2023年初一三角形知识全面汇总归纳(最详细)与练习题1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 三角形的有关概念（1）三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“”表示（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线（4）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 2、三角形的有关性质（1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边（2）角的性质：三角

2、形的内角和为 180，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变 3、三角形的分类（1）按边分等边三角形角形底与腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形 （2）按角分 钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形 4、全等三角形的有关概念和性质（1）全等图形：两个能够 重合 的图形称为全等图形 全等图形的特征：全等图形的 形状和大小 都相等 全等三角形：两个能够 完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的角叫做

3、 对应角 （2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 5、全等三角形的判定条件（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：边角边（SAS）；角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS).(2)直角三角形的全等的条件:除了使用 SAS、ASA、AAS、SSS 判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.6.判别两个三角形全等 1已知两边SSSHLSAS找另一边找直角找夹角 2已知一边一角AASASASASAAS找边的对角找夹角的另一边的对角找夹角的另一边）边为角的邻边（找任一角）边为角的对边（21 3已知两角AASASA找夹边外的任一边找夹边 学

4、习必备 精品知识点 7.作三角形 用尺规作三角形的类型主要有：（1）己知三角形的 三边 ，求作这个三角形（2）己知三角形的 两边及夹角 ，求作这个三角形（3）己知三角形的 两角及夹边 ，求作这个三角形 二、应注意的问题 1.三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上 三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点 2、注意：不能把“边边角”和

5、“角角角”作为判定两个三角形全等的依据 3书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.4、注意：在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉 在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的 三、经典例题 例 1 如图 1，有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A点，两条直角边分别与 CD 交于点 F，与 CB 延长线交于点 E则四边形 AECF 的面积是_ 分析：本例看似是正方形的问题，其实质是考查全等三角形的判定 由于EAF=BAD=90可得出EAB=DAF，ABE=D=90，AB=AD，ABE

6、ADF，所以，四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16 解：因为EAF=BAD=90，所以EAB=DAF，ADABD，ABEDAF，EAB ABEADF四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16.例 2 如图 2，在ABC 与DEF 中，给出以下六个条件：AB=DE；BC=EF；AC=DF；A=D；B=E；C=F，以其中三个条件作为已知，不能判断ABC 与DEF 全等的是()A B C D 分析：三角形全等的判定方法有：“边、边、边”、“边、角、边”、“角、边、角”或“角、角、边”.本题可采用排除法寻找答案.“、(真)”为“边角边”判定方法；“、(真)

7、”为“边边边”判定方法；“、(真)”为“角角边”判定方法；“、(假)”，为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法，因此，不能判断ABC 与DEF 全等的是 D.例 3 如图 3，巳知：CEAD 于 E，BFAD 于 F，你能说明BDF 和CDE 全等吗?若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是_，说明这两个三角形全等，并写出证明过程 分析：题目要证明的两个三角形全等已满足两组角对应相等，但三角形全等至少要有一组边对应相等，因此，需要补充一组边对应相等.解：补充的条件为：BD=CD，DE=DF 或 BF=CE.A B C D E F 图 2 B

8、图 3 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 若补充 BD=CD.证明过程如下：CEAD 于 E，BFAD 于 F，所以，F=CED.CDBDCDE，BDFCED，FBDFCDE.注：本题和北师大版七年级数学下 158 页第 5 题雷同.例 5 将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这 两张三角形纸片摆放成如图 5 的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上(1)求证：ABED；(2)若 PB=BC，请找出图中

9、与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 分析：充分利用边相等或角相等或互余的关系.（1）证明：由题意可知ABCDEF,因而A=D，而A+B=90，故D+B=90，即BPD=90，所以，ABED.也可以利用两直线平行，内错角相等证明A=D.(2)若 PB=BC，则有ABCDBP.BCBPD，AB，BABCDBP.注：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：APNDCN；DEFDBP；EPMBFM.四、考点例析 考点一：三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 例 1 在ABC 中，AB=9，BC=2，并且 AC 的长为奇数，那么ABC 的周长是多少？分析 由

