2023年初一数学竞赛系列讲座 应用题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 初一数学竞赛系列讲座(9)应用题（一）一、一、知识要点 1、1、应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。2、2、列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1)(1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2)(2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3)(3)根据这个相等关系列出方程；(4)(4)解这个方程，求出未知数的值；(5)(5)写出答案(包括单位名称)。3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：速度 时间=路程 4、数字类

2、问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为 x，则相邻两数分别为 x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为 x，则相邻两数分别为 x-2、x+2。二、二、例题精讲 例 1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米，。车从甲地开往乙地需 9 小时，乙地开往甲地需217小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。解 设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下

3、坡路为 y 千米，根据题意得方程组(2)2172035(1)93520yxyx 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中 x 的系数201恰好是第二个方程中 y 的系数，而 y 的系数351也恰好是第二个方程中 x 的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得 (x+y)(201+351)=9+217 学习必备 欢迎下载 所以 x+y=2103512012179 (3)(1)-(2)得 (x-y)(201-351)=9-217 所以 x-y=703512012179 (4)由(3)、(4)得 x=140270210 所以甲、乙两地间的公路

4、长 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路。例 2 公共汽车每隔 x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆公共汽车，而每隔724分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则 x 等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为 a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面 ax 米处，它用 6 分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面 ax 米处，它经过724分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度

5、为 a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，根据题意得 )(724)(6baaxbaax 两式相减得 12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5 评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例 3 摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问 A、B两市相距多

6、少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为 D，傍晚 清题意和题目中的数量关系用字母表示题目中的一个未知数找出能够表间的相互关系它们满足如下基本关系式速度时间路程数字类问题数字类为则相邻两数分别为二二例题精讲例从甲地到乙地的公路只有上坡路和学习必备 欢迎下载 汽车在 E 休息 A D C E B 由已知，AD 是 AC 的三分之一，也就是 AD=21DC 又由已知，EB=21CE 两式相加得：AD+EB=21DE 因为 DE=400 千米，所以 AD+EB=21 400=200 千米，从而 A、B 两市相距

7、400+200=600 千米 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。例 4 有编号为、的 3 条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时 v1、v2、v3千米，且满足v1 v2 v3 v 0，其中 v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1)3 条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2)经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：S i=(vi-v)1+v 1=vi 1(i=1、2、3)第 i 号赛艇追上

8、浮标的时间为：11iiiiivvvvvSt(小时)由此可见，掉头后各走 1 小时，同时追上浮标，所以 3 条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例 5 在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第 10 秒钟时追上乙，在第 30 秒时追上丙，第 60 秒时甲再次追上乙，并且在第 70 秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第 11 届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是甲，V 乙的运动速度是乙V，丙的运动速度是丙V 设环形轨道长为 L。甲比乙多运动一圈用时 50 秒，故有甲V乙V50L 甲比丙多运动一圈用时 40 秒，故有甲V丙V4

9、0L 可得到乙V丙V40L50L200L 4丙乙乙甲VVVV 5丙乙丙甲VVVV 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离 清题意和题目中的数量关系用字母表示题目中的一个未知数找出能够表间的相互关系它们满足如下基本关系式速度时间路程数字类问题数字类为则相邻两数分别为二二例题精讲例从甲地到乙地的公路只有上坡路和学习必备 欢迎下载（甲V丙V）30（甲V乙V）10；乙追上丙所用时间丙乙乙、丙之间距离VV 丙乙丙甲30VVVV1104015010丙乙乙甲VVVV秒所以第 110 秒时，乙追上丙 评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和 时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度

10、差 时间。例 6 一个三位数，三个数位上的数字和为 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上数的 3 倍，求这个三位数。解：设十位上的数为 x，则个位上的数为 3 x，百位上的数是 x+7 由题意得：3 x+x+x+7=17，x=2 这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：这个三位数是 926 评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。例 7 两个三位整数，它们的和加 1 得 1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的 6 倍，求这两个数。解：设大数为

11、x，则小数为 999-x，由题意得 )1000999(61000999xxxx 解这个方程得：x=857,999-x=142 答：大数为 857，小数为 142。例 8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为AB，过了 1 小时里程碑上的数字为BA，又行驶了 1 小时里程碑上的数字为A0B，求每次看到的数字和卡车的速度。分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。解：依题意得：BA-AB=A0B-BA，即AB+A0B=2BA，所以(10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得 6A=B 因为 A、B 取 1 到 9 的自然数，所以只有 A=1，B=6 故 3 次

