2023年分类加法计数原理与分步乘法计数原理超详细导学案1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、学习目标 1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；2.了解分类、分步的特征，合理分类、分步；3.体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.二、教学重难点 重点：分步、分类计数原理 难点：1.正确选择是分类还是分步的方法 2.分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.三、知识梳理 分类计数原理 问题 1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：给座位编号的方法可分_类方法?第一类方法用 ，有_ 种方法;第二类方法用 ，有_ 种方法;能编出不同的号码有_ 种方法.新知：分类计

2、数原理（加法原理）：试试：一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第2 种方法完成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种数是 .分步计数原理 问题 2：用前六个大写的英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以,2121BBAA的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有_种编法，第二部分是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有 个.新知：分步计数原理（乘法原理）：试试：从 A村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路

3、有 2 条，从 A村经 B 村去 C 村，不同的路线有 条.四交流释疑 例 1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?变式：在上题中，如果数学也是 A大学的强项专业，则 A大学共有 6 个专业可以选择，B大学共有 4 个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有1046种.这种算法对吗？小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.【记录天地】【完善空间】

4、学习必备 欢迎下载 例 2.如图,要给地图 A、B、C、D四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？例 2 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有2 本不同的体育书，（1）从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？变式：要从甲，乙，丙 3 副不同的画中选出 2 副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针

5、对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.练 1.现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名.从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?五学习小结 1.什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？2.什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？六知识拓展 集合 A中有 n 个元素，则集合 A的子集的个数有n2个.七当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有 4 种，外地产品有 7 种，要买

6、 1 台这种型号的电视机，有 种不同的选法.2.某班有男生 30 人，女生 20 人，现要从中选出男，女各 1 人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.3.乘积nnbbbaaa2121展开后，共有 项.4.要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.5.一种号码拨号锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字，这 4 个拨号盘可以组成 个密码.6.如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地 有 3 条路；从甲地到丙地有 4 条路，从丙地到丁地有 2 条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还

7、是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 7.如图，一条电路从 A 处到 B 处接通时，可有多少条不同的线路？八课时作业（1）1.2.1.排列（1）一学习目标 1.理解排列、排列数的概念；2.了解排列数公式的推导.二教学重难点 重点：排列数公式的应用难点：解题思路分析 三复习回顾 复习 1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 2 个不重复的英文字母和 4 个不重复的阿拉伯数字，并且 2 个字母必须合成一组出现，4 个数字也必须合成一

8、组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习 2：从甲，乙，丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？四新知梳理 新知 1：排列的定义 一般地，从 n 个 元素中取出 m（）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.试试：写出从 4 个不同元素中任取 2 个元素的所有排列.探究任务二：排列数及其排列数公式 新知 2 排列数的定义 从 个 元素中取出 （nm）个元素的 的个数，叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数，用符合 表示.试试：从 4 个不同元素 a，b,c，d 中任取 2

9、 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数是多少？从 n 个不同元素中取出 3 个元素的排列数是少？从 n 个不同元素中取出 m（nm）个元素的排列数是多少？新知 3 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m（nm）个元素的排列数mnA 新知 4 全排列 从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为nnA 五交流释疑 例 1 计算：410A;218A;441010AA.例 2 若17 16 155 4mnA ，则n ，m 【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重

10、不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 变式:乘积(55)(56)(68)(69)nnnn用排列数符号表示 （,nN）例 3 求证：11mnmnnAA 变式 求证：7766778878AAAA 例 4某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？例 5(1）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不

11、同的送法？例 2 用 0，1，2，3，4，5 六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比 1325 大的没有重复数字四位数？变式：用 0，1，2，3，4，5，6 七个数字，能组成多少个没有重复数字的四位奇数？能被 5 整除的没有重复数字四位数共有多少个？六学习小结 1.排列数的定义 2.排列数公式及其全排列公式.七当堂检测 1若!3!nx，则x （）()A3nA ()B3nnA ()C3nA ()D33nA 2与37107AA不等的是 （）()A910A ()B8881A ()C9910A ()D1010A 3若532mmAA，则m的值为 （）()A5 ()

12、B3 ()C6 ()D7【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 7一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？8一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？八课后作业（2）1.2.1.排列（2）一学习目标 1 熟练掌握排列数公式；2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.二教学重难点 重点：排列数公式的应用 难点;用

13、排列数公式解决一些简单的应用问题.三复习回顾（预习教材 P5 P10，找出疑惑之处）复 习1：什 么 叫 排 列？排 列 的 定 义 包 括 两 个 方 面 分 别 是 和 ；两个排列相同的条件是 相同，也相同 复习 2：排列数公式：mnA （,m nNmn）全排列数：nnA .复习 3 从 5 个不同元素中任取 2 个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 四交流释疑 例 1（1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4），共有多少种不同的排法？（3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站