10、三角形中第三边取值范围的确定方法：“两边之差第三边两边之和”，可求出 AC 的长，从而求出ABC 的周长 解：根据三角形三边关系有 AB-BCACAB+BC，所以 9-2 AC9+2，即 7AC11，又因为 AC 的长为奇数，所以 AC=9，所以ABC的周长为 9+9+2=20 练习 1：（1）（2005 年昆明市中考题）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（）A4cm，5cm，6cm B2cm，3cm，5cm C4cm，4cm，9cm D12cm，5cm，6cm（2）有长分别为 1cm、2cm、3cm、4cm、5cm 的线段，则以其中三条线段为边可构成_个三角形 答案与提示：（1）选 A；

11、（2）其中 2cm，3cm，4cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm 共可构成三个三角形 图 5 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 考点二：三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180，直角三角形的两个锐角互余 例 2（2004 年陕西中考题）如图，在锐角ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，且 CD、BE 交于一点 P，若A=50，则BPC 的度数是（）A150 B130 C120 D100

12、 分析：解这类题目的关键要明确所求的角是哪个三角形的内角，要抓住题目中存在的等量关系，如“三角形的内角和等于180等”解：在ABC 中，A=50，ABC+ACB=180-50=130 CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，ADC=AEB=90 在 RtABE 中，ABE=90-A=90-50=40 在 RtACD 中，ACD=90-A=90-50=40 PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ABE+ACD）=130 80=50 在BPC 中，BPC=180-（PBC+PCB）=180-50=130 本题选 B 练习 2：（1）（2005 年黑龙江中考题）已知 BD、CE 是ABC 的高，直

13、线 BD、CE 相交所成的角中有一个角为50，则BAC 等于_（2）一块模板如图所示，按规定 AB、CD 的延长线相交成85角，因交点不在模板上，不便测量，所以工人师傅连结 AC，测得BAC=32，DCA=65，这时就可以知道，AB、CD 的延长线相交所成的角不符合规定请说明理由 答案与提示：（1）50；（2）由三角形内角和定理可得 H=83 考点三 三角形中的三条重要线段 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之

14、间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 例 3 如图，在ABC 中，分别画出它的中线 AD 和高 AE，并回答下列问题：（1）AE 还是哪些三角形的高？（2）ABD 与ACD 的面积有什么关系？为什么？PEDCBAHFEDCBACBA与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 分析 应根据三角形的中线和高的意义画图 解：（1）如图，AE 还是ABD、ADE、ADC、AEC、ABE 的高（2）ABD 与ACD 的面积相等，因为这两个

15、三角形等底同高 练习 3：（1）三角形一边上的高（）A必在三角形内部 B必在三角形外部 C必在三角形的边上 D以上三种情况都有可能（2）如图 5，AE 是ABC 的角平分线，则_=_=21_；AD 是ABC 的中线，则_=_=21BC（3）三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点，一定在三角形的（）A内部 B外部 C边上 D不确定 答案与提示：（1）选 D；（2）BAE，CAE，BAC；BD，CD；（3）选 A 考点四 图形的全等 两个能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同特别地，全等图形的面积相等 例 4 如图（1），一个 55 的正方形，去掉居于中心位置的画阴影的一格，你

16、能沿着图中的虚线，把余下的部分分成四个全等的图形吗？分析 可以从方格的数量（即面积）入手考虑 55 的正方形共有 25 格，去掉一格后，还有 24 格如果分成四个全等的图形，则每个图形应该有 6 格 解：图（2）（8）是几种可能的划分方案 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）练习 4：沿着图中的虚线，请用至少三种方法把下面的图形划分为两个全等图形，把你的方案画在下面的图中 答案如下：考点五 全等三角形的特征及三角形全等的条件 全等三角形的对应边相等，对应角相等 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”EDCBA与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的

17、角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”例 5 如图，如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A带去 B带去 C带去 D带去 分析

18、 怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定条件来判断题中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中：（1）仅留一角；（2）没边没角；（3）存在两角和夹边，可依据 ASA，不难作出与原三角形全等的三角形 解：应选 C 练习 5：（1）（2005 年临沂市中考题）如图，将两根钢条 AA、BB的中点 O 连在一起，使 AA、BB可以绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工件，则 AB的长就等于内槽宽 AB 的长，那么AOBOAB的理由是（）A 边角边 B角边角 C 边边边 D 角角边 （2）（2004 年潍坊市中考题）如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等

