等腰三角形.7、直角三角形的判定 （1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）两条边的平方和等于第三边的平方.（4）如图，AD 是ABC 的高，且DAC=B.（5）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.典例分析 例 1 在ABC 中，AB=

13、AC，1=0.5ABC，2=0.5ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大小与A 的大小有什么关系？若1=ABC/3，2=ACB/3，则BOC 与A 大小关系如何？若1=ABC/n，2=ACB/n，则BOC 与A 大小关系如何？例 6 例 6 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 2.如图,在ABC中,(1)PB,PC 平分ABC和ACB，交于点 P（图 1），则BPC与A的关系式为 .(2)PB，PC平分E

14、BC和BCF，交于点 P（图 2），则BPC与A的关系式为 .(3)PB，PC平分ABC和ACE，交于点 P（图 3），则BPC与A的关系式为 .例 3.如图，BE、CD交于 A点，C与E的平分线交于 F.若 F40，B50，则D .例 4 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由 例 5已知：在ABC 中，ABAC，BDBC，ADDEBE ，求A 的度数.例 6

15、如图，已知：在ABC 中，ABAC，BECD，B70，BDCF.求：EDF 的度数.（1）例 5 例 4 例 6 例 5 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 7 在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为 AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证：DE=DF 例 8 如图，在ABC中，ACB=90，CD是 AB边上的高，A=30求证：AB=4BD 例 9已知，如图，AF 平分BAC，BCAF,垂足为点 E，点

16、D 与点 A 关于 点 E 对称，PB 分别与线段 CF，AF 相交于点 P，M.（1）求证：AB=CD；（2）若BAC 2MPC，请你判断F与MCD 的数量关系，并说明理由.例 10 如图，点 O是正ABC内一点，AOB 1100，BOC.以 OC为一条作正OCD，连结 AD.（1）当1500时，试判断AOD 的形状，并说明理由；（2）探究为多少度时，AOD 是等腰三角形？A B C O D 1100 例 10 例 8 A C B F P M D E 例 9 例 7 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分

17、线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 9 如图，AC BC，AD BD，AD=BC，CE AB，DF AB，垂足分别是 E，F，那么，CE=DF 吗？例 10 如图，已知等腰 RtABC中，ACB=90，点 D 为等腰 RtABC内一点，CAD=CBD=15，E为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA （1）求证：DE平分BDC；（2）连接 BE，设 DC=a，求 BE的长 例 11 已知在ABC中，A=90，AB=AC，D为 BC的中点（1）如图，E、F分别是 AB，AC上的动点，且 BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件

18、下，四边形 AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；（3）若 E、F分别为 AB，CA延长线上的点，仍有 BE=AF，其他条件不变，那么DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论 例 6 例 6 例 6 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 第三章 一元一次不等式 知识点概要 一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都

19、叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，称这个不等式解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等

20、式乘以的数就不等为 0，否则不等式不成立；三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不

21、等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组 不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平

22、分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式 典型分析 例 1 解不等式组 并在数轴表示解集.例 2 求不等式组的正整数解。例 3 解不等式-33x-11，y1?（3）若 m、n 为有理数，则关于 x的不等式(m21)xn的解集为 （4）已知关于 x，y 的方程组134,123pyxpyx的解满足 xy，p的取值范围为 （5）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A B C D 例 6适当选择 a 的取值范围，使 1.7xa 的整数解：(1)x 只有一个整数解；要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三

23、角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载(2)x 一个整数解也没有 例 7当310)3(2kk时，求关于 x 的不等式kxxk4)5(的解集 例 8 已知 a23x，b32x，且 a2b，那么求 x 的取值范围。例 9已知 a 是自然数，关于 x的不等式组02,43xax的解集是 x2，求 a 的值 例 10 关于 x的不等式组123,0 xax的整数解共有 5个，求 a 的取值范围 例 11 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价 12 万元，售价 14.5 万元每件乙种商品

24、进价 8 万元，售价 10 万元，且它们的进价和售价始终不变 现准备购进甲、乙两种商品共 20 件，所用资金不低于 190 万元不高于 200 万元（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 12 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价 12 万元，售价 14.

25、5 万元每件乙种商品进价 8 万元，售价 10 万元，且它们的进价和售价始终不变 现准备购进甲、乙两种商品共 20 件，所用资金不低于 190 万元不高于 200 万元（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案 例 13 甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。甲公司方案：每月养护费用 y(元)与绿化面积 x(平方米)是 一次函数关系，如图 6所示。乙公司方案：绿化面积不超过 1000 平方米时，每月收取费用 5500 元；绿化面积超过 1000 平方米时

26、，每月在收取 5500 元 的基础上，超过部分每平方米收取 4 元。(1)求如图 6所示的 y与 x 的函数解析式；(2)如果学校目前的绿化面积是 1200 平方米，试通过计算说明：选 择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少。第四章 图形与坐标 复习总目 1、掌握平面直角坐标系的建立和坐标点的描述 2、根据需要建立适当的直角坐标系，并在直角坐标系中画出图形 3、掌握坐标平面内的图形的轴对称和平移的变换 知识点概要 1、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。2、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法?(1)用有序数对来确定;图 1Eyx123-1-2-3-3-2-1321O图 1

