2023年分式知识点总结归纳及题型全面汇总归纳超好用11.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 分式知识点及题型 一、分式的定义：一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0（0B）分式无意义：分母为 0（0B）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA）分式值为正或大于 0：分子分母同号（00BA或00BA）分式值为负或小于 0：分子分母异号（00BA或00BA）分式值为 1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：CBCA

2、BA，CBCABA，其中 A、B、C 是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：BBABBAAA 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。四、分式的约分 1定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3注意：分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4最简分式的定义：一个分式的分子与分母没

3、有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分 1定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.名师总结 优秀知识点 3如果分母是多

4、项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：ccbdadbadcba 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bdbcaddcba 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分

5、母为 1 的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。七、整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：nmnmaaa mnnmaa nnnbbaa nmnmaaa （0a）nnbaban na1 na0a）10a（0a）（任何不等于零的

6、数的零次幂都等于 1）其中 m，n 均为整数。八、分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。九、列分式方程基本步骤：审仔细审题，找出等量关系。设合理设未知数。列根据等量关系列出方程（组）。解解出方程（组）。注意检验 答答题。大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身

7、的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 分式典型例题 一、分式（一）从分数到分式 题型 1：考查分式的定义 例：下列式子中，yx 15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xy x1、21、212x、xy3、yx 3、ma1中分式的个数为（）（A）2 （B）3 （C）4 (D)5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .275xx；123x；25aa；22xx；22bb；222xyxy.（2）下列式子，哪些是分式？5a；234x；3yy；78x；2xxyxy；145b.题型 2：考查

8、分式有，无意义，总有意义（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；注意：（12x0）例 1：当 x 时，分式51x有意义；例 2：分式xx212中，当_x时，分式没有意义 例 3：当 x 时，分式112x有意义。例 4：当 x 时，分式12xx有意义 例 5：x，y满足关系 时，分式xyxy无意义；例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A122xx B.12 xx C.133xx D.25xx 例 7：使分式2xx 有意义的 x 的取值范围为（）A2x B2x C2x D2x 例 8：要是分式)3)(1(2xxx没有

9、意义，则 x 的值为（）A.2 B.-1或-3 C.-1 D.3 题型 3：考查分式的值为零的条件 大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式121aa的值为 0 例 2：当 x 时，分式112xx的值为 0 例 3：如果分式22aa的值为为零,则 a 的值为()A.2 B.2 C.2 D.

10、以上全不对 例 4：能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（）A 0 x B 1x C0 x 或1x D0 x或1x 例 5：要使分式65922xxx的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6：若01aa,则 a 是()A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 题型 4：考查分式的值为正、负的条件【例】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.二、分式的基本性质 题型 1：分式的基本性质的应用 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。

11、例 1：abyaxy ；zyzyzyx2)(3)(6；如果75)13(7)13(5aa成立,则 a 的取值范围是_；例 2：)(1332baab )(cbacb 例 3：如果把分式baba 2中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变 例 4：如果把分式yxx10中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的101 CBCABACBCABA0C大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个

12、分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例 5：如果把分式yxxy中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍 例 6：若把分式xyx23的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（）A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变 D缩小 6 倍 例 7：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23 B、223yx C、yx232 D、2323yx 例 8：根据分式的基本性质，分式baa可变形为（）A baa B baa C baa D b

13、aa 例 9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，05.0012.02.0 xx ；例 10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，211xxx=。题型 2：分式的约分及最简分式 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式

14、约去。例 1：下列式子（1）yxyxyx122；（2）cabaacab；（3）1baab；（4）yxyxyxyx中正确的是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 例 2：下列约分正确的是（）A、326xxx；B、0yxyx；C、xxyxyx12；D、214222yxxy 例 3：下列式子正确的是()A022yxyx B.1yaya C.xzyxzxy D.0adcdcadcadc 例 4：下列运算正确的是（）A、aaabab B、2412xx C、22aabb D、1112mmm 例 5：下列式子正确的是（）A22abab B0baba C1baba Dbabababa232.03