19、的图形是（）abcCBA725058accaa丙乙甲50507250 A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙（3）如图 10，1=2，BC=EF，那么需要补充一个条件_（写出一个即可），才能使ABCDEF 答案与提示：（1）选 A；（2）选 B；（3）提示：此题答案不唯一，属开放性问题根据三角形全等的条件：SSS，ASA，AAS，SAS，对照图中已知条件，只需有另外一角或边 AC=DF 即可应填B=E（A=D 或 AC=DF均可）考点六：与三角形有关的作图 例 6 已知两角及其中一个角的对边，求作三角形 分析 该题是作图题中的文字题，根据已知画出相应的图形，这样的图形具有一定的随意性本题的两个

20、角大小要适当，即它们的和必须小于180，否则无解 已知：如图、，线段 a 求作：ABC，使B=，A=，BC=a BAOBA21FEDCBAaDAEBC与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 作法：1作线段 BC=a；2在 BC 的同侧作DBC=，ECB=180-，DB、EC 交于点 A ABC 为所求作的三角形 评注：已知两角及其中一个角的对边作三角形，可根据三角形内角和等于180，转化为利用两角及其夹边作三角形，化未知为已知，

21、使问题得以解决 练习 6：求作一个边长为 a 的等边三角形 a 答案与提示：已知：线段 a，求作ABC，使 AB=AC=BC=a 作法：（1）作线段 BC=a；（2）分别以 B、C 为圆心，以 a 为半径画弧，两弧交于点 AABC 为所求作的三角形 考点七：全等三角形的应用 例 7公园里有一条“Z”字型道路 ABCD，如图 11，其中 ABCD，在 AB、BC、CD 三段路旁各有一只石凳E、M、F，M 恰为 BC 的中点，且 E、F、M 在同一直线上，在 BE 道路中停放着一排小汽车，从而无法直接测量 B、E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理 分析 由EBMFCM 可知，测量

22、 C、F 之间的距离就是 B、E 之间的距离 理由：ABCDCMBMCBFMCEMBEBMFCMBE=CF 评注：运用三角形全等的方法来解决实际问题，关键找出两三角形全等的条件，并能运用自己的语言进行说理 练习 7：（2004 年福州中考题）三月三，放风筝，如图 12，是小明制作的风筝，他根据 DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH，请你用所学的知识给予说明 答案与提示：连接 DH DHDHFHEHDFDEDEHDFHDEH=DFH 三角形 测试题 一、选择题 FMEDCBAHFED与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的

23、有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 1一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ()A三角形内部 B 三角形的一边上 C 三角形外部 D三角形的某个顶点上 2下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ()A4、5、6 B6、8、15 C5、7、12 D3、9、13 3在锐角三角形中，最大角的取值范围是 ()A090 B6090 C 60180 D 6090 4下列判断正确的是 ()A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等 C有一角和一

24、条边对应相等的两个直角三角形全等 D有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5等腰三角形的周长为 24cm，腰长为 xcm，则 x 的取值范围是()Ax6 B6x12 C0 x12 Dx12 6已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式BC3A则此三角形 ()A一定有一个内角为 45 B一定有一个内角为 60 C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形 7三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ()A三条中线交点 B三条角平分线交点 C三条高线交点 D三条高线所在直线交点 8已知等腰三角形的一个角为 75，则其顶角为 ()A30 B75 C105 D30或 75 9如图 5124，直线

25、l、l、l 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ()A一处 B二处 C三处 D四处 10三条线段长度分别为 3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ()A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D根本无法确定 二、填空题 1 如果ABC中，两边 a7cm，b3cm，则 c 的取值范围是_；第三边为奇数的所有可能值为_；周长为偶数的所有可能值为_ 2四条线段的长分别是 5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成_个三角形 3过ABC的顶点 C 作边 AB的垂线将ACB分为 20和 40的两个角，那么A