27、 x(平方米)y(元)100 O 400 900 图 6 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载(2)用方向和距离（方位）来确定;3、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系。简称直角坐标系,坐标系所在的平面就叫做坐标平面 4、掌握各象限上及 x 轴，y 轴上点的坐标的 特点：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）5、x 轴上的点纵坐标为 0，表示为（x，0）；y 轴上的点横

28、坐标为 0，表示为（0，y）6、(1)关于 x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。(2)关于 y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。(3)关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。7、平移 点 a（x1,y1）向右、左平移 h 个单位，则得到的新坐标 a（x1 h,y1）点 b（x2,y2）向上、下平移 g 个单位，则得到的新坐标 a（x2,y2 g）典型分析 例 1:如图 1，在平面直角坐标系中，点 E的坐标是 （）A(1，2)B(2，1)C(1，2)D(1，2)例 2:如图 2，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋 谱方便，横线用数字表示，

29、纵线用英文字母表示，这样，黑棋的位置可 记为(C，4)，白棋的位置可记为(E，3)，则黑棋的位置应记为_ 例 3:如图 3,在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以 后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(4，2)、(2，2)，右图 中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 .例 4:已知ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果ABC 与 ABC 关于 y 轴对称，那么点 A 的对应点 A的坐标为（）A(4，2)B(4，2)C(4，2)D(4，2)例 5:如图，88方格纸上的两条对称轴 EF、MN 相交于中心点 O，对ABC 分别作下列变换：先以点 A为中心顺时针方向旋转

30、90，再向右平移 4格、向上平移 4格；先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A的对应点为中心逆时针 方向旋转 90；先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4格，再以点 A的对应点 为中心顺时针方向旋转 90 其中，能将ABC 变换成PQR 的是（）A.B.C.D.图 2 ABCOPQREFMN图 5 3 2 1 3 2 1 O 1 2 1 2 3 x y 图 3 图 4 A B C 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎

31、下载 例 6:如图 6，在 10 10 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位 将ABC向下平移 4 个单位，得到ABC，再把ABC绕 点 C顺时针旋转 90，得到ABC，请你画出ABC 和ABC（不要求写画法）例 7观察图形由（1）（2）（3）（4）的变化过程，写出每一步图形 是如何变化的，图形中各顶点的坐标是如何变化的.例 8如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（10，0），（0，4），D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一点.若POD为等腰三角形，求所有满足条件的 点 P的坐标.第五章 一次函数 复习总目标 1、能用待定系数法求一次函数的

32、解析式 2、会根据一次函数的图象解相应的问题并会取得函数解析式的基本方法和步骤 3、掌握一次函数的性质 知识点概要 1、一次函数：形如 y=kx+b(k 0,k,b 为常数)的函数。O A（1,2）B（2,0）（1）O A（2,2）B（4,0）(2)O A(2,-2)B（4,0）(3)O A（2,5）B（4,1）（0,1）（4）x y x y x y x y O D A x y C P B 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载

33、注意：（1）k0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1；（2）当 b=0 时，y=kx，y 叫 x 的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与 y 轴交于（0，b）；与 x 轴交于（-b/k，0）（2）由图象可以知道，直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5都与直线 y=2x平行。3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性 k0 时，y 随 x 增大而增大 k0 时，y 随 x 增大而减小 4求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为

34、函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3)用待定系数法求函数解析式。“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次函数的定义：构造方程组。利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标，即由 b 来定点；直线 y=kx+b 平行于 y=kx，即由 k来定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

35、利用题目已知条件直接构造方程。典型分析 例 1：已知y=y1y2，其中y1=k/x (k0的常数)，y2与x2成正比例，求证 y 与 x 也成正比例。例 2：已知一次函数y1=(n-2)x+n2n3的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 y2=(35)2nx是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 3：直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x平行，且

36、与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直线解析式。例 4：直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。例 5：已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 B 在第三象限，它的横坐标为2，AOB 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。三角形的初步：例 6解：（1）证明：ADBC，BDA=ADC=90，12=90.在 RtBDF 和 RtADC 中，RtBDFRtADC（H.L）.2=C.12=90，所以1C=90.1CBEC=180，BEC=90.要线段的定

37、义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 7解：ABC 与BDE 为等边三角形，AB=BC，BD=BE，ABC=DBE=60，ABE=CBD，即 AB=BC，BD=BE，ABE=CBDABECBD，AE=CD，BDC=AEB，又DBG=FBE=60，BGDBFE，BG=BF，BFG=BGF=60，BFG 是等边三角形，FGAD，BF=BG，AB=BC，ABF=CBG=60，ABFCGB，BAF=BCG，CAF+ACB+BCD=CAF+AC