15、.01.0 大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例 6：化简2293mmm的结果是（）A、3mm B、3mm C、3mm D、mm3 例 7：约分：2264xyyx ；932xx=；xyxy132；yxyxyx536.03151。例 8：约分：22444aaa ；yxxy2164 ；)()(babbaa ；2)(yxyx 22yxayax ；1681622xxx ；6292xx 23314_21a bca bc 29_3mm

16、baab2205_96922xxx_。例 9：分式3a2a2，22baba，)ba(12a4，2x1中，最简分式有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 题型 3：分式的通分及最简公分母:通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：222xxx最简公分母就是 22xx。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：4222xxx最简公分母就是 2242xxx“四、六”型：指几个分母

17、之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：2222xxxx最简公分母是：22xx 例 1：分式nmnmnm2,1,122的最简公分母是（）A)(22nmnm B222)(nm C)()(2nmnm D22nm 例 2：对分式2yx，23xy，14xy通分时，最简公分母是（）Ax2y B 大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例 3：下面各分式：221xxx,22xyxy,11xx,2222

18、xyxy，其中最简分式有（）个。A.4 B.3 C.2 D.1 例 4：分式412a，42 aa的最简公分母是 .例 5：分式 a 与1b的最简公分母为_；例 6：分式xyxyx2221,1的最简公分母为 。二、分式的运算（一）分式的乘除 题型 1：分式的乘，除，乘方 分式的乘法：乘法法测：badc=bdac.分式的除法：除法法则：badc=bacd=bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba)n=nnba(n 为正整数)例题：计算：（1）746239251526yxxx （2）134104

19、31005612516axayx 计算：（3）24222aababaababa （4）2144122aaaaa 计算：（5）22221106532xyxyyx （6）22213(1)69xxxxxxx 计算：（7）22121441aaaaaa （8）1112421222aaaaaa 求值题：（1）已知：43yx，求xyxyxyyxyxyx2222222的值。（2）已知：xyyx39，求2222yxyx的值。（3）已知：311yx，求yxyxyxyx2232的值。大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分

20、子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例题：计算：（1）232()3yx （2）52ba=（3）32323 xy=计算：（4）3222ab=（5）4322ababba=求值题：（1）已知：432zyx 求222zyxxzyzxy的值。（2）已知：0325102yxx求yxyxx222的值。练习：计算yxxxyxyx222)(的结果是（）A yxx22 Byx 2 C y1 D y11 化简xyxx1的结果是（）A.1 B.xy C.xy D.yx 计算：（1）422448223xxxxxx；（2）12211222xxxxx （3）(a21)22221aaa1

21、22aa（二）分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1：mnm22=例 2：141322222aaaa=例 3：xyxyxy=例 4：22222222yxxxyyyxyx=计算：（1）4133mmm （2）abbbaa （3）2222)()(abbba

22、a （4）2253a bab2235a bab228a bab.例 5：化简1x+12x+13x等于（）A12x B32x C116x D56x 例 6：cabcab 例 7：22142aaa 例 8：xxxx3)3(32 大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例 9：xxxxxx13632 例 10：2212aaa 224aa 例 11：11aaa 练习题：（1）22ababbab （2）xxxx2144212（3）2129

23、a+23a.（4）bab-ab2 （5）2xyxyyx 例 13：计算11aaa的结果是（）A 11a B 11a C 112aaa D 1a 例 14：请先化简：21224xxx，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例 15：已知：0342 xx 求442122xxxxx的值。（三）分式的混合运算 题型 1：化简分式 例 1：4421642xxxx 例 2：34121311222xxxxxxx 例 3：222)2222(xxxxxxx 例 4：1342xxx 例 5：1111xxx 例 6：22224421yxyxyxyxyx 例 722112()2yxyxyxxyy 例 8：xx

