2023年分式方程的增根与无解1.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0，它是原方程的增根，从而原方程无解现举例说明如下：

2、例 1 解方程2344222xxxx 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x+2）-4x=3（x-2）解这个方程，得 x=2 经检验：当 x=2 时，原方程无意义，所以 x=是原方程的增根 所以原方程无解 例 2 解方程22321xxxx 解：去分母后化为 x13x2（2x）整理得 0 x8 因为此方程无解，所以原分式方程无解 例 3（2007 湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则 m=解：原方程可化为32xx=2mx 方程两边都乘以 x2，得 x3=m 解这个方程，得 x=3m 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根即 x=2，所以 2=3m，解得 m=1 故当 m=1时

3、，原方程无解 精品资料 欢迎下载 例 4 当 a 为何值时，关于 x 的方程223242axxxx会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原分式方程有增根，则 x2 或2 是方程的根 把 x2 或2 代入方程中，解得，a4 或 6 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当 a 为何值时，关于 x 的方程223242axxxx无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x10 本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程无解，则有两种情形：（1）当 a1

4、0（即 a1）时，方程为 0 x10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解原方程若有增根，增根为 x2 或2，把 x2 或2 代入方程中，求出 a4 或 6 综上所述，a1 或 a一或 a6 时，原分式方程无解 例 5：（2005 扬州中考题）若方程)1)(1(6xx-1xm=1 有增根，则它的增根是（）A、0 B、1 C、-1 D、1 或-1 分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0则 x=-1 或 x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1 整理得：根指的

5、是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化精品资料 欢迎下载 m(x+1)=7-x2 当 x=-1时,此时 m 无解；当 x=1 时,解得 m=3。由此可得答案为 B。例 6：关于 x 的方程3xx-2=3xm有一个正数解，求 m 的取值范围。分析：把 m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 m 的取值范围，但不能忽略产生增根时 m 的值。原方程易化为整式方程：x-2(x-3)=m 整理得：x=6-m 原方程有解，故 6-m不是增根。6-m 3 即 m 3

6、 x0 m 6 由此可得答案为 m 的取值范围是 m 6 且 m 3。一、分式方程有增根，求参数值 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程342xaxx=0 有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（）因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（）得，9-12+a=0 a=3 所以 a=3 时，342xaxx=0 有增根。例 8 m 为何值时，关于 x 的方程11x+2xm=23222xxm有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得 根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整

7、式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化精品资料 欢迎下载（1+m）x=3m+4（）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为 x=1 或 x=2。把 x=1 代入（），解得 m=-23；把x=2 代入（）得 m=-2 所以 m=-23或-2时，原分式方程有增根 点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程1xk+1=)2)(1(2 xx有增根，可求得 k=-32，但分式方程这时有一实根 x=38。二、分式方程是无实数解，求参数值 例 9 若关于 x 的方程52xx=5xm+2 无实数，求 m 的值。解：去分母，得 x-2=m+2x-

8、10，x=-m+8 因为原方程无解，所以 x=-m+8为原方程的增根。又由于原方程的增根为 x=5，所以-m+8=5 所以 m=3 例 10若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则 m 的值是（）A.12或 B.12或 C.12或 D.12或 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m 12或，故选择 D。例 11.m 为何值时，关于 x 的方程22432xmxxx会产生增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx 整理，得()mx110 根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方

9、程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化精品资料 欢迎下载 当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm 11014022121012422101263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 例 12、解方程：121043323489242387161945xxxxxxxx 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：314342893287414

10、5 xxxx 即2892862810287xxxx 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。189 861810 8789 86810 8711()()()()()()()()xxxxxxxxxx 例 13、若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则 m 的值是（）A.12或 B.12或 C.12或 D.12或 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化精品资料 欢迎下载

11、 化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m 12或，故选择 D。练习题 1 解方程2344222xxxx 2 解方程22321xxxx 3（2007 湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则 m=4 当 a 为何值时，关于 x 的方程223242axxxx会产生增根？根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化精品资料 欢迎下载 5 当 a 为何值时，关于 x 的方程223242axxxx无解？根指的是解分式方程时在把分式方程转化为整式方程的变形过程中方程等它包含两种情形一原方程化去分母后的整式方程无解二原方程化去分方程无意义所以是原方程的增根所以原方程无解例解方程解去分母后化