12、看到的数字分别是 16，61，106，卡车的速度为 45 千米/时。评注：本题得到的是一个不定方程，通过 A、B 是 1 到 9 的自然数来求出 A、B。例 9 在黑板上从 1 开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为17735，试问擦去的数是什么数？分析：设出擦去的数，用平均值为17735来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。清题意和题目中的数量关系用字母表示题目中的一个未知数找出能够表间的相互关系它们满足如下基本关系式速度时间路程数字类问题数字类为则相邻两数分别为二二例题精讲例从甲地到乙地的公路只有上坡路和学习必备 欢迎下载 解：设写出了 n 个自然数 1，2，n 中

13、擦去的是 k，则由题意得：21211211773522112112117735nnnnnknnnnnkn 即171470171468 1773521773522nnn解之得 因为 n 是自然数，且 n-1必须是 17 的倍数，所以 n=69 于是由17735686921k，可解得 k=7，即擦去的数为 7。评注：本题运用了放缩原理来得出 n 的范围，从而确定自然数 n 的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。三、三、巩固练习 选择题 1、甲、乙二人从 M 地同时出发去 N 地，甲用一半的时间以每小时 a 千米的速度行走，另一半的时间以每小时 b 千米的速度行走；乙以每小时 a 千米的速度行走一半的

14、路程，另一半路程以每小时 b 千米的速度行走。若 ab，则()先到达 N 地。A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定 2、已知游艇在静水中的航速为每小时 10 千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行 2小时，又用 3 小时返回出发地，求该团所走的航程是()A、24 千米 B、12 千米 C、48 千米 D、40 千米 3、某人从 A 地步行到 B 地，当走到预定时间时，离 B 地还有 0.5 千米；若把步行速度提高 25%，则可比预定时间早半小时到达 B 地。已知 AB 两地相距 12.5 千米，则某人原来步行的速度是()A、2 千米/时 B、4 千米/时 C、5 千米/时 D、6 千米

15、/时 4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是 7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是 9，则现在的两位数是()A、43 B、34 C、25 D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是()A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.375 6、一个插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，如：72 中间插入 6 后变成了 762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有()(第六届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、1 个 B、4 个 C、10 个 D、超过 10

16、个 填空题 7、早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时 60 千米，8 点 32 分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的 3 倍。到了 8 点 39清题意和题目中的数量关系用字母表示题目中的一个未知数找出能够表间的相互关系它们满足如下基本关系式速度时间路程数字类问题数字类为则相邻两数分别为二二例题精讲例从甲地到乙地的公路只有上坡路和学习必备 欢迎下载 分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的 2 倍。则第一辆车是 8 点 分离开化肥厂的.8、甲、乙两个同学从 A 地到 B 地，甲步行的速度为每小时 3 千米，乙步行的速度为每小时 5 千米，两人

17、骑自行车的速度都是每小时 15 千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达 B 地。甲走全程的平均速度是 千米/小时。(第六届迎春杯初赛试题)9、一船从重庆到上海要 5 昼夜，而从上海到重庆要 7 昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要 昼夜 10、一个六位数9abcde的 4 倍是abcde9，则这个六位数是 11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于 29、23、21、19，则这四个数中最大的一个是 12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的 3 倍，则这样的

18、两位自然数的个数是 解答题 13、一列客车的速度是 60 千米/时，一列货车的速度是 45 千米/时，货车比客车长 135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是 1 分 30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？14、甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔313分钟相遇一次，若反向跑步则每隔 40 秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行 21 小时，再换骑摩托车行

19、8 小时，恰好也到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题)16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题)17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是 8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为 11，余数为 5，求这个两位数。18、一个十位数字为 0 的三位数，它恰好等于它的数字和的 67 倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的 m 倍,求 m 的值。19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于 70 而小于 90，求这样的两位数。20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。清题意和题目中的数量关系用字母表示题目中的一个未知数找出能够表间的相互关系它们满足如下基本关系式速度时间路程数字类问题数字类为则相邻两数分别为二二例题精讲例从甲地到乙地的公路只有上坡路和