24、xxxxx112122 题型 2：分式求值问题：例 1：已知 x 为整数，且23x+23x+22189xx为整数，求所有符合条件的 x 值的和.例 2：已知 x2，y12，求222424()()xyxy11xyxy的值.例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+x21的值为_ 例 4：已知实数 a 满足 a22a8=0，求34121311222aaaaaaa的值.大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例

25、 5：若13xx 求1242xxx的值是（）A81 B101 C21 D41 例 6：已知113xy，求代数式21422xxyyxxyy的值 例 7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值221369324aaaaaaa 练习题：先化简再求值（1）168422xxxx，其中 x=5.（2）2222babaaba,其中 a=-3，b=2（3）2144122aaaaa；其中 a=85；（4）xxxxxxxx4)44122(22，其中 x=-1（5）先化简，再求值：324xx(x+252x).其中 x2.（6）3,32,1)()2(222222babaabaababaabaa其中 题型 3：分式其他

26、类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，根据其规律可知第个数应是（n为正整数）例 2：观察下面一列分式：2345124816,.,x xxxx根据你的发现，它的第 8 项是 ，第 n 项是 。例 3：当 x=_时,分式x51与x3210互为相反数.例 4：已知4)4(422xCBxxAxx，则_,_,CBA；例5：已知37(1)(2)12yAByyyy，则（）A10,13AB B10,13AB C10,13AB D10,13AB 例 6：已知yx32，求22222yxyyxxy的值；例 7：先填空后计算：111nn=。2111nn=。3121nn=

27、。（3 分）（本小题 4 分）计算：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn 解：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn 大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点=三、分式与方程（一）分式方程的解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：1、交叉相

28、乘法：例 1解方程：231xx 2、化归法：例 2解方程：012112xx 3、左边通分法：例 3：解方程：87178xxx 4、分子对等法：例 4解方程：)(11baxbbxaa 5、观察比较法：例 5解方程：417425254xxxx 6、分离常数法：例 6解方程：87329821xxxxxxxx 7、分组通分法：例 7解方程：41315121xxxx （二）分式方程求待定字母值的方法 例 1若分式方程xmxx221无解，求m的值。例 2若关于x的方程11122xxxkxx不会产生增根，求k的值。例 3若关于x分式方程432212xxkx有增根，求k的值。例 4若关于x的方程1151221

29、xkxxkxx有增根1x，求k的值。（二）分式方程的题型 题型 1：化为一元一次的分式方程（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根 例 1：如果分式121xx的值为1，则 x 的值是 ；例 2：要使2415xx与的值相等，则x=_。例 3：当 m=_ 时，方程

30、21mxmx=2 的根为12.大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 例 4：如果方程3)1(2xa 的解是 x5，则 a 。例 5:解方程：22416222xxxxx 例 6：已知：关于 x 的方程xxxa3431无解，求 a 的值。例 7：若分式21x与32xx的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；例 8：当 m为何值时间？关于x的方程21122xxxxxxm的解为负数？例 9：解关于x的方程)0(2aabxaxb 例 10

31、：解关于 x 的方程:)0(21122abaabaxbax 例 11 知关于 x 的方程)1)(2(121xxmxxxx的解为负值，求 m的取值范围。练习题：(1)164412xx (2)0)1(213xxxx (3)XXX1513112 (4)625xxxx (5)2163524245xxxx (6)11112xx (7)xxx21321 (8）21212339xxx （9）311223xx 题型 2：分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0

32、，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程3xx+1=3xm有增根，则 m=例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程3423xxxk不会产生增根；例 3：若解关于 x 的分式方程234222xxmxx会产生增根，求 m的值。例 4：m取 时，方程323xmxx会产生增根；例 5：若关于 x 的分式方程3232xmxx无解，则m的值为_。例 6：当 k 取什么值时？分式方程0111xkxxxx有增根.例 7：若方程441xmxx有增根，则 m的值是（）A4 B3 C-3 D1 例 8：若方程342(2)axxx x 有增根，则增根可能为（）大于分子分