26、，B 中较大的角的度数是与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 _ 4在 RtABC中，锐角A的平分线与锐角B的平分线相交于点 D，则ADB _ 5如图 5125，AD，AC DF，那么需要补充一个直接条件_(写出一个即可)，才能使ABC DEF 6三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_三角形 7ABC中，AB 5，BC 3，则中线 BD的取值范围是_ 8如图 5126，ABC中，C90，CD AB，CM

27、平分 AB，CE平分DCM，则ACE的度数是_ 9已知：如图 5127，ABC中，BO，CO分别是ABC和ACB的平分线，过 O点的直线分别交 AB、AC于点 D、E，且 DE BC 若 AB 6cm，AC 8cm，则ADE的周长为_ 10每一个多边形都可以按图 5128 的方法割成若干个三角形而每一个三角形的三个内角的和是 180按图 5127 的方法，十二边形的内角和是_度 三、解答题 1，已知：如图 5129，ABC的B、C的平分线相交于点 D，过 D 作 MN BC交 AB、AC分别于点 M、N，求证：BM CN MN 2已知：如图 5130，在ABC中，ACB 90，CD为高，CE平

28、分BCD，且ACD：BCD 1：2，那么 CE是 AB边上的中线对吗?说明理由 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 3已知：如图 5131，在ABC中有 D、E两点，求证：BD DE EC AB AC 4已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)5已知：如图 5132，点 C在线段 AB上，以 AC和 BC为边在 AB的同侧作正三角形ACM 和BCN，连结 AN、BM，分别交 C

29、M、CN于点 P、Q求证：PQ AB 6已知：如图 5133，AB DE，CD FA，AD，AFC DCF，则 BCEF你能说出它们相等的理由吗?【参考答案】一、1A 2A 3D 4D 5B 6A 7B 8D 9A 10D 二、1cmccm104，5cm、7cm、9cm，16cm或 18cm；22；370 4135 5AB DE（或BE或CF）；6直角；741BD；845；914cm 101800 三、1 证明：BD、CF平分ABC、ACB 12，34 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的

30、两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点 MNBC，62，35 16，45 BMDM，CN DN BMCN DM DN 即 BMCN MN 2解：CE是 AB边上的中线 理由：ACB 90，ACD:BCD 1:2，ACD 30，BCD 60 CE 平分BCD，DCE BCE 30 CD AB，ACD 30，BCD 60，A60，B30 AACD DCE ACE，BBCE AE EC，BE EC AE BE 所以 CE为 AB边上的中线 3证明：延长 BD交 AC于 M点，延长 CE交 BD的延长线于点 N 在ABM 中，BMAMAB，在CNM 中，NCMCNM，NCBM

31、MCNMAMAB NMBNBMACMCAM,，NCNMBNNMACAB NCBNACAB 在BNC中，ECNEDNBDNCBN 在DNE中，DENEDN 由、得：ECDEBDNCBN 由、得：ECDEBDNCBNACAB 4已知：线段 a 和如下图（1）求作 RtABC使ACaBC,90,作法：（1）作的余角（2）作MBN （3）在射线 BM上截取 BC a（4）过点 C作 CA BM，交 BN于点 A，如图（2）ABC就是所求的直角三角形 5证明：ACM 和BCN都是正三角形，ACM BCN 60，AC CM，BC CN 点 C在线段 AB上，ACM BCN MCN 60 ACM MCN B

32、CN MCN 120即 NCA BCM 120 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后学习必备 精品知识点,CDFADADEAB在ACN和MCB 中,CBCNBCMACNCMAC ACN MCB（SAS）ANC MBC 在PCN和QCB中,CBCNBCNMCNMBCANC PCN QCB（AAS）PC QC PCQ 60 PCQ是等边三角形 PQC 60 PQC QCB PQ AB 6解：连结 CE、BF，如图 在ABF和DEC中 ABF DEC（SAS）34，BFEC AFC DCF，AFC 3DCF 4即 12 在BCF和EFC中,21,CFFCECBF BCF EFC（SAS）BC EF 与它的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线之间的线段叫做三角形的高线三角形的有关性质边的性质三角形的任意的内角直角三角形的两个锐角互余稳定性即三角形的三边的长度确定后