2023年余弦定理精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 教案设计：余弦定理 【教材】湘教版必修 4 第 9 页至 12 页.【教学对象】高二（上）学生【学情分析】学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题.【教学目标】知识与技能（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理.过程与方法（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.（2）培养学生数形结合的能力.（3）培养学生的问题解决能力.情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程，感

2、受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.【教学重点】余弦定理推导 【教学难点】余弦定理推导及应用【教法学法】教法：一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体.三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习.学法：根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论，学习必备 欢迎下载 汇报交流，归纳总结等方式进行学习 【教学过程

3、设计】一、教学流程设计 （一）情景引入 千岛湖中三个岛屿的距离问题抽象为已知三角形两边及夹角求第三边问题 学生比较余弦定理与勾股定理之间的关系 余弦定理公式在结构上有怎样的特点 利用定理可解决已知两边及夹角求第三边的问题 结合正弦定理分析已知哪些条件可求解某三角形 公式的灵活应用，已知三角形三边如何求最大角 利用余弦定理解决引入中的距离问题 回顾正弦定理及正弦定理可解决的两类问题 以锐角三角形为例，通过作高的方法研究三边存在的关系 学生自行探索钝角三角形三边之间的关系 总结、得出余弦定理 （二）探索新知（四）剖析定理 用三边表示某角余弦值，即用余弦定理解决已知三边求角的问题（五）问题解决（七）

4、例题探究（六）公式变形（八）总结归纳（三）自主探究 学生自行探索钝角三角形中边角关系 已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲这就促使学生去探索如何求解的逻辑思维培养学生数形结合的能力培养学生的问题解决能力情态度价余弦定理推导教学难点余弦定理推导及应用教法学法教法一情景教学法学习必备 欢迎下载 二、教学过程设计 教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设 计 意 图（一）情 景 引 入 千岛湖位于我国浙江省淳安县，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿 A、B、C，岛屿 A与 B之间的距离因 AB之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得 AC、BC的距离分别为 6km和 4k

5、m，且 AC、BC的夹角为120度，问 岛 屿AB 的 距 离 为 多 少？教师 介绍 千岛 湖风 景区，并提 出问 题 学生欣赏风景 并思考问题 通过实例创设情境，引发学生对本节课的兴趣，同时抽象出数学问题，提出已知三角形两边及夹角如何求第三边的数学问题，顺利引入新课。（二）探 索 新 知 （1）已有的正弦定理可否解决该问题（2）已知两边及夹角求第三边，当夹角为多少度时我们可以求出？（勾股定理）（3）以锐角三角形为例探索三角形如何求出第三边 教师以直角三角形为出发点 逐步引导学生 学生 在教 师指 引下 思考 问题 以勾股定理为出发点，以锐角三角形为例引导学生如何推倒第三边，同时为自行推倒钝

6、角三角形第三边作铺垫 巩固对余弦定理的认识，达到灵活应用公式的目的 岛屿 C 岛屿 B 岛屿 A A B C c b a D 222CDBDa22(sin)(cos)bAc bA222222coscossinAAbcAcbb 222cosbcAcb A C B D（九）习题巩固 已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲这就促使学生去探索如何求解的逻辑思维培养学生数形结合的能力培养学生的问题解决能力情态度价余弦定理推导教学难点余弦定理推导及应用教法学法教法一情景教学法学习必备 欢迎下载 （三）自主 探究 （四）定理剖 析 同理：（1）学生自行探索是否钝角三角形中也有这样的边角关系（2）得出余弦定理

7、（1）勾股定理与余弦定理有怎样的联系（2）余弦定理公式在结构形式上有怎样的特点（3）利用余弦定理可解决已知两边及夹角求第三边的问题 教师 引导学生如何探索 教师 引导 学生 分析发现 学生自行探索钝角三角形中三边的关系 学生 比较 异同 体现新课标教师引导学生主体的新理念，让学生自主去发现、推导定理 通过比较让学生体会由特殊到一般的关系 （五）问 题 解 决 （六）公 式 变 形 千岛湖中岛屿 AB之间的距离可由余弦定理求得：Km 将余弦定理公式作变形得：教师 讲解如何由余弦定理求ab之间距离 教师 引导 讲解 学生听讲 思考 学生 听讲 思考 呼应“千岛湖”求距离这一部分，解答学生心中的疑惑

8、，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到余弦 定 理 的 威力。通过变式可以由三边求出三个角 222c=a+b-2abcosC222a=b+c-2bccosA222b=a+c-2accosB222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab2222cosACABBCAB BCB2263.4263.4cos12067.96o 8.24AC 2222cosacBacb 2222cosabCcab 已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲这就促使学生去探索如何求解的逻辑思维培养学生数形结合的能力培养学生的问题解决能力情态度价余弦定理推导教学难点余弦定理推导及应

9、用教法学法教法一情景教学法学习必备 欢迎下载 (七)例 题 探 究 例 已知三角形的三边长分别为已知ABC的三边为 、2、1，求该三角形的最大内角 解：不 妨 设 三 角 形 的 三 边 分 别 为a=,b=2,c=1则最大内角为A，由余弦定理得 故最大角 教师 引导 什么样的内角最大 学生 思考 并动手尝试 通 过 设 计 问题，让学生灵活掌握公式并培养学生的问题解决能力 （八）归 纳 总 结 1.余弦定理可以解决两类问题（1）已知两边及夹角求第三边的问题（2）已知三边求角的问题 2.结合正弦定理判断在三角形的六个元素中（三角及三边）是否可以由任意三个元素求出 另外三个元素 教师 引导 总结

10、 本节 内容 并结合正弦定理探索解三角形问题 学生 体会如何用正余弦定理解三角形 通过归纳能突破公式字面意义的局限性，建立起较高层次的有意义条件反射，而不是机械的记忆公式。（九）作 业 巩 固 家庭作业:1.牛刀小试 已知 b=4,c=8,C=60 求边 a.2.数学探究判断三角形形状 在三角形 ABC中，已知 a=7,b=10,c=6,判定三角形 ABC的形状 教师 布置 作业 并作相关提示 学生 认真 纪录 并思考问题 由浅入深的练习能够强化本节 课 所 学 知识。数学探究旨在培养学生的问题解决能力和数学探究能力 772712 221+2-cosA=22 1120 A=已知两边及夹角问题学

11、生有一定的求知欲这就促使学生去探索如何求解的逻辑思维培养学生数形结合的能力培养学生的问题解决能力情态度价余弦定理推导教学难点余弦定理推导及应用教法学法教法一情景教学法学习必备 欢迎下载 【板书设计】余弦定理 一、引入 三、公式变形 六、小结与作业 二、余弦定理 四、例题 本教学设计的创新之处 1.目标创新 (1)理解余弦定理公式的适用条件，即已知两边及夹角求第三边的问题和已知三边求角的问题.(2)培养学生数形结合的数学素养;培养学生的问题解决能力和数学探究能力.(3)让学生感受数学的严谨美以及公式的对称美.2.教法创新 采用三种不同的教法，最大限度地调动学生的积极性，提高课堂效率.3.数学创新 设计了运用余弦定理来解决实际问题解决的例子,为学生提供运用余弦定理来研究等三角形形状的探究问题，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力,体现了现代数学教育的价值取向.已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲这就促使学生去探索如何求解的逻辑思维培养学生数形结合的能力培养学生的问题解决能力情态度价余弦定理推导教学难点余弦定理推导及应用教法学法教法一情景教学法