33、母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 A、0 B、2 C、0 或 2 D、1 题型 3：公式变形问题：例 1：已知公式12111RRR（12RR），则表示1R的公式是（）A212RRRRR B 212RRRRR C 1212()R RRRR D 212RRRRR 例 2：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式：1u1v1f.若 f 6 厘米，v8 厘米，则物距 u 厘米.例 3：已知梯形面积,)(

34、21hbaSS、a、b、h 都大于零，下列变形错误是（）AbaSh2 B.bhSa2 C.ahSb2 D.)(2baSh 例 4：已知bbaaNbaMab11,1111,1,则 M 与 N 的关系为()A.MN B.M=N C.M0,n0,m n)，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为(元千克)，采购员 B 两次购买饲料的平均单价为(元千克)而0 也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员B 的购买方式合算 例 13 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润 30000 元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4 元，但是销售量

35、比一月份增加了 5000 件，从而获得利润比一月份多 2000 元，调价前每件商品的利润为多少元？解：可以列出三个等量关系：12 月份销售量一1 月份销售量=5000 22 月份销售量2 月份利润=2 月份总利润 31 月份利润一 2 月份利润=0.4 二、工程类应用性问题 例 21 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作 2 天后，由乙队单独做 1 天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？解析：等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1 例 22 甲、乙两个学生分别向计算机输入 1500 个汉字，乙的速度是甲的 3 倍，因此比甲少

36、用 20 分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？解析：等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）例 23 某农场原计划在若干天内收割小麦 960 公顷，但实际每天多收割 40 公顷，结果提前 4 天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。解析 1：单独做所需时间 一天的工作量 实际做时间 工作量 甲 x 天 2 天 1 乙 （2+1）天 输入汉字数 每分钟输入个数 所需时间 甲 1500 个 x 个/分 乙 1500 个 3x 个/分 11232x天1x132x1500 x15003x大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号

37、改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）解析 2：工作总量 所需天数 一天的工作量 原计划情况 960 公顷 实际情况 960 公顷 等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）例 24 某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元，乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共 5500 元 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过 15 天完

38、成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由 解：设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得：116()11110()11125()3xyyzxz，6110151，得x1y1z1=51 61，得z1=301，即z=30，101，得x1=101，即x=10，51，得y1=151，即y=15 经检验，x=10，y=15，z=30 是原方程组的解 设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得 6()870010()95005()5500abbcca ，800650300abc，由可知完成此工程不超过工期只有两

39、个队：甲队和乙队 此工程由甲队单独完成需花钱108000a 元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b 元 所以，由甲队单独完成此工程花钱最少 评析：在求解时，把x1，y1，z1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解 工作总量 一天的工作量 所需天数 原计划情况 960 公顷 x 公顷 实际情况 960 公顷（x+40）公顷 x天(4)x 天960 x960 x96040 x大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识

40、点 例 25 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？解：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x 3)天.设工程总量为 1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得 ，解得 即规定日期是 6 天 例 2 6 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时

41、输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，依题意，得：，解得 x 11 经检验，x11 是原方程的解，且当 x11 时，2x22，符合题意 即教师甲每分钟能输入 22 名学生的成绩，教师乙每分钟能输入 11 名学生的成绩 例 27 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个 所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？解析：甲每小时做 x 个零件，做 90 个零件所用的时间是(90 x)小时，还可用式子 90 x 小时来表示。乙每小时做(x-6)个零件，

42、做 60 个零件所用的时间是 60(x-6)小时，还可用式子606x 小时来表示。等量关系：甲所用时间=乙所用时间 三、行程中的应用性问题 例 3.1 甲、乙两个车站相距 96 千米，快车和慢车同时从甲站开出，1 小时后快车在慢车前 12 千米，快车比慢车早 40 分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系：慢车用时=快车用时+（小时）例 3.2 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度 分析：这是一道实际生活中的行程应用题