14、在两端的排法共有多少种？（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例 2.从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 例 3 7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学

15、必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 例 47 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？例 55 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列 五当堂检测：1如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答）2某校开设 9 门课程供学生选修，其中,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，

16、学校规定每位同学选修 4 门，共有 种不同选修方案。（用数值作答）3记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）1440 种 960 种 720 种 480 种 4图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给、四个维修点的某种配件各件，在使用前发现需将、四个维修点的这批配件分别调【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 整为、件，但调整

17、只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为答案 （）（）（）（）六学习小结 1.正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2.正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.七课时作业（3）1.2.2.组合（1）一学习目标 1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；会做组合数的简单运算；.3.掌握组合数的两个性质；4.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；二教学重难点 重点：组合与组合数的概念 难点：组合与排列之间的关系；三知

18、识梳理 组合的概念 一般地，从 个 元素中取出 mn个元素 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的概念：从n个 元素中取出mmn个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号 表示 组合数公式mnC 我们规定：0nC 组合数的性质 1：mnnmnCC组合数性质 2 mnC1mnC+1mnC 四交流释疑【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 例 1 求值（1）26C

19、；38C；2637CC；69584737CCCC；变式：求证：11mnmnCmnmC 例 2 解不等式321010nn-Cn+CN.练 2.解方程：（1）3213113xxCC （2）333222101xxxxxACC 例 3 从这 9 名同学中选出 3 名出席一会议（1）若 A，B两名必在其内，有多少种选法？（2）若 A，B两名都不在内，有多少种选法？（3）若 A，B两名有且只有一名在内，有多少种选法？（4）若 A，B两名中至少有一名在内，有多少种选法？（5）若 A，B两名中至多有一名在内，有多少种选法？练习：若 9 名同学中男生 5 名，女生 4 名（1）若选 3 名男生，2 名女生排成一

20、排，有多少种排法？（2）若选 3 名男生 2 名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？（3）若选 3 名男生 2 名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？（4）若男女生相间，有多少种排法 例 4 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的

21、选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 例 5 几何问题（）四面体的一个顶点为 A，从其它顶点和各棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A在同一个平面上，有多少种不同的取法？（）四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取法？五 学习小结 1.正确理解组合和组合数的概念 2.组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnn mCAm 或者：)!(!mnmnCmn),(nmNmn且 3.组合数的性质 1：mnnmnCC 组合数性质 2：mnC1mnC+1mnC 六 当堂检测 1.若 8 名学生每 2 人互通一次

22、电话，共通 次电话 2.设集合Aa,b,c,d,e,BA，已知aB，且B中含有 3 个元素，则集合B有 个.3.写出从a,b,c,d,e中每次取 3 个元素且包含字母a，不包含字母b的所有组合 4.908910099C-C 5.若231212nn-CC，则n 6.已知平面内 A，B，C，D 这 4 个点中任何 3 个点都不在一条直线上，写出由其中每 3点为顶点的所有三角形.七课时作业（4）1.2.2 组合（2）一学习目标 1.进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2.进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3.熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.二学习重难点 1.会区分排列与组合 2.能运用

23、排列组合解决简单问题 三交流释疑 例 1 6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本 （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本 （3）一人得一本，一人得两本，一人得三本 （4）平均分给甲、乙、丙三人 （5）平均分成三堆 （6）分成四堆，一堆三本，其余各一本 （7）分给三人每人至少一本。【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯学习必备 欢迎下载 例 2 车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳

24、工，4 名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，有多少种选派方法？例 3 染色问题 梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？练某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分。现在栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。例 4：关于数的整除个数的性质：用数字 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数（1）可以组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个四位偶数？（3）可组成多少个能被

25、3 整除的四位数？（4）可组成多少个能被 5 整除的四位数？例 5（1）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？（2）将数字 1，2，3，4 填在标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？四课时小结 1.进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2.进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个

26、阿拉伯学习必备 欢迎下载 五课堂检测 110 个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的编数，问有 种不同的放法？2坐在一排 9 个椅子上，相邻两人之间至少有 2 个空椅子，则不同的坐法的种数是 3如图 A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 种。4面直角坐标系中，X轴正半轴上有 5 个点，Y轴正半轴有 3 个点，将 X轴上这 5 个点或 Y轴上这 3 个点连成 15 条线段，这 15 条线段在第一象限内的交点最多有 个。5某邮局现只有邮票 0.6 元，0.8 元，1.1 元的三种面值邮票，现有邮资为 7.5 元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最小，且邮资恰为 7.5 元，则至少要购买 张邮票。六课时作业（5）【记录天地】【完善空间】计数原理难点正确选择是分类还是分步的方法分类要做到不重不漏分步可分类方法第一类方法用有种方法第二类方法用有种方法能编出不同的选法的种数是分步计数原理问题用前六个大写的英文字母和九个阿拉伯