38、B+BAF=60+60=120，AHC=60，FHG+FBG=120+60=180，B、G、H、F四点共圆，FB=GB，FHB=GHB，BH 平分GHF，题中都正确故选 D 例 8（1）证明：BEACAEB90ABE+BAC90CFAB AFCAFG90ACF+BAC90，G+BAG90ABEACF BDAC，CGABABDGCA （SAS）AGAD（2）AGAD 证明ABDGCABADGGADBAD+BAGG+BAG90AGAD 例 9证明：在ADC 中，DAH+ADH=90，ACH+ADH=90，DAH=DCA，BAC=90，BEAC，CAD=ABE=90 又AB=CA，在ABE 与CAD

39、 中，ABECAD（ASA），AD=BE，又AD=BD，BD=BE，在 RtABC 中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，故ABC=45 BEAC，EBD=90，EBF=90-45=45，DBPEBP（SAS），DP=EP，即可得出 BC 垂直且平分 DE 例 10(1）证明：ACB=90，ACD+BCE=90，而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE 在 RtADC 和 RtCEB 中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在A

40、DC 和CEB 中，ADC=CEB=90 ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD证明的方法与（2）相同 例 11 26 （1）FE=FD （2），（1）中的结论 FE=FD仍然成立 在 AC上截取 AG=AE，连结 FG 证AEF AGF得AFE=AFG，FE=FG 由B=60，AD、CE分别是BAC，BCA的平分线 得DAC+ECA=60 所以AFE=CFD=AFG=60，所以CFG=60 由BCE=ACE及 FC为公共边 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于

41、三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 可证CFG CFD，所以 FG=FD，所以 FE=FD 特殊三角形：例 5作 DMAB，DNAC 由已知，1+3180 又2+3180 12 而 AD平分BAC，DM=DN DEM DNF DE DF 例 6略 例 7（1）AE AD，CEAD AC CD(2)BAC 2MPC 12 3 3F+4；2DCM+6；而456 MCD F 例 8（1）ADC BOC ADC=BOC=150 ADO=90 （2）由（1）知ADO=-60 而AOD=190-若 OA=OD，则 2

42、（-60）+190-=180 =110 同理，可得=125或 140 例 9略 例 10（1）证明：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BAC=ABC=45，CAD=CBD=15，BAD=ABD=45 15=30，BD=AD，D在 AB的垂直平分线上，AC=BC，C也在 AB的垂直平分线上，即直线 CD是 AB的垂直平分线，ACD=BCD=45，CDE=CAD+ACD=15+45=60，BDE=DBA+BAD=60；CDE=BDE，即 DE平分BDC；（2）CAE=CEA=15，AC=CE，ACE=150，ACB=90，BCE=ACE ACB=60，AC=CE，AC=BC，CE=BC，BCE

43、是等边三角形，BE=BC=AC 如图，在ACD中，过点 D作 DM AC于点 M，作ADN=CAD=15，交 AC于 N 在 RtCDM 中，CMD=90，C=45，DC=a，DM=MC=a 在 RtDMN 中，NMD=90，DNM=ADN+CAD=30，DM=a，DN=2DM=a，NM=DM=a ADN=CAD=15，AN=DN=a，AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，BE=AC=a A C B F P M D E 1 2 6 4 3 5 例 7 题 M N 1 2 3 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积

44、相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 例 11（1）证明：连接 AD AB=AC，A=90，D为 BC中点AD=BD=CD 且 AD平分BAC BAD=CAD=45 在BDE和ADF中，BDE ADF（SAS）DE=DF，BDE=ADF BDE+ADE=90 ADF+ADE=90 即：EDF=90 EDF为等腰直角三角形（2）解：四边形 AEDF 面积不变 理由：由（1）可知，AFD BED SBDE=SADF，而 S四边形 AEDF=SAED+SADF=SAED+SBDE=SABDS四边形 AEDF不会发生变化（3）解：仍为等腰直角三角形 理

45、由：AFD BED DF=DE，ADF=BDE ADF+FDB=90 BDE+FDB=90 即：EDF=90 EDF为等腰直角三角形 不等式 例 13 解：（1）设 y 关于 x的函数解析式为 y=kx+b(k0)，函数图像经过(0，400)，(100，900)，y关于 x 的函数解析式为 y=5x+400；（2）由（1）知，甲公司费用解析式为 y=5x+400，当 x=1200 时，y=5 1200+400=6400(元)，设乙公司费用为 z，z=5500+(1200-1000)4=6300(元)，64006300，选择乙公司费用较少。直角坐标系 例 6 例 7 例 8（1）当 POPD 时

46、，P（2.5，4）；（2）当 OPOD5时，P（3，4）；（3）当 DPOD5时，分两种情况：如图 P（2，4）或 P（8，4）A B C BAABC例 6 O D A x y C P B 图（2）O D A x y C P B 图（1）O D A x y C P B 4 5 图（3）横 2 纵（1）纵1（1）（2）（3）（4）O D A x y C P B 4 5 图（3）要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形优秀教案 欢迎下载 要线段的定义等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角三角形三条中线交于三角形内部一点中线把三角形分成两个面积相等的分线全在三角形的内部三角形三条角平分线交于三角形内部一点三角形