43、，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度时间。解：设普通快车车的平均速度为xkm h，则直达快车的平均速度为 1.5xkm h，依题意，得 xx6828=x5.1828，解得46x，经检验，46x 是方程的根，且符合题意46x，1.569x，即普通快车车的平均速度为 46kmh，直达快车的平均速度为 69kmh 例 3.3 A、B两地相距 87 千米，甲骑自行车从 A地出发向 B地驶去，经过 30 分钟后，乙骑自行车由 B地出发，用每小时比甲快 4 千米的速度向 A地驶来，两人在距离 B地 45 千米 C处相遇，求甲乙的速度。分析：所行距离 速度 时间 快车 96 千米 x 千米/小时

44、 慢车 96 千米（x-12）千米/小时 406096x9612x大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 等量关系：甲用时间=乙用时间+（小时）例 3.4 一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解：设步行速度为x 千米时，骑车

45、速度为 2x 千米时，依题意，得：方程两边都乘以 2x，去分母，得 30-15x，所以，x15 检验：当 x15 时，2x2150，所以 x15 是原分式方程的根，并且符合题意 ，骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟 例 3.5 农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3 倍，求两车的速度 解：设自行车的速度为 x 千米/小时，那么汽车的速度为 3x 千米/小时，依题意，得：解得 x15 经检验 x15 是这个方程的解 当 x15 时，3x45 即自行车的速度是 15 千米/小时，汽车的速

46、度为 45 千米/小时 例 3.6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A与 B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达 A之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。分析：等量关系：甲走 OB的时间-乙走 OA的时间=35 分钟 四、轮船顺逆水应用问题 例 41 轮船顺流、逆流各走48 千米，共需 5 小时，如果水流速度是 4 千米/小时，求轮船在静水中的速度。分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度 逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度 等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）例 42 轮船在顺水中航行30 千米的时间与在逆水中航行 20

47、千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度。所行距离 速度 时间 甲（87-45）千米 x 千米/小时 乙 45 千米（x+4）千米/小时 路程 速度 时间 顺流 48 千米(x+4)千米/小时 逆流 48 千米(x-4)千米/小时 30608745x454x484x484x大于分子分母同号分式值为负或小于分子分母异号或或分式值为分子分法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变骤把分式分子分母因式分解然后约去分子与分母的公因注意分式的分子名师总结 优秀知识点 解析：顺水航行 30 千米的时间=逆水中航行 20 千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水

48、航行速度千米20设船在静水中的速度为x千米时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决 解：设船在静水中速度为x千米时，则顺水航行速度为(2)x千米时，逆水航行速度为(2)x千米时，依题意，得230 x=220 x，解得10 x 经检验，10 x 是所列方程的根 即船在静水中的速度是 10 千米时 五、浓度应用性问题 例 5 要在 15%的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20%分析：设加入盐x千克浓度问题的基本关系是：溶液溶质=浓度 溶液 溶质 浓度 加盐前 40 4015%15%加盐后 40 x 4015%x 20%解：设应加入盐x千克，依题意

49、，得xx40%1540=10020 100(40 15%x)=20(40 x)，解得25x 经检验，25x 是所列方程的根，即加入盐 2.5 千克 六、耕地问题 1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9000Kg 和 15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少 3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。2、某农场原有水田 400 公顷，旱田 150 公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的 10%，问应把多少公顷旱田改为水田。3、退耕还林还草是我国西部实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积 6900

50、0 公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是 5：3，设退耕还林的面积是 X 公顷，那么应满足的分式方程是什么？七数字问题 例 1：一个分数的分子比分母小 6,如果分子分母都加1,则这个分数等于41,求这个分数.例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是 7：4，求原来的两位数。例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 2，个位上的数字加上 8 以后去除这个两位数时，所得到的商是 2，求这个两位数。分式方程应用题课后练习 1.营销类应用性问题 1、一个